Nociones De Probabilidad Y Ejemplos 201hp
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Capitulo 1 Probabilidad
1
ESTADÍSTICA SUPERIOR CARLOS A. ROJAS Y.
PROBABILIDAD INTRODUCCION Si el único propósito del investigador es describir los resultados de una realidad, política, situación o experimento concreto de la totalidad de una pequeña porción (muestra) del todo, como por ejemplo: el rendimiento del grado de una escuela, el análisis socioeconómico de los habitantes de un edificio, las preferencias políticas de un comité de postulados, etc., los métodos de Estadística Descriptiva, anteriormente utilizados pueden considerarse suficientes. Sin embargo, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos que conforman un todo, entonces los métodos descriptivos solo constituyen el principio del análisis, y se debe recurrir a métodos de inferencia estadística, donde se emplea la Teoría de la Probabilidad. La mayoría de los fenómenos del universo se pueden estudiar considerando una pequeña muestra de elementos de la población a que atañe el fenómeno, esto se logra seleccionando dicha muestra lo mas parecida posible a la población mediante un mecanismo al azar o aleatorio (objetivo) y es precisamente el cálculo de probabilidades la herramienta que nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios y que constituye la base para la estadística inductiva o inferencial. Dicha estadística es la encargada de determinar los tamaños de muestra acordes con los riesgos de error que estemos dispuestos a aceptar y la medición de los errores totales que se comenten por efectos del muestreo, lo que nos da la posibilidad de dar estimaciones por intervalos sobre los parámetros de la población estudiada. De alguna manera, el concepto de probabilidad se relaciona o nos recuerda las propiedades de la frecuencia relativa, ya vistas en la estadística descriptiva, y a partir de estas y junto con las definiciones de probabilidad condicional y de sucesos independientes se deducen los teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades.
EXPERIMENTO Y SUCESOS ALEATORIOS Es muy importante el aporte de la teoría de conjuntos cuando se estudia la probabilidad de ocurrencia de algún resultado de todos los posibles originado por un experimento. En este
Capitulo 1 Probabilidad orden de ideas vamos a denotar por la letra griega ypsilón
ε
2 , a un experimento de
cualquier naturaleza el cual puede ser determinístico, cuando repitiendo exactamente las mismas condiciones de realización del experimento podemos establecer el resultado esperado, como ejemplo tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial en reposo, si se deja caer al vacío desde una torre, siempre llega al suelo con la misma velocidad:
v=
2 gh
, siendo g la constante de gravedad y h la altura respectiva; en
general los experimentos físicos son de esta naturaleza. En cambio hay otros experimentos que aun manteniendo intactas la condiciones iniciales de su realización no podemos indicar el resultado esperado. Ejemplo: podemos lanzar un dado bien cargado o equilibrado de igual manera y en las mismas condiciones y aunque conocemos todos los resultados posibles no podríamos a priori establecer el resultado de su cara. A estos experimentos los vamos a llamar aleatorios, al azar o estocásticos, y serán en definitiva a los que les prestaremos nuestra atención. Este último ejemplo nos permite definir el concepto de Espacio Muestral como el conjunto
E
de todos los resultados posibles
E = { 1,2,3,4,5,6 } , asociados a la
realización de un experimento aleatorio. Vamos a definir como Evento o Suceso a todo subconjunto del espacio muestral, a los eventos los vamos a simbolizar por letras mayúsculas A, B, C , D, F , G...... A, B ⊂ E
Debemos distinguir entre sucesos simples o elementales y sucesos compuestos, estos últimos están compuestos por dos o mas sucesos simples, en el caso del lanzamiento de un dado todos los valores de cada una de las caras constituyen los sucesos elementales:
{1} , {2} , {3} , {4} , {5} sacar numero par
y {6} ; pero por ejemplo podemos considerar el suceso compuesto B: B = { 2,4,6 } o el suceso compuesto C: sacar numero múltiplo de tres
C = { 3,6 } . Dicho de otro modo un suceso elemental solo contiene un punto del espacio
muestral, en cambio un suceso compuesto, en general llamado suceso aleatorio, puede
Capitulo 1 Probabilidad
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tener no uno solo, sino una infinidad de sucesos elementales; y también no contener ninguno como veremos en la siguiente definición: Suceso Imposible: es aquel que nunca se verifica o se da como resultado del experimento aleatorio. Como debe ser un subconjunto del espacio muestral
E , la única posibilidad es
que el suceso imposible sea el conjunto vació: φ ⊂ E ⇒ φ es suceso
imposible
Suceso Seguro: es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es decir, el mismo E . E ⊂ E ⇒ E es suceso
seguro
Suceso contrario: también se llama complementario de A y es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio no se verifica A. Se acostumbra a denotarlo como A: A ⊂ E ⇒ A = { x ∈ E ∧ x ∉ A}
NOCIÓN DE PROBABILIDAD El concepto de probabilidad ha evolucionado a lo largo del tiempo, y ha pasado por diversas formas de presentación. La noción actual de probabilidad es el resultado de una evolución histórica en la que el sentido del término se ha ido delimitando y enriqueciendo con distintas aportaciones. 1. Probabilidad de Laplace o Clásica Si un experimento cualquiera puede dar un número finito de resultados posibles, y no existe ninguna razón que de privilegio a unos resultados en contra de otros –tiene la estructura de un juego de azar- se calcula la probabilidad de un proceso aleatorio A, según
Capitulo 1 Probabilidad
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la regla de Laplace1 como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento: P[ A ] =
número de casos favorables a A número de casos posibles
Ejemplo Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar. Solución: El experimento aleatorio es
ε
: Lanzar un dado, el espacio muestral es
E = {1,2,3,4,5,6} . Vamos a llamar al suceso A: el resultado sea impar. Por tanto A= {1,3,5} . Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás (el dado no está trucado), podemos aplicar la regla de Laplace para obtener: P[ A ] = =
=
número de casos favorables a A número de casos posibles número de elementos número de elementos
en A en E
número de elementos en {1,3,5} 3 1 = = número de elementos en {1,2,3,4,5,6} 6 2
2. Probabilidad Frecuencial o Empirica En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso
A , en n ensayos
denotémoslas por f n ( A) f n ( A) =
número de ocurrencia s de A ni = n n
Tiende a converger hacia cierta cantidad que denominaremos probabilidad de A:
Prob[ A] = lim f n ( A) = lim n →∞
n →∞
ni n
Esta es la noción intuitiva o frecuencial de probabilidad. Fue establecida por autores como el inglés Ronald A. Fisher (1890-1962) y el autor Richard von Mises (1883-1953). 1
El Marqués de Laplace (1789-1827) establece la definición clásica de probabilidad en su obra Théorie analytique des
probabilites. 1812.
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Kerrich, en su obra An experimental introduction to the theory of probability explica como lo verificó experimentalmente siendo prisionero durante la segunda guerra mundial. Realizó un experimento consistente en arrojar una moneda en diez conjuntos de mil tiradas cada uno, y tras contabilizar el número de caras, obtuvo un valor próximo a la frecuencia esperada: ½. En nuestro caso y para seguir con el ejemplo del lanzamiento de un dado vamos a simular mediante el programa EXCEL, a través su función aleatoria (=ALEATORIO.ENTRE(1;6)), el lanzamiento de un dado 500 veces y vamos a ver las veces que aparece el valor seis (6), es decir en cada oportunidad vamos a calcular el valor respectivo de la probabilidad de obtener un seis. En la figura siguiente se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de seis obtenido en el lanzamiento de una moneda en 500 ocasiones. En principio la evolución de las frecuencias relativas es errática, pero a medida que el número de tiradas aumenta, tiende a acercarse al valor esperado.
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3. Probabilidad Subjetiva Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repetición o experimentación, la probabilidad subjetiva es la cuantificación (subjetiva, por supuesto) que una persona (o un grupo) hace de un evento, utilizando la información que posee. Esta conceptualización de la probabilidad es muy aplicada en la empresa, y es utilizada por la estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de los juegos. Ha sido tratada por autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Koopman (1940) y Savage (1954). Barbancho en Estadística Elemental moderna expone la siguiente visión sobre la probabilidad subjetiva: … los estadísticos, en fechas más recientes [... ] han acudido al concepto de la denominada probabilidad subjetiva, mediante la cual cada persona, o grupo de personas, asigna a un evento un número que está en función de la verosimilitud percibida o sentida sobre dicho evento, o que expresa el “grado de creencia” racional depositada en él. Este número puede ajustarse a cualquier suerte de propiedades; lo más lógico, y es lo que sucede, es que estas propiedades de la probabilidad subjetiva sean las tres que se cumplen para la probabilidad clásica y la probabilidad frecuencial , a saber, la no negatividad, la certeza y la aditividad.
Probabilidad axiomática o de Kolmogorov
4.
El concepto axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov en 19332. Para ello precisó ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidad. Los axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones: 1.
La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1 (es no
negativa). P : E → [ 0,1] ∴ ∀ A ⊂ E ⇒ P ( A) ≥ 0
2.
La probabilidad del suceso seguro es 1. P ( E ) =1
2
A. Kolgomorov, Grundbegrife der Wahrscheinlichkeitrsechnung (1933). Ed. Springer. Berlín. Hay una traducción inglesa
de N. Morrison, Foundations of the theory of probability (1956). Ed. Chelsea. New York
Capitulo 1 Probabilidad 3.
7
La probabilidad de dos o mas sucesos incompatibles (unión numerable de
sucesos disjuntos), es decir de intersección vacía, debe ser la suma de sus probabilidades respectivas.
∞ ∞ A1 , A2 ,......, An ,..... ∈ E ⇒ P Ai = P[ A1 ] + P[ A2 ] + .......... .... P[ An ] + ...... = ∑P[ Ai ] i =1 i =1
Curiosamente, con solo estas tres leyes tenemos suficiente para obtener todas las reglas que se esperan de una función de probabilidad:
A
A1
A2
A3
A5
A4
A = A1 ∪ A2 ∪ .....
y
Ai ∩ A j = φ
[ ] [ ] [ ]
⇒ P A = P A1 + P A2 + ....
4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir, P [ A ∩ B ] ≤ P [ A]
P [ A ∩B ] ≤ P [ B ]
5. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno de los sucesos por separado: P [ A ∪B ] ≥ P [ A]
P [ A ∪B ] ≥ P [ B ]
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que
Capitulo 1 Probabilidad A∩B = 0
8
⇒ P [ A ∪ B ] = P [ A] + P [ B ]
6. La probabilidad del suceso contrario a A, es
[ ]
P A =1 −P [ A]. ,
lo cual se deduce de
las tres primeras propiedades
[
]
[ ]
P[ E ] =1 = P A ∪ A = P[ A] + P A
7.
[ ]
⇒ P A = 1 − P[ A]
La probabilidad del conjunto vacío es cero, ya que:
[ ]
P[φ] =1 − P φ =1 − P[ E ] =1 −1 = 0
Lo esbozado en los puntos anteriores indica ciertas propiedades que debe cumplir una Función de Probabilidad , que de manera verbal podemos resumir como: la función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E; no es estrictamente necesario que sean todos, pero sí es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, se pueda hacer también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, también se puede calcular sobre su unión y su intersección. Cabe señalar, como lo destaca la definición axiomática de la probabilidad de Kolgomorov, que bastan solo las tres primeras propiedades para obtener las restantes como una simple consecuencia, tal como se dedujeron algunas de las últimas propiedades anteriores. El grafico que se presenta a continuación resume los tipos de probabilidad esbozados y su estrategia para abordar su cálculo.
