Aproximación Funcional E Interpolación 4m6lq

APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN JOHNY QUINTERO

INTRODUCCIÓN

• Estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en forma discreta (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien la aproximación de funciones, cuya complicada naturaleza exija su remplazo por funciones más simples. Para esto, partiremos de tablas de valores dados y, utilizando la familia de los polinomios, aproximaremos una sección de la tabla por una línea recta, una parábola, etc. La elección del grado se hará analizando el fenómeno que originó los valores, y el tipo de aproximación, con base en la exactitud de éstos. • Las ideas y técnicas de interpolación-extrapolación permean el desarrollo de los métodos de los temas siguientes como integración, derivación, solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones “complejas” con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería. Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales. En general, tendrán la forma:

En donde la familia o grupo mas empleado generan aproximaciones del tipo polinomial

El grupo conocido como funciones de Fourier

al combinarse linealmente, genera aproximaciones del tipo

El grupo de las funciones exponenciales también puede usarse del modo siguiente

APROXIMACIONES POLINOMIALES DEL TIPO Sea una función f (x), dada en forma tabular

Para aproximar a f (x) por medio de un polinomio del tipo dado, se aplica alguno de los criterios siguientes: el de ajuste exacto o el de minimos cuadrados.

La técnica del ajuste exacto consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados en la tabla. El método de mínimos cuadrados, por su parte, consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevadas al cuadrado; es decir, que se cumpla

Cuando la información tabular de que se dispone es aproximada hasta cierto numero de cifras significativas, por ejemplo, la de tablas de logaritmos o de funciones de Bessel, se recomienda usar ajuste exacto. En cambio, si la información tiene errores considerables, como en el caso de datos experimentales, no tiene sentido encontrar un polinomio que pase por esos puntos, sino mas bien que pase entre ellos; es entonces que el método de mínimos cuadrados es aplicable. Una vez que se ha obtenido el polinomio de aproximación, este puede usarse para obtener puntos adicionales a los existentes en la tabla, mediante su evaluación, lo que se conoce como interpolación. También puede derivarse o integrase a fin de obtener información adicional de la función tabular.

Aproximación polinomial simple e interpolación La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, con frecuencia no se encuentra el valor buscado como un punto en la tabla. Por ejemplo, la siguiente tabla presenta la temperatura de ebullición de la acetona (C3H6O) a diferentes presiones.

Supóngase que solo se dispusiera de la siguiente tabla y se desease calcular la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm de presión.

Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos (0) y (1) en la ecuación de la línea recta: p (x) = a0 + a1x, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que son a0 y a1. Con la solución del sistema se consigue una aproximación polinomial de primer grado, lo que permite efectuar interpolaciones lineales Por tanto, estos valores generan la ecuación p (x) = 42.375 + 14.125 x La ecuación resultante puede emplearse para aproximar la temperatura cuando la presión es conocida. Al sustituir la presión x = 2 atm, se obtiene una temperatura de 70.6 °C. A este proceso se le conoce como interpolación.

Gráficamente, puede verse en un plano P vs T en donde si se unen con una línea los puntos (0) y (1), por búsqueda grafica, se obtiene T  70.6 °C, para P = 2 atm. En realidad, esta interpolación solo ha consistido en aproximar una función analítica desconocida dada en forma tabular, por medio de una línea recta que pasa por los puntos (0) y (1). Para aproximar el valor de la temperatura correspondiente a P = 2 atm se pudieron tomar otros dos puntos distintos, por ejemplo (2) y (3), pero es de suponer que el resultado tendría un margen de error mayor, ya que el valor que se busca esta entre los puntos (0) y (1).

Si se quisiera una aproximación mejor al valor “verdadero” de la temperatura buscada, podrían unirse mas puntos de la tabla con una curva suave p2(x) = a0 + a1x + a2x2

si x = 2 atm, entonces

La aproximación a la temperatura “correcta” es obviamente mejor en este caso. Obsérvese que ahora se ha aproximado la función desconocida con un polinomio de segundo grado que pasa por los tres puntos mas cercanos al valor buscado.

En general, si se desea aproximar una función con un polinomio de grado n, se necesitan n + 1 puntos, que sustituidos en la ecuación polinomial de grado n

generan un sistema de n + 1 ecuaciones lineales en las incógnitas ai, i = 0, 1, 2…, n. Una vez resuelto el sistema se sustituyen los valores de ai en la ecuación anterior con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación. A este método se le conoce como aproximación polinomial simple. Por otro lado, como se dijo al inicio, puede tenerse una función conocida, pero muy complicada, por ejemplo

la cual conviene, para propósitos prácticos, aproximar con otra función mas sencilla, como un polinomio. El procedimiento es generar una tabla de valores mediante la función original, y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito.

Polinomios de Lagrange El método de aproximación polinomial visto anteriormente requiere la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que, cuando el grado del polinomio es alto, puede presentar inconvenientes. Existen otros métodos de aproximación polinomial en que no se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales y los cálculos se realizan directamente; entre estos se encuentra el de aproximación polinomial de Lagrange. se parte de una función desconocida f (x) dada en forma tabular, y se asume que un polinomio de primer grado (ecuación de una línea recta) puede escribirse:

p(x) = a0(x – x1) + a1(x – x0) Para encontrar el valor de a0, se hace x = x0,

y para hallar el valor de a1, se sustituye el valor de x con el de x1, con lo que resulta

de tal modo que, al sustituir a0 - a1, en p(x) queda

o en forma mas compacta

De igual manera, un polinomio de segundo grado (ecuación de una parábola) puede escribirse

donde x0, x1 y x2 son los argumentos correspondientes a los tres puntos conocidos [x0, f (x0)], [x1, f (x1)], [x2, f (x2)]; los valores de a0, a1 y a2 se encuentran sustituyendo x = x0, x = x1 y x = x2, respectivamente

cuyo remplazo en dicha ecuación genera el siguiente polinomio

En general, se puede obtener polinomios de tercero, cuarto o n-esimo grado; este ultimo queda como se indica a continuación

donde

que en forma mas compacta y útil para programarse en un lenguaje de computadora quedaría Al combinarse linealmente con f(xi), los polinomios Li (x), denominados polinomios de Lagrange, generan la aproximación polinomial de Lagrange a la información dada en forma tabular.

Ejemplo Para la tabla que se presenta a continuación: a) Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos. b) Interpole el valor de la funcion f (x