Capitulo 1 Probabilidad
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PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS Sea B ⊂ E un suceso aleatorio de probabilidad no nula, P[ B ] > 0 . Para cualquier otro suceso A ⊂ E , llamamos probabilidad condicionada de A por B , a la cantidad que representamos mediante P[ A / B ] y que se calcula como: A ⊂ E ⇒ P[ A / B ] =
P[ A ∩ B ] P[ B ]
Ejemplo Se lanza un dado al aire: a)
¿cuál es la probabilidad de que salga el número 4?
b)
Si sabemos que el resultado ha sido un número par, y no disponemos de más
información ¿se ha modificado esta probabilidad? Solución El espacio muestral que corresponde a este experimento es: E = { 1,2,3,4,5,6 }
a)
Hemos de calcular la probabilidad del suceso A = { 4} . Si el dado no está
trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace, P[ 4] = P[ A] =
casos favorables número de elementos en { 4 } 1 = = casos posibles número de elementos en { 1,2,3,4,5,6 } 6
Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace, hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir: P[1] = P[ 2] = P[3] = P[ 4] = P[5] = P[6]
b)
Por otro lado, si sabemos que ha salido un número par, de nuevo por la
definición de laplace tenemos P[ 4 / Par ] =
casos favorables casos posibles
=
número de elementos en 4 1 = número de elementos en { 2,4,6 } 3
Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si
Capitulo 1 Probabilidad A ={ 4}
⇒
B = { 2,4,6 } A∩B ={ 4}
P[ A] =
⇒ ⇒
10
1 6
P[ B ] =
1 1 1 3 1 + + = = 6 6 6 6 2
P[ A ∩ B ] =
1 6
Entonces:
1 P[ A ∩ B ] 6 2 1 P[ A / B ] = = = = , 1 6 3 P[ B ] 2 que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace. Tambien podríamos considerar la probabilidad inversa de ocurrencia de los eventos anteriores:
1 P[ B ∩ A] P[ A ∩ B ] P[ B / A] = = = 6 =1 1 P[ A] P[ A] 6 Lo cual nos indica que obtener un número par al lanzar un dado, dado que salio un cuatro es un suceso seguro, que denotaremos por: P( S ) = P ( E ) = 1 Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula se puede escribir como:
P[ A] . P[ B / A] P [ A ∩ B] = P[ B] . P[ A / B] O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero.
Capitulo 1 Probabilidad
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Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “sabiendo que” no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de independencia de dos sucesos A y B como: A es independie nte de B
⇔
P[ A ∩ B ] = P[ A] . P[ B ]
Esta relación puede ser escrita de modo equivalente cuando dos sucesos son de probabilidad no nula como:
P[ A] = P[ A] P[ B / A] A e i sn d en pdt eBe Pn[ A] d≠ 0 i≠ Pe [ B] ⇔ o e q u e i vm a e l ne nt e t P[ B] = P[ A] P[ A / B] OPERACIONES CON PROBABILIDAD (reglas elementales del cálculo de probabilidades) 1.) REGLA DEL SUCESO CONTRARIO:
[ ]
P A =1 −P [ A]
2.) PROBABILIDAD CONDICIONADA DEL SUCESO CONTRARIO:
[
]
P A / B =1 − P [ A / B ]
3.) PROBABILIDAD DEL EVENTO SUMA Dados dos eventos o sucesos A , B ⊂ E , que no son excluyentes (no necesariamente disjuntos), es decir que se pueden dar simultáneamente ambos a la vez, entonces la probabilidad del evento suma P[ A ∪ B ] = P[ A ∨ B ] = P[ A + B ] = P[ A] + P[ B ] − P[ A ∩ B ] = P[ A] + P[ B ] − P[ A . B ]
Capitulo 1 Probabilidad
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Si los sucesos A y B , son disjuntos es decir A ∩B = φ , se dice que los eventos son mutuamente excluyentes siendo en consecuencia la probabilidad suma: P[ A ∪B ] = P[ A ∨ B ] = P[ A + B ] = P[ A] + P[ B ] = P[ A] + P[ B ]
La forma de leer esta notación es: P [ A ∪B ]
probabilidad de la unión de los eventos
A ó
B
P [ A ∨B]
probabilidad de que ocurran los eventos
A ó
B
P [ A + B]
probabilidad de que ocurran los eventos
A ó
B
, o probabilidad de la
suma de eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí en adelante. 4.) PROBABILIDAD DEL EVENTO PRODUCTO Sean dos eventos o sucesos A , B ⊂E , no necesariamente disjuntos, entonces la probabilidad de su intersección es:
P [ A] P [ B / A] P [ A ∩ B] = P [ B] P [ A / B] Si los sucesos son independientes es decir A ∩B =φ , entonces: P [ A ∩B ] = P [ A ∧ B ] = P [ A * B ] = P [ A] * P [ B ] P [ A ∩ B] P [ A ∧B ] P [ A* B]
Probabilidad de la intersección de los eventos Probabilidad de que ocurran los eventos
A
Probabilidad de que ocurran los eventos
A y
B
A
y
y
B
B
, o probabilidad del
producto de los eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí en adelante. Ejemplos. Para una determinada elección primaria de un candidato de determinado partido, se sabe que el 50% de los militantes votarían por “A”, el 20 % lo harían por “B” y el 5% lo haría por cualquiera de los dos, es decir por “A” y por “B”. a.)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que voten por algún candidato?
b.)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que no voten por ninguno de los
dos? Solución: a.)
P [ A] = 0,5
P [ B ] = 0,2
y
P [ A * B ] = 0,05
luego:
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P [ A + B ] = P [ A] + P [ B ] − P [ A * B ] = 0,5 + 0,2 −0,05 = 0,65
b.) P [ A * B ] = 1 − P [ A + B ] =1 − 0,65 = 0,35
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un accionista compra en la bolsa tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es de 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente de 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten de valor b) Ninguna aumente de valor c) Una aumente su valor d) Dos aumenten su valor e) Por lo menos dos aumenten su valor f) Por lo menos una aumente su valor A Aumenta ;
A no aumenta
B Aumenta ;
B no aumenta
C Aumenta ;
C no aumenta
; P( A) =1 / 3
; P( B ) = 3 / 4
; P ( C ) =1 / 10
P( A ) = 2 / 3
P ( B ) =1 / 4
P (C ) = 9 / 10
3 1 3 1 = 0,025 = 3 4 10 120 2 1 9 18 = 0,15 b) P( A B C ) = P( A ) P( B ) P (C ) = = 3 4 10 120
a) P( ABC ) = P( A) P( B ) P( C ) =
9 1 1 9 P( AB C ) = P( A) P( B ) P(C ) = = = 0,075 3 4 10 120 2 3 9 54 P( A BC ) = P( A ) P( B ) P(C ) = = = 0,45 3 4 10 120 c) 2 2 1 1 P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C ) = = = 0,017 3 4 10 120 9 54 2 65 P [ Una aumente su valor ] = + + = = 0,542 = 0,075 + 0,45 + 0,017 120 120 120 120
Capitulo 1 Probabilidad
d)
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1 3 9 27 P( ABC ) = P( A) P( B ) P( C ) = = = 0,225 3 4 10 120 1 1 1 1 P( AB C ) = P( A) P( B ) P( C ) = = = 0,008 3 4 10 120 6 2 3 1 P( A BC ) = P( A ) P( B ) P( C ) = = = 0,05 3 4 10 120 27 1 6 34 Pr [ Una aumente su valor ] = + + = = 0,283 = 0,225 + 0,008 + 0,05 120 120 120 120 Pr [ Por lo menos 2 aumenten su valor
] = Pr [ 2 aumenten
e)
su valor
] + Pr [3 aumenten
su valor
]
34 3 37 = + = = 0,308 120 120 120
Pr [ Por lo menos 1 aumente su valor
f)
] = 1 − Pr [ Ninguna
aumente su valor
] = 1 − 18
120
102 = = 0,85 = 1 - 0,15 120
2) Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas? Una forma de resolverlo es por probabilidades condicionadas: P BBBB B = P[ B ] P[ B ] P[ B ] P B P B
[
]
[ ] [ ]
= P[ B ] P[ B / B ] P[ B / B * B ] P[ B / B * B * B ] P[ B / B * B * B * B ] 7 = 10
6 9
5 8
3 7
2 1260 = 0,04167 = 6 30240
Pero lo anterior puede darse de 10 formas distintas, a saber: B B B
BB, B B B BB , BB B B B , BB B B
Luego:
P [ De 5 ; 2 sean defectuosa s ] = (10 ) ( 0,04167
B , BB B B B , B BB B B , BB BB B, B B B B B
) = 0,4167
Otra forma es usando combinatoria para encontrar el espacio de todos los resultados posibles (espacio muestral): Los casos en los cuales podemos obtener tres piezas buenas y dos defectuosas es: C 37 C 23 = ( 35 ) ( 3) = 105
Y el total de casos que podemos obtener es de : C 510 = 252 Por tanto la probabilidad pedida es: P [Obtener tres buenas y dos defectuosa s ] =
105 = 0,4167 = (41,67%) 252
, BB B
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3) El presidente debe seleccionar 5 de una lista de doce diputados, de los cuales 7 lo apoyan y 5 le hacen oposición. Si el selecciona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría del comité apoye al presidente?. Hay tres formas de plantear el problema: La primera manera es buscando todas las formas posibles en que el presidente tenga mayoría, que es cuando tiene en el comité tres, cuatro o cinco (todos) que lo apoyan. En este caso buscamos todas las posibilidades en que se pueden combinar los 12 tomados de 5 en 5, C 512 = 792 . Luego buscamos todas las posibilidades en que tiene mayoría: C37 C 25 = ( 35 ) (10 ) = 350 Con tres a favor casos 7 5 Con cuatro a favor C 4 C1 = ( 35 ) ( 5) = 175 casos 7 5 C5 C 0 = ( 21) (1) = 21 Con todos a favor casos. En total = 546 casos a favor, luego la probabilidad buscada es:
P [ Mayoría apoye al presidente
] = 546
792
= 0,6894 (68,94%)
Segunda forma: Es muy semejante a la primera solo que se calculan las probabilidades individuales para cada caso en mayoría y estas se suman: P [ Mayoría
apoye al presidente
] =[
3 a favor ] + [ 4 a favor ] + [ 5 a favor ] 350 175 21 546 = + + = = 0,6894 (68,94%) 792 792 792 792
Y la tercera forma es usando las probabilidades condicionadas: Identificamos un caso cuando tres están a favor (F) y dos en contra ( F ) P[ FFF F F ] = P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] =
= P[ F ] P[ F / F ] P[ F / F * F ] P[ F / F * F * F ] P[ F / F * F * F * F ] 7 6 5 5 4 4200 = = 12 11 10 9 8 95040
= 0,0442
Pero tenemos que estudiar las diferentes formas en que este suceso se puede dar o permutar: F F F
FF , F F F FF , FF F F F , FF F F
F , FF F F F , F FF F F , FF FF F , F F F F F
es de 10 maneras posibles, luego: P [ De 5 ; 3 apoyen al presidente
] = (10 ) ( 0,0442 ) = 0,4419
De la misma forma para el caso de que 4 lo apoyen y solo uno este en contra: 4200 7 6 5 4 5 P[ FFF FF ] = P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] = = 12 11 10 9 8 95040
Habiendo solo 5 formas de hacer esto: FFFF
F , FFF F F ,
FF F FF ,
P [ De 5 ; 4 apoyen al presidente
FF FFF
,
F FFFF
] = ( 5) ( 0,0442 ) = 0,2210
,
, luego
= 0,0442
, F
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16
Y por último el caso en que todos están con el presidente: FFFFF , un solo caso en cuyo caso Pr [ Los 5 apoyen al presidente ] = (1) ( 0,0265 ) = 0,0265 Y sumando las tres probabilidades tenemos: P [ Mayoría
apoye al presidente
] = 0,4419
+ 0,2210 + 0,0265 = 0,6894
(68,94%)
TABLAS DE CONTINGENCIA Y PROBABILIDAD Una tabla de contingencia permite identificar las frecuencias asociadas con cada una de las categorías de una variable (variable fila X), con cada una de las categorías de una segunda variable (variable columna Y). Cada intersección de fila con columna nos da el número de individuos que poseen simultáneamente el valor del atributo x en la variable fila X, y el valor del atributo y en la columna Y. EJEMPLOS: 1.) La siguiente tabla de contingencia, de los 500 empleados de una empresa, según clasificación de los empleados por sexo: TABLA DE FRECUENCIAS Clasificación de los empleados Genero
(A)dministrativ
(O)perativo (S)ervicios
o (H)ombres (M)ujeres TOTAL
120 50 170
150 140 290
30 10 40
TOTAL 300 200 500
Los valores en los márgenes derecho e inferior se denominan frecuencias marginales. Por ejemplo la frecuencia marginal de 300 hombres, está conformada por 120 de Personal, 150 de Línea y 30 Auxiliares. Asociada a esta tabla podemos construir una tabla de probabilidad asociada como la siguiente: TABLA DE PROBABILIDADES Clasificación de los empleados
TOTAL
Capitulo 1 Probabilidad Genero (H)ombres
(A)dministrativo 0,24
(O)perativo 0,30
17
(S)ervicios 0,06
0,60
(M)ujeres
0,10
0,28
0,02
0,40
TOTAL
0,34
0,58
0,08
1,00
Los valores a los márgenes de la tabla se denominan probabilidades marginales. Cada celda del cuerpo de la tabla representa la probabilidad de intersección de los dos eventos o categorías asignadas a cada una de las variables, por ejemplo la probabilidad de seleccionar al azar un miembro del personal
sea Hombre
y istrativo es
P [ H . A] = 0,24 . Una probabilidad marginal puede hallarse como la suma de las
probabilidades conjuntas correspondientes, por ejemplo: P [ H ] = P[ H . A ] + P[ H . O
] + P[ H . S ] = 0,24 + 0,30 + 0,06
= 0,60
Consideremos ahora el cálculo de las siguientes probabilidades: a) Que el personal sea istrativo u Operativo P [ A + O ] = P [ A] + P [O ] = 0,34 + 0,58 = 0,92
b) Que el personal sea istrativo u Hombre P [ A + H ] = P [ A] + P [ H ] − P [ A * H ] = 0,34 + 0,60 − 0,24 = 0,70
c) Dado que el personal es Mujer cual es la probabilidad de que pertenezca al personal istrativo P [A/ M ] =
P [ A * M ] 0,10 = = 0,25 P [M ] 0,40
d) Dado que el personal es istrativo, cual es la probabilidad de que sea Mujer P [ M / A] =
P( A * M ) 0,10 = = 0,29 P ( A) 0,34
2.) Con relación a la opinión de aprobar una reforma a la constitución de un país se entrevistan 100 personas entre jóvenes (17-35 años de edad) y adultos (mayores de 35 años), en cada una de cuatro zonas diferentes de una barriada, obteniéndose
los
siguientes resultados: ZONA A
ZONA B
EDAD
(S)I
(N)O
TOTAL
JOV. (J)
40
30
ADUL. (A)
20
10
ZONA C
EDAD
(S)I
(N)O
TOTAL
70
JOV. (J)
60
10
70
30
ADUL. (A)
0
30
30
EDAD
ZONA D
(S)I
(N)O
TOTAL
EDAD
JOV. (J)
30
40
(S)I
(N)O
TOTAL
70
JOV. (J)
42
28
ADUL. (A)
30
0
70
30
ADUL. (A)
18
12
30
Capitulo 1 Probabilidad TOTAL
60
40
100
TOTAL
60
40
100
TOTAL
60
40
18 100
TOTAL
60
40
100
Vamos a suponer que escogemos al azar una persona de la Zona A, y descubrimos que es joven. ¿Cuál es la probabilidad de que se decida por el Sí? Esto puede escribirse en términos de probabilidades como:
probabilidad
condicional
P[ S / J ] =
obtendríamos:
40 4 = . 70 7
También si usamos la formula de
P[ S / J ] =
P[ S * J ] 40 100 4 = = , P[ J ] 70 100 7
el
mismo
resultado. Consideremos ahora la tabla correspondiente a la Zona B , aquí todos los que están de acuerdo con la opción Sí, son jóvenes, Así hay una relación obvia (no necesariamente causal). También existe una relación entre estas variables en la opción de la Zona C, en este caso todos los que son jóvenes dijeron No. Sin embargo cuando apreciamos la Zona D, aquí el panorama es muy diferente. Aquí no existe una relación aparente. Por ejemplo el 60% de todas las personas se han decidido por el Sí y también el 42 * 100 de los que son jóvenes se han decidido por el Sí. De igual forma el 70% de 70
60%
28 * 100 de las personas que se 40
todas las personas son jóvenes, y exactamente el 70%
manifestaron por el No, son jóvenes. De igual forma también se comportan la comparación entre el 30% que conforman las personas adultas y el 40% de las personas que se manifestaron por el No. De esta manera se aprecia que no hay ninguna indicación de que las características de opinar Sí y ser jóvenes tengan alguna relación entre si. Evidentemente, la última tabla considerada fue tomada de esta manera para que exhiba esta propiedad. ¿Cómo buscaríamos estos resultados, sin alterar las marginales? Simplemente aplicando la ecuación de independencia de
ZONA D EDAD JOV. (J)
(S)I
(N)O
42
70
ADUL. (A) TOTAL
TOTAL
30 60
40
100
dos eventos:
P[ S * J ] = P ( S ) . P ( J ) =
60 70 42 = . Las 100 100 100
demás celdas se calculan de manera semejante. En este
caso decimos que existe independencia entre los factores de opinión y loa rangos de edades de las personas. Otra forma sencilla de verificar que en una tabla bidimensional existe independencia entre los factores que la definen es ver si las filas (columnas) son
Capitulo 1 Probabilidad
19
combinaciones lineales de las otras filas (columnas), es decir si se pueden obtener las filas (columnas) mediante la multiplicación de algún factor fijo por otra fila (columnas). En este caso si multiplicamos cada elemento de la fila 2 por el factor
7 3,
obtenemos el elemento
correspondiente de la fila 1, de manera semejante si multiplicamos la columna 2 por el factor obtenemos la primera columna.
3 2
En la mayor parte de las aplicaciones y/o ejercicios supondremos la independencia de los sucesos A y B , P ( A) . P ( B ) .
y luego usaremos esta hipótesis para calcular
P[ A * B ] , mediante
Generalmente, las condiciones físicas bajo las cuales se realiza el
experimento harán posible determinar, si tal suposición es justificada o al menos aproximadamente justificada. EJERCICIOS PROPUESTOS 1)
En una encuesta de expertos se entrevistaron 500 economistas de la
Academia, la Industria privada y el Gobierno y una de las preguntas era “si la economía del país podría: ser Estable, Expandirse o podría entrar en un período de Contracción en el futuro próximo (doce meses)”. Sin embargo, parte de la información se perdió debido a fallas de tabulación, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial: Curso de la economía Economistas (A)cademia
E(S)table 125
(I)ndustria Privada (G)obierno
25
TOTAL
200
(E)xpansión
( C)ontracción 100
TOTAL
35
110
40
65
Cree una tabla de probabilidad y encuentre las siguientes probabilidades: a) P ( A) f) P ( A * E )
b) P (G ) g) P (G * C )
c) P( A +G ) h) P ( E / A)
d) P ( A +C )
e) P ( A * S )
i) P ( A / E )
2.) En un estudio sobre los niveles de pobreza de un poblado, se tomo una muestra de 120 hogares, obteniéndose la siguiente clasificación de pobreza de acuerdo al nivel educativo de la población, esbozada en la siguiente tabla, la cual no aparece completa debido a fallas en la tabulación de los datos:
Capitulo 1 Probabilidad NIVEL
POBRE
EDUCATIVO (B)ASICA (S)ECUNDARIA (U)NIVERSITARIA TOTAL
(E)XTREMO 10
(P)OBRE 20
20
10 60
(N)O POBRE
20 TOTAL 40
20 20
Se pide: a) P (B )
b) P ( E * S )
c) P ( N * U )
Solución: a) 0,332
b) 0,083
d) P ( B * P ) c) 0,083
d) 0,167
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Para calcular probabilidades cuando el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos sus probabilidades (ver figura), necesitamos introducir la siguiente definición.
E A1
A2
A3
B A4
Definición. Se dice que una colección
A5
A1 , A2 ,...... An ⊂ E de sucesos o eventos, es
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las siguientes relaciones: a.)
n
i =1
Ai = E
b.) Ai ∩ A j = φ
∀ i ≠ j,
es decir son disjuntos dos a dos.
Capitulo 1 Probabilidad
21
Teorema de la probabilidad total o de la partición Sea A1 , A2 ,...... An ⊂ E , un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces n
∀ B ⊂ E ⇒ P [ B ] = ∑ P[ Ai ] . P [ B / Ai ] i =1
Demostración: n n n P [ B ] = P [ B ∩ E ] = P B ∩ Ai = P ( B ∩ Ai ) = = ∑ P[ B ∩ Ai ] = i =1 i =1 i =1
n
∑ P[ Ai ] . P[ B / Ai ] i =1
Ejemplo: Para integrar una comisión se quieren seleccionar candidatos de dos toldas políticas “A” y “B”, de dos diferentes comités seccionales: S1 y S 2 , utilizando un mecanismo aleatorio, vale decir usando un dado, se lanza este y si sale alguna cara 3,4,5 o 6 , se escoge un candidato para la comisión de la seccional 1, que está integrada por 2 militantes del partido “A” y 3 militantes del partido “B”; de lo contrario se escogerá un candidato de la seccional 2, que está integrada a su vez por 6 militantes del partido “A” y 2 Militantes del partido “B”. a.)
¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea del partido “A”?
b.)
¿Cuál es la probabilidad de que sea del partido “B”?
SOLUCIÓN: En estos casos siempre es conveniente introducir un diagrama de árbol que nos representa la composición y las respectivas probabilidades de selección como se aprecia en el gráfico:
Capitulo 1 Probabilidad
P [ A / S1 ] = 2 / 5
P[ S1 * A] = P [ S1 ] P [ A / S1 ] =
22
4 2 8 = = 0,27 6 5 30
P [ S1 ] = P [{ 3,4,5,6} ] = 4 / 6 P [ B / S1 ] = 3 / 5
P [ A / S2 ] = 6 / 8 P [ S 2 ] = P [ {1,2} ] = 2 / 6
P[ S1 * B ] = P [ S1 ] P [ B / S1 ] =
4 3 12 = = 0,4 6 5 30
P[ S 2 * A] = P [ S 2 ] P [ A / S 2 ] =
2 6 12 = = 0,25 6 8 48
P[ S 2 * B ] = P [ S 2 ] P [ B / S 2 ] =
2 2 4 = = 0,08 6 8 48
P [ B / S2 ] = 2 / 8
Dado que S1 y S 2 ; forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos o partición, entonces:
SELECCIÓN D MEDIANTE E
a.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “A” es:
P [ A] = P [ S1 ] P [ A / S1 ] + P [ S 2 ] P [ A / S 2 ] = 0,27 + 0,25 = 0,52 b.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “B” es:
P [ B ] = P [ S1 ] P [ B / S1 ] + P [ S 2 ] P [ B / S 2 ] = 0,4 + 0,08 = 0,48
Es interesante apreciar que el mecanismo de la selección del dado hace más representativa la participación de los partidos en la comisión, favoreciendo en este caso al partido con menor número de militantes en las seccionales. Teorema de Bayes o de la probabilidad inversa 3
3
Enunciado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), fundamenta la estadística bayesiana y sienta los
principios de la teoría de la decisión en base a la concepción subjetivista de la probabilidad.
Capitulo 1 Probabilidad
23
Si A1 , A2 ,..., An ⊂ E es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos (partición de E) y B ⊂ E un suceso del que conocemos todas las cantidades P [ B / Ai ],
i = 1,..., n, a
las que denominamos verosimilitudes, entonces se verifica:
[
]
P Aj / B =
[ ] [
P Aj . P B / A j
]
∀ j = 1,..., n,
n
∑ P [ Ai ] . P [ B / Ai ] i =1
Demostración: es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la intersección, y del teorema de la probabilidad total:
[
]
P Aj / B =
[
P Aj ∩ B P[ B ]
] = P[ A j ] . P[ B / A j ] n
∑ P[ Ai ] . P[ B / Ai ] i =1
Ejemplo Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores: el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuoso el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las piezas, y de ellas es defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3% de las mismas. En un control de recepción
de artículos se selecciona una pieza al azar y es
defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor. Solución: observemos que cada una de las piezas procede de uno y solo uno de los proveedores (sistema exhaustivo y excluyente de sucesos). Vamos a llamar A1, A2 y A3 al suceso de que la pieza seleccionada provenga del primer, segundo o tercer proveedor respectivamente. Sea B el suceso de que la pieza sea defectuosa. La información que poseemos se resume en: Probabilidad de procedencia1
[ ] P [ A ] = 0,30 P [ A ] = 0,25
Probabilidad de ser defectuosa2
P A1 = 0,45 2
3
1 2
Probabilidad a priori de que la pieza proceda de A3 Probabilidad de que la pieza suministrada por Aj sea defectuosa
[ ] P [ D / A ] = 0,02 P [ D / A ] = 0,03 P D / A1 = 0,01 2
3
Capitulo 1 Probabilidad
24
Hemos de calcular P [ A2 / D ] (probabilidad a posteriori de que la pieza suministrarse el segundo proveedor, sabiendo que es defectuosa). Para ello usamos el Teorema de Bayes:
P [ A2 / D ] =
[ ] [ ] ∑ P [ A ] . P [D / A ] P A2 . P D / A2
3
i =1
i
i
=
0,02 . 0,30 = 0,33 0,45 . 0,01 + 0,3 . 0,02 + 0,25 . 0,03
El teorema de Bayes nos permite calcular probabilidades a posteriori a partir de otras probabilidades que son más fáciles de obtener (verosimilitudes y probabilidades a priori ). El problema anterior también lo hubiésemos podido resolver de manera más sencilla elaborando el Diagrama de Árbol respectivo como sigue:
Capitulo 1 Probabilidad
[ ]
P A1 = 0,45
[ ]
P A 2 = 0,3
[ ]
[ ] [
]
[ ] [
]
P [ D ] = 0,01
P [ A1 * D ] = P A1 . P D / A1 = 0,45 . 0,01 = 0,0045
P [ D ] = 0,99
P A1 * D = P A1 . P D / A1 = 0,45 . 0,99 = 0,4455
P [ D ] = 0,02
P A 2 * D = P A2 . P D / A2 = 0,3 . 0,02 = 0,0060
P [ D ] = 0,98
P A2 * D = P A 2 . P D / A2 = 0,3 . 0,98 = 0,2940
P [ D ] = 0,03
P A3 * D = P A3 . P D / A3 = 0,25 . 0,03 = 0,0075
P [ D ] = 0,97
P A3 * D = P A3 . P D / A3 = 0,25 . 0,97 = 0,2425
P A 3 = 0,25
[
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
25
Transcribiendo la probabilidad pedida obtenemos el mismo resultado: P [ A2 / D ] ==
0,0060 0,0045 + 0,0060 + 0,0075
=
0,0060 = 0,3333 0,0180
EJEMPLOS GENERALES DEL CAPITULO: 1) Una caja contiene 4 componentes electrónicos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que se bueno. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el otro también sea bueno?.
Capitulo 1 Probabilidad
26 Solución: 5
2) Supóngase que
A
y
9
B son dos sucesos independientes asociados con un
experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6 , mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0.4 , determinar la probabilidad de que B ocurra. Solución: 1 = 0.333
3
3) Veinte artículos, 12 de los cuales son defectuosos y 8 no defectuosos, se inspeccionan uno después del otro. Si esos artículos se escogen al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) los dos primeros artículos inspeccionados sean defectuosos? b) los dos primeros artículos inspeccionados sean no defectuosos? c) entre los dos primeros artículos inspeccionados haya uno defectuoso y uno no defectuoso?. Solución: a ) 33
95
= 0.347
b) 14
95
= 0.147 c) 48 = 0505 95
4) Supongamos que tenemos dos urnas de un centro de votación cada una con dos votos. La urna una tiene un voto “SI” y un voto “NO”, mientras que la urna 2 tiene dos votos “SI”. Se escoge una urna al azar y de esta se extrae un voto también al azar. El voto seleccionado resultó un “SI” ¿Cuál es la probabilidad de que el voto provenga de la urna 2?. Solución: 2 = 0.667
3
5) Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos
A y B , a partir de
una serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades: P( A falle
) = 0.20 ,
P ( B sólo falle
) = 0.15 ,
P( A y B
fallen
) = 0.15 . Calcular las
probabilidades siguientes. a) P( A falle / B halla fallado ) b) P( A falle solamente ) Solución: a ) 0.50
b) 0.05
6) En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16 % lee B, 14% lee C, 8% lee A y B , 5% lee A y C, y
Capitulo 1 Probabilidad
27
2% lee A, B y C . Para un lector de la muestra escogido al azar, calcular la probabilidad de que a) no lea ninguno de los periódicos b) lea exactamente uno de los periódicos c) lea al menos A y B, si se sabe que lee al menos uno de los periódicos publicados. d) Cuales serían los resultados de los puntos anteriores si además de los datos aportados se sabe que el 12% lee simultáneamente 2 periódicos. Solución: a ) 0.6 3 7)
b) 0.2 6 c) 8
d ) 0.6 5 0.2 2
37
8
35
La siguiente tabla recoge las predicciones referentes a las ganancias por acción
de 1000 títulos distintos realizadas por un analista financiero junto con los resultados ocurridos clasificados en tres categorías: PREDICCION RESULTADO CRECIMIENTO
CRECIMIENTO 210
APROX. IGUAL 82
DECRECIMIENTO 66
APROX. IGUAL
106
153
75
DECRECIMIENTO
75
84
149
a) Calcular la probabilidad de que si la predicción prevé un decrecimiento de las ganancias se dé este resultado. b) Calcular la predicción de que si la predicción realizada prevé un crecimiento de las ganancia se materialice este resultado. Solución: a ) 0,514 8)
b) 0,463
La gerencia de mercados se especializa en la elaboración de informes sobre las
mejores localizaciones para nuevas tiendas de alimentos en áreas comerciales. Dicha gerencia clasifica las posibles localizaciones en Buenas, Aceptables y Malas. De todos los informes realizados para tiendas que prosperaron, la evaluación fue Buena para el 70%, Aceptable para el 30% y Mala para el 50%. También se sabe que el 60% de las nuevas tiendas Prosperan y que el 40% fracasan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una tienda elegida al azar que prospere haya sido calificada como buena?
Capitulo 1 Probabilidad
28
b) Si las perspectivas de una tienda son clasificadas como buenas, ¿cuál es la probabilidad de que prospere? c) ¿Son los sucesos “perspectivas buenas” y “la tienda prospera” independientes estadísticamente? d) Si se eligen 5 tiendas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas prospere? Solución: a ) 0,50
b) 0,84
c ) No
d ) 0,885
EJEMPLOS:
La teoría de la probabilidad y algunos ejemplos tradicionales generales
Capitulo 1 Probabilidad
29
En la mayoría de los textos, siempre vamos a conseguir ejemplos con monedas, dados y cartas, esto en primer lugar es explicado por el origen de los estudios de la probabilidad que tuvo sus inicios en el establecimiento de métodos para lograr ganar en dichos juegos de envite y azar, y en segundo lugar, por lo fácil que estos ejemplos la comprensión de los principios de probabilidad y sus leyes. A continuación consideraremos algunos experimentos aleatorios de esta naturaleza, su espacio muestral asociado, algunos eventos de estos espacios y sus respectivas probabilidades. TIPO DE MUESTREO
EXPERIMENTO ALEATORIO LANZAR UNA MONEDA LANZAR DOS MONEDAS LANZAR UN DADO
REPOSICION
ALGUNOS E V # ELEMENTOS PROB. DE E DEL ESPACIO LOS N MUESTRAL EVENTOS T O S
ESPACIO MUESTRAL
NA
E = {c, s}
NA
E = {cc , cs , sc , ss }
4
NA
E = {1,2,3,4,5,6}
6
2
{( )
LANZAR DOS NA E = 1,1 ; (1,2),.....; DADOS SELECCIONAR DE UNA BARAJA: UNA CARTA ESPAÑOLA
NA
POKER
NA
(6,5); (6,6)}
36
E ={1O,2O,.... SO , CO , RO ,1E ,2 E ,...... RE, ..., RC
E ={1C ,2C ,.... JC , QC , KC ,1P,2 P,...... KP ,...,
} KT }
40 52
DOS CARTAS
ESPAÑOLA
CON SIN
POKER
CON SIN
40x40 =1600 E = {(1O,1O );......... ; (1O,1R );......... .......... ..( RC , RC )}
40x39 =1560 E = {(1O,2O );......... ; (1O,1R );......... .......... ..( CC ,1600-40=1560 RC )}
52x52=2704 E = {(1C ,1C );....; (1C , KC ); ( 2C ,1C );......... ...; ( KT , KT )}
52x51=2652 E = {(1C ,2C );....; (1C , KC ); ( 2C ,1C );......... ...; ( QT , 2704-52=2652 KT )}
DADAS 2 BOLAS (R)OJAS, 4 BOLAS (B)LANCAS Y 6 (N)EGRAS SACAR: Sacar:
UNA BOLA
NA
{
E = R 1 , R 2 , B1 , B 2 , B 3 , B 4 , N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , N 5 , N 6
}
A: Bola roja 12 B: Bola blanca C: Bola negra
DOS BOLAS
CON SIN
TRES BOLAS
CON
SIN
{( ) ( )( ) (N 6 , N 6 )} E = {(R1 , R 2 );..... (R1 , N 6 ); (R 2 , B1 );......... .......; (N 5 , N 6 )} E = {(R1 , R1 , R1 );......... .......... ; (N 6 , N 6 , N 6 )} E = R1 , R1 ;..... R1 , N 6 ; R 2 , B1 ;......... .......;
12x12=144
B: Bolas diferente color A: Bolas (12)3=1728 dos colores B: bolas dos 12x11x10=1320 Colores C: Bolas tres colores 12x11=132 144-12=132
{(
)
(
E = R1 , R 2 , R 3 ;......... .......... ; N 4 , N 5 , N 6
BIBLIOGRAFÍA
)}
A: bolas de un solo color de
de
de de
Capitulo 1 Probabilidad
30
Meyer Paul. Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Fondo Educativo Interamericano S.A. Caracas.1970. Wester Allen L. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Tercera edición. Mcgraw-Hill, Irvin McGraw-Hill. Colombia 2001. Lind, Douglas A., Marchal, William G., Wathen, Samuel A. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Doceava edición. McGraw-Hill. Mexico. 2005. Montiel, A.M., Rius, F., Barón, F.J. Estadística económica y empresarial. Prentice Hall. España 1997. Newbold, Paul. Estadística para los negocios y la economía. Cuarta Edción. Pearson. Prentice Hall. España. Madrid. 2005
1
ESTADÍSTICA SUPERIOR CARLOS A. ROJAS Y.
PROBABILIDAD INTRODUCCION Si el único propósito del investigador es describir los resultados de una realidad, política, situación o experimento concreto de la totalidad de una pequeña porción (muestra) del todo, como por ejemplo: el rendimiento del grado de una escuela, el análisis socioeconómico de los habitantes de un edificio, las preferencias políticas de un comité de postulados, etc., los métodos de Estadística Descriptiva, anteriormente utilizados pueden considerarse suficientes. Sin embargo, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos que conforman un todo, entonces los métodos descriptivos solo constituyen el principio del análisis, y se debe recurrir a métodos de inferencia estadística, donde se emplea la Teoría de la Probabilidad. La mayoría de los fenómenos del universo se pueden estudiar considerando una pequeña muestra de elementos de la población a que atañe el fenómeno, esto se logra seleccionando dicha muestra lo mas parecida posible a la población mediante un mecanismo al azar o aleatorio (objetivo) y es precisamente el cálculo de probabilidades la herramienta que nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios y que constituye la base para la estadística inductiva o inferencial. Dicha estadística es la encargada de determinar los tamaños de muestra acordes con los riesgos de error que estemos dispuestos a aceptar y la medición de los errores totales que se comenten por efectos del muestreo, lo que nos da la posibilidad de dar estimaciones por intervalos sobre los parámetros de la población estudiada. De alguna manera, el concepto de probabilidad se relaciona o nos recuerda las propiedades de la frecuencia relativa, ya vistas en la estadística descriptiva, y a partir de estas y junto con las definiciones de probabilidad condicional y de sucesos independientes se deducen los teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades.
EXPERIMENTO Y SUCESOS ALEATORIOS Es muy importante el aporte de la teoría de conjuntos cuando se estudia la probabilidad de ocurrencia de algún resultado de todos los posibles originado por un experimento. En este
Capitulo 1 Probabilidad orden de ideas vamos a denotar por la letra griega ypsilón
ε
2 , a un experimento de
cualquier naturaleza el cual puede ser determinístico, cuando repitiendo exactamente las mismas condiciones de realización del experimento podemos establecer el resultado esperado, como ejemplo tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial en reposo, si se deja caer al vacío desde una torre, siempre llega al suelo con la misma velocidad:
v=
2 gh
, siendo g la constante de gravedad y h la altura respectiva; en
general los experimentos físicos son de esta naturaleza. En cambio hay otros experimentos que aun manteniendo intactas la condiciones iniciales de su realización no podemos indicar el resultado esperado. Ejemplo: podemos lanzar un dado bien cargado o equilibrado de igual manera y en las mismas condiciones y aunque conocemos todos los resultados posibles no podríamos a priori establecer el resultado de su cara. A estos experimentos los vamos a llamar aleatorios, al azar o estocásticos, y serán en definitiva a los que les prestaremos nuestra atención. Este último ejemplo nos permite definir el concepto de Espacio Muestral como el conjunto
E
de todos los resultados posibles
E = { 1,2,3,4,5,6 } , asociados a la
realización de un experimento aleatorio. Vamos a definir como Evento o Suceso a todo subconjunto del espacio muestral, a los eventos los vamos a simbolizar por letras mayúsculas A, B, C , D, F , G...... A, B ⊂ E
Debemos distinguir entre sucesos simples o elementales y sucesos compuestos, estos últimos están compuestos por dos o mas sucesos simples, en el caso del lanzamiento de un dado todos los valores de cada una de las caras constituyen los sucesos elementales:
{1} , {2} , {3} , {4} , {5} sacar numero par
y {6} ; pero por ejemplo podemos considerar el suceso compuesto B: B = { 2,4,6 } o el suceso compuesto C: sacar numero múltiplo de tres
C = { 3,6 } . Dicho de otro modo un suceso elemental solo contiene un punto del espacio
muestral, en cambio un suceso compuesto, en general llamado suceso aleatorio, puede
Capitulo 1 Probabilidad
3
tener no uno solo, sino una infinidad de sucesos elementales; y también no contener ninguno como veremos en la siguiente definición: Suceso Imposible: es aquel que nunca se verifica o se da como resultado del experimento aleatorio. Como debe ser un subconjunto del espacio muestral
E , la única posibilidad es
que el suceso imposible sea el conjunto vació: φ ⊂ E ⇒ φ es suceso
imposible
Suceso Seguro: es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es decir, el mismo E . E ⊂ E ⇒ E es suceso
seguro
Suceso contrario: también se llama complementario de A y es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio no se verifica A. Se acostumbra a denotarlo como A: A ⊂ E ⇒ A = { x ∈ E ∧ x ∉ A}
NOCIÓN DE PROBABILIDAD El concepto de probabilidad ha evolucionado a lo largo del tiempo, y ha pasado por diversas formas de presentación. La noción actual de probabilidad es el resultado de una evolución histórica en la que el sentido del término se ha ido delimitando y enriqueciendo con distintas aportaciones. 1. Probabilidad de Laplace o Clásica Si un experimento cualquiera puede dar un número finito de resultados posibles, y no existe ninguna razón que de privilegio a unos resultados en contra de otros –tiene la estructura de un juego de azar- se calcula la probabilidad de un proceso aleatorio A, según
Capitulo 1 Probabilidad
4
la regla de Laplace1 como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento: P[ A ] =
número de casos favorables a A número de casos posibles
Ejemplo Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar. Solución: El experimento aleatorio es
ε
: Lanzar un dado, el espacio muestral es
E = {1,2,3,4,5,6} . Vamos a llamar al suceso A: el resultado sea impar. Por tanto A= {1,3,5} . Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás (el dado no está trucado), podemos aplicar la regla de Laplace para obtener: P[ A ] = =
=
número de casos favorables a A número de casos posibles número de elementos número de elementos
en A en E
número de elementos en {1,3,5} 3 1 = = número de elementos en {1,2,3,4,5,6} 6 2
2. Probabilidad Frecuencial o Empirica En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso
A , en n ensayos
denotémoslas por f n ( A) f n ( A) =
número de ocurrencia s de A ni = n n
Tiende a converger hacia cierta cantidad que denominaremos probabilidad de A:
Prob[ A] = lim f n ( A) = lim n →∞
n →∞
ni n
Esta es la noción intuitiva o frecuencial de probabilidad. Fue establecida por autores como el inglés Ronald A. Fisher (1890-1962) y el autor Richard von Mises (1883-1953). 1
El Marqués de Laplace (1789-1827) establece la definición clásica de probabilidad en su obra Théorie analytique des
probabilites. 1812.
Capitulo 1 Probabilidad
5
Kerrich, en su obra An experimental introduction to the theory of probability explica como lo verificó experimentalmente siendo prisionero durante la segunda guerra mundial. Realizó un experimento consistente en arrojar una moneda en diez conjuntos de mil tiradas cada uno, y tras contabilizar el número de caras, obtuvo un valor próximo a la frecuencia esperada: ½. En nuestro caso y para seguir con el ejemplo del lanzamiento de un dado vamos a simular mediante el programa EXCEL, a través su función aleatoria (=ALEATORIO.ENTRE(1;6)), el lanzamiento de un dado 500 veces y vamos a ver las veces que aparece el valor seis (6), es decir en cada oportunidad vamos a calcular el valor respectivo de la probabilidad de obtener un seis. En la figura siguiente se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de seis obtenido en el lanzamiento de una moneda en 500 ocasiones. En principio la evolución de las frecuencias relativas es errática, pero a medida que el número de tiradas aumenta, tiende a acercarse al valor esperado.
Capitulo 1 Probabilidad
6
3. Probabilidad Subjetiva Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repetición o experimentación, la probabilidad subjetiva es la cuantificación (subjetiva, por supuesto) que una persona (o un grupo) hace de un evento, utilizando la información que posee. Esta conceptualización de la probabilidad es muy aplicada en la empresa, y es utilizada por la estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de los juegos. Ha sido tratada por autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Koopman (1940) y Savage (1954). Barbancho en Estadística Elemental moderna expone la siguiente visión sobre la probabilidad subjetiva: … los estadísticos, en fechas más recientes [... ] han acudido al concepto de la denominada probabilidad subjetiva, mediante la cual cada persona, o grupo de personas, asigna a un evento un número que está en función de la verosimilitud percibida o sentida sobre dicho evento, o que expresa el “grado de creencia” racional depositada en él. Este número puede ajustarse a cualquier suerte de propiedades; lo más lógico, y es lo que sucede, es que estas propiedades de la probabilidad subjetiva sean las tres que se cumplen para la probabilidad clásica y la probabilidad frecuencial , a saber, la no negatividad, la certeza y la aditividad.
Probabilidad axiomática o de Kolmogorov
4.
El concepto axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov en 19332. Para ello precisó ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidad. Los axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones: 1.
La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1 (es no
negativa). P : E → [ 0,1] ∴ ∀ A ⊂ E ⇒ P ( A) ≥ 0
2.
La probabilidad del suceso seguro es 1. P ( E ) =1
2
A. Kolgomorov, Grundbegrife der Wahrscheinlichkeitrsechnung (1933). Ed. Springer. Berlín. Hay una traducción inglesa
de N. Morrison, Foundations of the theory of probability (1956). Ed. Chelsea. New York
Capitulo 1 Probabilidad 3.
7
La probabilidad de dos o mas sucesos incompatibles (unión numerable de
sucesos disjuntos), es decir de intersección vacía, debe ser la suma de sus probabilidades respectivas.
∞ ∞ A1 , A2 ,......, An ,..... ∈ E ⇒ P Ai = P[ A1 ] + P[ A2 ] + .......... .... P[ An ] + ...... = ∑P[ Ai ] i =1 i =1
Curiosamente, con solo estas tres leyes tenemos suficiente para obtener todas las reglas que se esperan de una función de probabilidad:
A
A1
A2
A3
A5
A4
A = A1 ∪ A2 ∪ .....
y
Ai ∩ A j = φ
[ ] [ ] [ ]
⇒ P A = P A1 + P A2 + ....
4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir, P [ A ∩ B ] ≤ P [ A]
P [ A ∩B ] ≤ P [ B ]
5. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno de los sucesos por separado: P [ A ∪B ] ≥ P [ A]
P [ A ∪B ] ≥ P [ B ]
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que
Capitulo 1 Probabilidad A∩B = 0
8
⇒ P [ A ∪ B ] = P [ A] + P [ B ]
6. La probabilidad del suceso contrario a A, es
[ ]
P A =1 −P [ A]. ,
lo cual se deduce de
las tres primeras propiedades
[
]
[ ]
P[ E ] =1 = P A ∪ A = P[ A] + P A
7.
[ ]
⇒ P A = 1 − P[ A]
La probabilidad del conjunto vacío es cero, ya que:
[ ]
P[φ] =1 − P φ =1 − P[ E ] =1 −1 = 0
Lo esbozado en los puntos anteriores indica ciertas propiedades que debe cumplir una Función de Probabilidad , que de manera verbal podemos resumir como: la función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E; no es estrictamente necesario que sean todos, pero sí es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, se pueda hacer también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, también se puede calcular sobre su unión y su intersección. Cabe señalar, como lo destaca la definición axiomática de la probabilidad de Kolgomorov, que bastan solo las tres primeras propiedades para obtener las restantes como una simple consecuencia, tal como se dedujeron algunas de las últimas propiedades anteriores. El grafico que se presenta a continuación resume los tipos de probabilidad esbozados y su estrategia para abordar su cálculo.
Capitulo 1 Probabilidad
9
PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS Sea B ⊂ E un suceso aleatorio de probabilidad no nula, P[ B ] > 0 . Para cualquier otro suceso A ⊂ E , llamamos probabilidad condicionada de A por B , a la cantidad que representamos mediante P[ A / B ] y que se calcula como: A ⊂ E ⇒ P[ A / B ] =
P[ A ∩ B ] P[ B ]
Ejemplo Se lanza un dado al aire: a)
¿cuál es la probabilidad de que salga el número 4?
b)
Si sabemos que el resultado ha sido un número par, y no disponemos de más
información ¿se ha modificado esta probabilidad? Solución El espacio muestral que corresponde a este experimento es: E = { 1,2,3,4,5,6 }
a)
Hemos de calcular la probabilidad del suceso A = { 4} . Si el dado no está
trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace, P[ 4] = P[ A] =
casos favorables número de elementos en { 4 } 1 = = casos posibles número de elementos en { 1,2,3,4,5,6 } 6
Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace, hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir: P[1] = P[ 2] = P[3] = P[ 4] = P[5] = P[6]
b)
Por otro lado, si sabemos que ha salido un número par, de nuevo por la
definición de laplace tenemos P[ 4 / Par ] =
casos favorables casos posibles
=
número de elementos en 4 1 = número de elementos en { 2,4,6 } 3
Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si
Capitulo 1 Probabilidad A ={ 4}
⇒
B = { 2,4,6 } A∩B ={ 4}
P[ A] =
⇒ ⇒
10
1 6
P[ B ] =
1 1 1 3 1 + + = = 6 6 6 6 2
P[ A ∩ B ] =
1 6
Entonces:
1 P[ A ∩ B ] 6 2 1 P[ A / B ] = = = = , 1 6 3 P[ B ] 2 que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace. Tambien podríamos considerar la probabilidad inversa de ocurrencia de los eventos anteriores:
1 P[ B ∩ A] P[ A ∩ B ] P[ B / A] = = = 6 =1 1 P[ A] P[ A] 6 Lo cual nos indica que obtener un número par al lanzar un dado, dado que salio un cuatro es un suceso seguro, que denotaremos por: P( S ) = P ( E ) = 1 Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula se puede escribir como:
P[ A] . P[ B / A] P [ A ∩ B] = P[ B] . P[ A / B] O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero.
Capitulo 1 Probabilidad
11
Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión “sabiendo que” no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de independencia de dos sucesos A y B como: A es independie nte de B
⇔
P[ A ∩ B ] = P[ A] . P[ B ]
Esta relación puede ser escrita de modo equivalente cuando dos sucesos son de probabilidad no nula como:
P[ A] = P[ A] P[ B / A] A e i sn d en pdt eBe Pn[ A] d≠ 0 i≠ Pe [ B] ⇔ o e q u e i vm a e l ne nt e t P[ B] = P[ A] P[ A / B] OPERACIONES CON PROBABILIDAD (reglas elementales del cálculo de probabilidades) 1.) REGLA DEL SUCESO CONTRARIO:
[ ]
P A =1 −P [ A]
2.) PROBABILIDAD CONDICIONADA DEL SUCESO CONTRARIO:
[
]
P A / B =1 − P [ A / B ]
3.) PROBABILIDAD DEL EVENTO SUMA Dados dos eventos o sucesos A , B ⊂ E , que no son excluyentes (no necesariamente disjuntos), es decir que se pueden dar simultáneamente ambos a la vez, entonces la probabilidad del evento suma P[ A ∪ B ] = P[ A ∨ B ] = P[ A + B ] = P[ A] + P[ B ] − P[ A ∩ B ] = P[ A] + P[ B ] − P[ A . B ]
Capitulo 1 Probabilidad
12
Si los sucesos A y B , son disjuntos es decir A ∩B = φ , se dice que los eventos son mutuamente excluyentes siendo en consecuencia la probabilidad suma: P[ A ∪B ] = P[ A ∨ B ] = P[ A + B ] = P[ A] + P[ B ] = P[ A] + P[ B ]
La forma de leer esta notación es: P [ A ∪B ]
probabilidad de la unión de los eventos
A ó
B
P [ A ∨B]
probabilidad de que ocurran los eventos
A ó
B
P [ A + B]
probabilidad de que ocurran los eventos
A ó
B
, o probabilidad de la
suma de eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí en adelante. 4.) PROBABILIDAD DEL EVENTO PRODUCTO Sean dos eventos o sucesos A , B ⊂E , no necesariamente disjuntos, entonces la probabilidad de su intersección es:
P [ A] P [ B / A] P [ A ∩ B] = P [ B] P [ A / B] Si los sucesos son independientes es decir A ∩B =φ , entonces: P [ A ∩B ] = P [ A ∧ B ] = P [ A * B ] = P [ A] * P [ B ] P [ A ∩ B] P [ A ∧B ] P [ A* B]
Probabilidad de la intersección de los eventos Probabilidad de que ocurran los eventos
A
Probabilidad de que ocurran los eventos
A y
B
A
y
y
B
B
, o probabilidad del
producto de los eventos. De ahora en adelante será esta última notación la que utilizaremos de aquí en adelante. Ejemplos. Para una determinada elección primaria de un candidato de determinado partido, se sabe que el 50% de los militantes votarían por “A”, el 20 % lo harían por “B” y el 5% lo haría por cualquiera de los dos, es decir por “A” y por “B”. a.)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que voten por algún candidato?
b.)
¿Cuál es la probabilidad de encontrar militantes que no voten por ninguno de los
dos? Solución: a.)
P [ A] = 0,5
P [ B ] = 0,2
y
P [ A * B ] = 0,05
luego:
Capitulo 1 Probabilidad
13
P [ A + B ] = P [ A] + P [ B ] − P [ A * B ] = 0,5 + 0,2 −0,05 = 0,65
b.) P [ A * B ] = 1 − P [ A + B ] =1 − 0,65 = 0,35
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un accionista compra en la bolsa tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es de 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente de 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten de valor b) Ninguna aumente de valor c) Una aumente su valor d) Dos aumenten su valor e) Por lo menos dos aumenten su valor f) Por lo menos una aumente su valor A Aumenta ;
A no aumenta
B Aumenta ;
B no aumenta
C Aumenta ;
C no aumenta
; P( A) =1 / 3
; P( B ) = 3 / 4
; P ( C ) =1 / 10
P( A ) = 2 / 3
P ( B ) =1 / 4
P (C ) = 9 / 10
3 1 3 1 = 0,025 = 3 4 10 120 2 1 9 18 = 0,15 b) P( A B C ) = P( A ) P( B ) P (C ) = = 3 4 10 120
a) P( ABC ) = P( A) P( B ) P( C ) =
9 1 1 9 P( AB C ) = P( A) P( B ) P(C ) = = = 0,075 3 4 10 120 2 3 9 54 P( A BC ) = P( A ) P( B ) P(C ) = = = 0,45 3 4 10 120 c) 2 2 1 1 P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C ) = = = 0,017 3 4 10 120 9 54 2 65 P [ Una aumente su valor ] = + + = = 0,542 = 0,075 + 0,45 + 0,017 120 120 120 120
Capitulo 1 Probabilidad
d)
14
1 3 9 27 P( ABC ) = P( A) P( B ) P( C ) = = = 0,225 3 4 10 120 1 1 1 1 P( AB C ) = P( A) P( B ) P( C ) = = = 0,008 3 4 10 120 6 2 3 1 P( A BC ) = P( A ) P( B ) P( C ) = = = 0,05 3 4 10 120 27 1 6 34 Pr [ Una aumente su valor ] = + + = = 0,283 = 0,225 + 0,008 + 0,05 120 120 120 120 Pr [ Por lo menos 2 aumenten su valor
] = Pr [ 2 aumenten
e)
su valor
] + Pr [3 aumenten
su valor
]
34 3 37 = + = = 0,308 120 120 120
Pr [ Por lo menos 1 aumente su valor
f)
] = 1 − Pr [ Ninguna
aumente su valor
] = 1 − 18
120
102 = = 0,85 = 1 - 0,15 120
2) Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas? Una forma de resolverlo es por probabilidades condicionadas: P BBBB B = P[ B ] P[ B ] P[ B ] P B P B
[
]
[ ] [ ]
= P[ B ] P[ B / B ] P[ B / B * B ] P[ B / B * B * B ] P[ B / B * B * B * B ] 7 = 10
6 9
5 8
3 7
2 1260 = 0,04167 = 6 30240
Pero lo anterior puede darse de 10 formas distintas, a saber: B B B
BB, B B B BB , BB B B B , BB B B
Luego:
P [ De 5 ; 2 sean defectuosa s ] = (10 ) ( 0,04167
B , BB B B B , B BB B B , BB BB B, B B B B B
) = 0,4167
Otra forma es usando combinatoria para encontrar el espacio de todos los resultados posibles (espacio muestral): Los casos en los cuales podemos obtener tres piezas buenas y dos defectuosas es: C 37 C 23 = ( 35 ) ( 3) = 105
Y el total de casos que podemos obtener es de : C 510 = 252 Por tanto la probabilidad pedida es: P [Obtener tres buenas y dos defectuosa s ] =
105 = 0,4167 = (41,67%) 252
, BB B
Capitulo 1 Probabilidad
15
3) El presidente debe seleccionar 5 de una lista de doce diputados, de los cuales 7 lo apoyan y 5 le hacen oposición. Si el selecciona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría del comité apoye al presidente?. Hay tres formas de plantear el problema: La primera manera es buscando todas las formas posibles en que el presidente tenga mayoría, que es cuando tiene en el comité tres, cuatro o cinco (todos) que lo apoyan. En este caso buscamos todas las posibilidades en que se pueden combinar los 12 tomados de 5 en 5, C 512 = 792 . Luego buscamos todas las posibilidades en que tiene mayoría: C37 C 25 = ( 35 ) (10 ) = 350 Con tres a favor casos 7 5 Con cuatro a favor C 4 C1 = ( 35 ) ( 5) = 175 casos 7 5 C5 C 0 = ( 21) (1) = 21 Con todos a favor casos. En total = 546 casos a favor, luego la probabilidad buscada es:
P [ Mayoría apoye al presidente
] = 546
792
= 0,6894 (68,94%)
Segunda forma: Es muy semejante a la primera solo que se calculan las probabilidades individuales para cada caso en mayoría y estas se suman: P [ Mayoría
apoye al presidente
] =[
3 a favor ] + [ 4 a favor ] + [ 5 a favor ] 350 175 21 546 = + + = = 0,6894 (68,94%) 792 792 792 792
Y la tercera forma es usando las probabilidades condicionadas: Identificamos un caso cuando tres están a favor (F) y dos en contra ( F ) P[ FFF F F ] = P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] =
= P[ F ] P[ F / F ] P[ F / F * F ] P[ F / F * F * F ] P[ F / F * F * F * F ] 7 6 5 5 4 4200 = = 12 11 10 9 8 95040
= 0,0442
Pero tenemos que estudiar las diferentes formas en que este suceso se puede dar o permutar: F F F
FF , F F F FF , FF F F F , FF F F
F , FF F F F , F FF F F , FF FF F , F F F F F
es de 10 maneras posibles, luego: P [ De 5 ; 3 apoyen al presidente
] = (10 ) ( 0,0442 ) = 0,4419
De la misma forma para el caso de que 4 lo apoyen y solo uno este en contra: 4200 7 6 5 4 5 P[ FFF FF ] = P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] P[ F ] = = 12 11 10 9 8 95040
Habiendo solo 5 formas de hacer esto: FFFF
F , FFF F F ,
FF F FF ,
P [ De 5 ; 4 apoyen al presidente
FF FFF
,
F FFFF
] = ( 5) ( 0,0442 ) = 0,2210
,
, luego
= 0,0442
, F
Capitulo 1 Probabilidad
16
Y por último el caso en que todos están con el presidente: FFFFF , un solo caso en cuyo caso Pr [ Los 5 apoyen al presidente ] = (1) ( 0,0265 ) = 0,0265 Y sumando las tres probabilidades tenemos: P [ Mayoría
apoye al presidente
] = 0,4419
+ 0,2210 + 0,0265 = 0,6894
(68,94%)
TABLAS DE CONTINGENCIA Y PROBABILIDAD Una tabla de contingencia permite identificar las frecuencias asociadas con cada una de las categorías de una variable (variable fila X), con cada una de las categorías de una segunda variable (variable columna Y). Cada intersección de fila con columna nos da el número de individuos que poseen simultáneamente el valor del atributo x en la variable fila X, y el valor del atributo y en la columna Y. EJEMPLOS: 1.) La siguiente tabla de contingencia, de los 500 empleados de una empresa, según clasificación de los empleados por sexo: TABLA DE FRECUENCIAS Clasificación de los empleados Genero
(A)dministrativ
(O)perativo (S)ervicios
o (H)ombres (M)ujeres TOTAL
120 50 170
150 140 290
30 10 40
TOTAL 300 200 500
Los valores en los márgenes derecho e inferior se denominan frecuencias marginales. Por ejemplo la frecuencia marginal de 300 hombres, está conformada por 120 de Personal, 150 de Línea y 30 Auxiliares. Asociada a esta tabla podemos construir una tabla de probabilidad asociada como la siguiente: TABLA DE PROBABILIDADES Clasificación de los empleados
TOTAL
Capitulo 1 Probabilidad Genero (H)ombres
(A)dministrativo 0,24
(O)perativo 0,30
17
(S)ervicios 0,06
0,60
(M)ujeres
0,10
0,28
0,02
0,40
TOTAL
0,34
0,58
0,08
1,00
Los valores a los márgenes de la tabla se denominan probabilidades marginales. Cada celda del cuerpo de la tabla representa la probabilidad de intersección de los dos eventos o categorías asignadas a cada una de las variables, por ejemplo la probabilidad de seleccionar al azar un miembro del personal
sea Hombre
y istrativo es
P [ H . A] = 0,24 . Una probabilidad marginal puede hallarse como la suma de las
probabilidades conjuntas correspondientes, por ejemplo: P [ H ] = P[ H . A ] + P[ H . O
] + P[ H . S ] = 0,24 + 0,30 + 0,06
= 0,60
Consideremos ahora el cálculo de las siguientes probabilidades: a) Que el personal sea istrativo u Operativo P [ A + O ] = P [ A] + P [O ] = 0,34 + 0,58 = 0,92
b) Que el personal sea istrativo u Hombre P [ A + H ] = P [ A] + P [ H ] − P [ A * H ] = 0,34 + 0,60 − 0,24 = 0,70
c) Dado que el personal es Mujer cual es la probabilidad de que pertenezca al personal istrativo P [A/ M ] =
P [ A * M ] 0,10 = = 0,25 P [M ] 0,40
d) Dado que el personal es istrativo, cual es la probabilidad de que sea Mujer P [ M / A] =
P( A * M ) 0,10 = = 0,29 P ( A) 0,34
2.) Con relación a la opinión de aprobar una reforma a la constitución de un país se entrevistan 100 personas entre jóvenes (17-35 años de edad) y adultos (mayores de 35 años), en cada una de cuatro zonas diferentes de una barriada, obteniéndose
los
siguientes resultados: ZONA A
ZONA B
EDAD
(S)I
(N)O
TOTAL
JOV. (J)
40
30
ADUL. (A)
20
10
ZONA C
EDAD
(S)I
(N)O
TOTAL
70
JOV. (J)
60
10
70
30
ADUL. (A)
0
30
30
EDAD
ZONA D
(S)I
(N)O
TOTAL
EDAD
JOV. (J)
30
40
(S)I
(N)O
TOTAL
70
JOV. (J)
42
28
ADUL. (A)
30
0
70
30
ADUL. (A)
18
12
30
Capitulo 1 Probabilidad TOTAL
60
40
100
TOTAL
60
40
100
TOTAL
60
40
18 100
TOTAL
60
40
100
Vamos a suponer que escogemos al azar una persona de la Zona A, y descubrimos que es joven. ¿Cuál es la probabilidad de que se decida por el Sí? Esto puede escribirse en términos de probabilidades como:
probabilidad
condicional
P[ S / J ] =
obtendríamos:
40 4 = . 70 7
También si usamos la formula de
P[ S / J ] =
P[ S * J ] 40 100 4 = = , P[ J ] 70 100 7
el
mismo
resultado. Consideremos ahora la tabla correspondiente a la Zona B , aquí todos los que están de acuerdo con la opción Sí, son jóvenes, Así hay una relación obvia (no necesariamente causal). También existe una relación entre estas variables en la opción de la Zona C, en este caso todos los que son jóvenes dijeron No. Sin embargo cuando apreciamos la Zona D, aquí el panorama es muy diferente. Aquí no existe una relación aparente. Por ejemplo el 60% de todas las personas se han decidido por el Sí y también el 42 * 100 de los que son jóvenes se han decidido por el Sí. De igual forma el 70% de 70
60%
28 * 100 de las personas que se 40
todas las personas son jóvenes, y exactamente el 70%
manifestaron por el No, son jóvenes. De igual forma también se comportan la comparación entre el 30% que conforman las personas adultas y el 40% de las personas que se manifestaron por el No. De esta manera se aprecia que no hay ninguna indicación de que las características de opinar Sí y ser jóvenes tengan alguna relación entre si. Evidentemente, la última tabla considerada fue tomada de esta manera para que exhiba esta propiedad. ¿Cómo buscaríamos estos resultados, sin alterar las marginales? Simplemente aplicando la ecuación de independencia de
ZONA D EDAD JOV. (J)
(S)I
(N)O
42
70
ADUL. (A) TOTAL
TOTAL
30 60
40
100
dos eventos:
P[ S * J ] = P ( S ) . P ( J ) =
60 70 42 = . Las 100 100 100
demás celdas se calculan de manera semejante. En este
caso decimos que existe independencia entre los factores de opinión y loa rangos de edades de las personas. Otra forma sencilla de verificar que en una tabla bidimensional existe independencia entre los factores que la definen es ver si las filas (columnas) son
Capitulo 1 Probabilidad
19
combinaciones lineales de las otras filas (columnas), es decir si se pueden obtener las filas (columnas) mediante la multiplicación de algún factor fijo por otra fila (columnas). En este caso si multiplicamos cada elemento de la fila 2 por el factor
7 3,
obtenemos el elemento
correspondiente de la fila 1, de manera semejante si multiplicamos la columna 2 por el factor obtenemos la primera columna.
3 2
En la mayor parte de las aplicaciones y/o ejercicios supondremos la independencia de los sucesos A y B , P ( A) . P ( B ) .
y luego usaremos esta hipótesis para calcular
P[ A * B ] , mediante
Generalmente, las condiciones físicas bajo las cuales se realiza el
experimento harán posible determinar, si tal suposición es justificada o al menos aproximadamente justificada. EJERCICIOS PROPUESTOS 1)
En una encuesta de expertos se entrevistaron 500 economistas de la
Academia, la Industria privada y el Gobierno y una de las preguntas era “si la economía del país podría: ser Estable, Expandirse o podría entrar en un período de Contracción en el futuro próximo (doce meses)”. Sin embargo, parte de la información se perdió debido a fallas de tabulación, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial: Curso de la economía Economistas (A)cademia
E(S)table 125
(I)ndustria Privada (G)obierno
25
TOTAL
200
(E)xpansión
( C)ontracción 100
TOTAL
35
110
40
65
Cree una tabla de probabilidad y encuentre las siguientes probabilidades: a) P ( A) f) P ( A * E )
b) P (G ) g) P (G * C )
c) P( A +G ) h) P ( E / A)
d) P ( A +C )
e) P ( A * S )
i) P ( A / E )
2.) En un estudio sobre los niveles de pobreza de un poblado, se tomo una muestra de 120 hogares, obteniéndose la siguiente clasificación de pobreza de acuerdo al nivel educativo de la población, esbozada en la siguiente tabla, la cual no aparece completa debido a fallas en la tabulación de los datos:
Capitulo 1 Probabilidad NIVEL
POBRE
EDUCATIVO (B)ASICA (S)ECUNDARIA (U)NIVERSITARIA TOTAL
(E)XTREMO 10
(P)OBRE 20
20
10 60
(N)O POBRE
20 TOTAL 40
20 20
Se pide: a) P (B )
b) P ( E * S )
c) P ( N * U )
Solución: a) 0,332
b) 0,083
d) P ( B * P ) c) 0,083
d) 0,167
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Para calcular probabilidades cuando el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos sus probabilidades (ver figura), necesitamos introducir la siguiente definición.
E A1
A2
A3
B A4
Definición. Se dice que una colección
A5
A1 , A2 ,...... An ⊂ E de sucesos o eventos, es
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las siguientes relaciones: a.)
n
i =1
Ai = E
b.) Ai ∩ A j = φ
∀ i ≠ j,
es decir son disjuntos dos a dos.
Capitulo 1 Probabilidad
21
Teorema de la probabilidad total o de la partición Sea A1 , A2 ,...... An ⊂ E , un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces n
∀ B ⊂ E ⇒ P [ B ] = ∑ P[ Ai ] . P [ B / Ai ] i =1
Demostración: n n n P [ B ] = P [ B ∩ E ] = P B ∩ Ai = P ( B ∩ Ai ) = = ∑ P[ B ∩ Ai ] = i =1 i =1 i =1
n
∑ P[ Ai ] . P[ B / Ai ] i =1
Ejemplo: Para integrar una comisión se quieren seleccionar candidatos de dos toldas políticas “A” y “B”, de dos diferentes comités seccionales: S1 y S 2 , utilizando un mecanismo aleatorio, vale decir usando un dado, se lanza este y si sale alguna cara 3,4,5 o 6 , se escoge un candidato para la comisión de la seccional 1, que está integrada por 2 militantes del partido “A” y 3 militantes del partido “B”; de lo contrario se escogerá un candidato de la seccional 2, que está integrada a su vez por 6 militantes del partido “A” y 2 Militantes del partido “B”. a.)
¿Cuál es la probabilidad de que el elegido sea del partido “A”?
b.)
¿Cuál es la probabilidad de que sea del partido “B”?
SOLUCIÓN: En estos casos siempre es conveniente introducir un diagrama de árbol que nos representa la composición y las respectivas probabilidades de selección como se aprecia en el gráfico:
Capitulo 1 Probabilidad
P [ A / S1 ] = 2 / 5
P[ S1 * A] = P [ S1 ] P [ A / S1 ] =
22
4 2 8 = = 0,27 6 5 30
P [ S1 ] = P [{ 3,4,5,6} ] = 4 / 6 P [ B / S1 ] = 3 / 5
P [ A / S2 ] = 6 / 8 P [ S 2 ] = P [ {1,2} ] = 2 / 6
P[ S1 * B ] = P [ S1 ] P [ B / S1 ] =
4 3 12 = = 0,4 6 5 30
P[ S 2 * A] = P [ S 2 ] P [ A / S 2 ] =
2 6 12 = = 0,25 6 8 48
P[ S 2 * B ] = P [ S 2 ] P [ B / S 2 ] =
2 2 4 = = 0,08 6 8 48
P [ B / S2 ] = 2 / 8
Dado que S1 y S 2 ; forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos o partición, entonces:
SELECCIÓN D MEDIANTE E
a.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “A” es:
P [ A] = P [ S1 ] P [ A / S1 ] + P [ S 2 ] P [ A / S 2 ] = 0,27 + 0,25 = 0,52 b.) la probabilidad de que el elegido sea del partido “B” es:
P [ B ] = P [ S1 ] P [ B / S1 ] + P [ S 2 ] P [ B / S 2 ] = 0,4 + 0,08 = 0,48
Es interesante apreciar que el mecanismo de la selección del dado hace más representativa la participación de los partidos en la comisión, favoreciendo en este caso al partido con menor número de militantes en las seccionales. Teorema de Bayes o de la probabilidad inversa 3
3
Enunciado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761), fundamenta la estadística bayesiana y sienta los
principios de la teoría de la decisión en base a la concepción subjetivista de la probabilidad.
Capitulo 1 Probabilidad
23
Si A1 , A2 ,..., An ⊂ E es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos (partición de E) y B ⊂ E un suceso del que conocemos todas las cantidades P [ B / Ai ],
i = 1,..., n, a
las que denominamos verosimilitudes, entonces se verifica:
[
]
P Aj / B =
[ ] [
P Aj . P B / A j
]
∀ j = 1,..., n,
n
∑ P [ Ai ] . P [ B / Ai ] i =1
Demostración: es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la intersección, y del teorema de la probabilidad total:
[
]
P Aj / B =
[
P Aj ∩ B P[ B ]
] = P[ A j ] . P[ B / A j ] n
∑ P[ Ai ] . P[ B / Ai ] i =1
Ejemplo Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores: el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuoso el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las piezas, y de ellas es defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3% de las mismas. En un control de recepción
de artículos se selecciona una pieza al azar y es
defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor. Solución: observemos que cada una de las piezas procede de uno y solo uno de los proveedores (sistema exhaustivo y excluyente de sucesos). Vamos a llamar A1, A2 y A3 al suceso de que la pieza seleccionada provenga del primer, segundo o tercer proveedor respectivamente. Sea B el suceso de que la pieza sea defectuosa. La información que poseemos se resume en: Probabilidad de procedencia1
[ ] P [ A ] = 0,30 P [ A ] = 0,25
Probabilidad de ser defectuosa2
P A1 = 0,45 2
3
1 2
Probabilidad a priori de que la pieza proceda de A3 Probabilidad de que la pieza suministrada por Aj sea defectuosa
[ ] P [ D / A ] = 0,02 P [ D / A ] = 0,03 P D / A1 = 0,01 2
3
Capitulo 1 Probabilidad
24
Hemos de calcular P [ A2 / D ] (probabilidad a posteriori de que la pieza suministrarse el segundo proveedor, sabiendo que es defectuosa). Para ello usamos el Teorema de Bayes:
P [ A2 / D ] =
[ ] [ ] ∑ P [ A ] . P [D / A ] P A2 . P D / A2
3
i =1
i
i
=
0,02 . 0,30 = 0,33 0,45 . 0,01 + 0,3 . 0,02 + 0,25 . 0,03
El teorema de Bayes nos permite calcular probabilidades a posteriori a partir de otras probabilidades que son más fáciles de obtener (verosimilitudes y probabilidades a priori ). El problema anterior también lo hubiésemos podido resolver de manera más sencilla elaborando el Diagrama de Árbol respectivo como sigue:
Capitulo 1 Probabilidad
[ ]
P A1 = 0,45
[ ]
P A 2 = 0,3
[ ]
[ ] [
]
[ ] [
]
P [ D ] = 0,01
P [ A1 * D ] = P A1 . P D / A1 = 0,45 . 0,01 = 0,0045
P [ D ] = 0,99
P A1 * D = P A1 . P D / A1 = 0,45 . 0,99 = 0,4455
P [ D ] = 0,02
P A 2 * D = P A2 . P D / A2 = 0,3 . 0,02 = 0,0060
P [ D ] = 0,98
P A2 * D = P A 2 . P D / A2 = 0,3 . 0,98 = 0,2940
P [ D ] = 0,03
P A3 * D = P A3 . P D / A3 = 0,25 . 0,03 = 0,0075
P [ D ] = 0,97
P A3 * D = P A3 . P D / A3 = 0,25 . 0,97 = 0,2425
P A 3 = 0,25
[
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
[
]
[ ] [
]
25
Transcribiendo la probabilidad pedida obtenemos el mismo resultado: P [ A2 / D ] ==
0,0060 0,0045 + 0,0060 + 0,0075
=
0,0060 = 0,3333 0,0180
EJEMPLOS GENERALES DEL CAPITULO: 1) Una caja contiene 4 componentes electrónicos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que se bueno. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el otro también sea bueno?.
Capitulo 1 Probabilidad
26 Solución: 5
2) Supóngase que
A
y
9
B son dos sucesos independientes asociados con un
experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6 , mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0.4 , determinar la probabilidad de que B ocurra. Solución: 1 = 0.333
3
3) Veinte artículos, 12 de los cuales son defectuosos y 8 no defectuosos, se inspeccionan uno después del otro. Si esos artículos se escogen al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) los dos primeros artículos inspeccionados sean defectuosos? b) los dos primeros artículos inspeccionados sean no defectuosos? c) entre los dos primeros artículos inspeccionados haya uno defectuoso y uno no defectuoso?. Solución: a ) 33
95
= 0.347
b) 14
95
= 0.147 c) 48 = 0505 95
4) Supongamos que tenemos dos urnas de un centro de votación cada una con dos votos. La urna una tiene un voto “SI” y un voto “NO”, mientras que la urna 2 tiene dos votos “SI”. Se escoge una urna al azar y de esta se extrae un voto también al azar. El voto seleccionado resultó un “SI” ¿Cuál es la probabilidad de que el voto provenga de la urna 2?. Solución: 2 = 0.667
3
5) Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos
A y B , a partir de
una serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades: P( A falle
) = 0.20 ,
P ( B sólo falle
) = 0.15 ,
P( A y B
fallen
) = 0.15 . Calcular las
probabilidades siguientes. a) P( A falle / B halla fallado ) b) P( A falle solamente ) Solución: a ) 0.50
b) 0.05
6) En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16 % lee B, 14% lee C, 8% lee A y B , 5% lee A y C, y
Capitulo 1 Probabilidad
27
2% lee A, B y C . Para un lector de la muestra escogido al azar, calcular la probabilidad de que a) no lea ninguno de los periódicos b) lea exactamente uno de los periódicos c) lea al menos A y B, si se sabe que lee al menos uno de los periódicos publicados. d) Cuales serían los resultados de los puntos anteriores si además de los datos aportados se sabe que el 12% lee simultáneamente 2 periódicos. Solución: a ) 0.6 3 7)
b) 0.2 6 c) 8
d ) 0.6 5 0.2 2
37
8
35
La siguiente tabla recoge las predicciones referentes a las ganancias por acción
de 1000 títulos distintos realizadas por un analista financiero junto con los resultados ocurridos clasificados en tres categorías: PREDICCION RESULTADO CRECIMIENTO
CRECIMIENTO 210
APROX. IGUAL 82
DECRECIMIENTO 66
APROX. IGUAL
106
153
75
DECRECIMIENTO
75
84
149
a) Calcular la probabilidad de que si la predicción prevé un decrecimiento de las ganancias se dé este resultado. b) Calcular la predicción de que si la predicción realizada prevé un crecimiento de las ganancia se materialice este resultado. Solución: a ) 0,514 8)
b) 0,463
La gerencia de mercados se especializa en la elaboración de informes sobre las
mejores localizaciones para nuevas tiendas de alimentos en áreas comerciales. Dicha gerencia clasifica las posibles localizaciones en Buenas, Aceptables y Malas. De todos los informes realizados para tiendas que prosperaron, la evaluación fue Buena para el 70%, Aceptable para el 30% y Mala para el 50%. También se sabe que el 60% de las nuevas tiendas Prosperan y que el 40% fracasan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una tienda elegida al azar que prospere haya sido calificada como buena?
Capitulo 1 Probabilidad
28
b) Si las perspectivas de una tienda son clasificadas como buenas, ¿cuál es la probabilidad de que prospere? c) ¿Son los sucesos “perspectivas buenas” y “la tienda prospera” independientes estadísticamente? d) Si se eligen 5 tiendas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas prospere? Solución: a ) 0,50
b) 0,84
c ) No
d ) 0,885
EJEMPLOS:
La teoría de la probabilidad y algunos ejemplos tradicionales generales
Capitulo 1 Probabilidad
29
En la mayoría de los textos, siempre vamos a conseguir ejemplos con monedas, dados y cartas, esto en primer lugar es explicado por el origen de los estudios de la probabilidad que tuvo sus inicios en el establecimiento de métodos para lograr ganar en dichos juegos de envite y azar, y en segundo lugar, por lo fácil que estos ejemplos la comprensión de los principios de probabilidad y sus leyes. A continuación consideraremos algunos experimentos aleatorios de esta naturaleza, su espacio muestral asociado, algunos eventos de estos espacios y sus respectivas probabilidades. TIPO DE MUESTREO
EXPERIMENTO ALEATORIO LANZAR UNA MONEDA LANZAR DOS MONEDAS LANZAR UN DADO
REPOSICION
ALGUNOS E V # ELEMENTOS PROB. DE E DEL ESPACIO LOS N MUESTRAL EVENTOS T O S
ESPACIO MUESTRAL
NA
E = {c, s}
NA
E = {cc , cs , sc , ss }
4
NA
E = {1,2,3,4,5,6}
6
2
{( )
LANZAR DOS NA E = 1,1 ; (1,2),.....; DADOS SELECCIONAR DE UNA BARAJA: UNA CARTA ESPAÑOLA
NA
POKER
NA
(6,5); (6,6)}
36
E ={1O,2O,.... SO , CO , RO ,1E ,2 E ,...... RE, ..., RC
E ={1C ,2C ,.... JC , QC , KC ,1P,2 P,...... KP ,...,
} KT }
40 52
DOS CARTAS
ESPAÑOLA
CON SIN
POKER
CON SIN
40x40 =1600 E = {(1O,1O );......... ; (1O,1R );......... .......... ..( RC , RC )}
40x39 =1560 E = {(1O,2O );......... ; (1O,1R );......... .......... ..( CC ,1600-40=1560 RC )}
52x52=2704 E = {(1C ,1C );....; (1C , KC ); ( 2C ,1C );......... ...; ( KT , KT )}
52x51=2652 E = {(1C ,2C );....; (1C , KC ); ( 2C ,1C );......... ...; ( QT , 2704-52=2652 KT )}
DADAS 2 BOLAS (R)OJAS, 4 BOLAS (B)LANCAS Y 6 (N)EGRAS SACAR: Sacar:
UNA BOLA
NA
{
E = R 1 , R 2 , B1 , B 2 , B 3 , B 4 , N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , N 5 , N 6
}
A: Bola roja 12 B: Bola blanca C: Bola negra
DOS BOLAS
CON SIN
TRES BOLAS
CON
SIN
{( ) ( )( ) (N 6 , N 6 )} E = {(R1 , R 2 );..... (R1 , N 6 ); (R 2 , B1 );......... .......; (N 5 , N 6 )} E = {(R1 , R1 , R1 );......... .......... ; (N 6 , N 6 , N 6 )} E = R1 , R1 ;..... R1 , N 6 ; R 2 , B1 ;......... .......;
12x12=144
B: Bolas diferente color A: Bolas (12)3=1728 dos colores B: bolas dos 12x11x10=1320 Colores C: Bolas tres colores 12x11=132 144-12=132
{(
)
(
E = R1 , R 2 , R 3 ;......... .......... ; N 4 , N 5 , N 6
BIBLIOGRAFÍA
)}
A: bolas de un solo color de
de
de de
Capitulo 1 Probabilidad
30
Meyer Paul. Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Fondo Educativo Interamericano S.A. Caracas.1970. Wester Allen L. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Tercera edición. Mcgraw-Hill, Irvin McGraw-Hill. Colombia 2001. Lind, Douglas A., Marchal, William G., Wathen, Samuel A. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Doceava edición. McGraw-Hill. Mexico. 2005. Montiel, A.M., Rius, F., Barón, F.J. Estadística económica y empresarial. Prentice Hall. España 1997. Newbold, Paul. Estadística para los negocios y la economía. Cuarta Edción. Pearson. Prentice Hall. España. Madrid. 2005
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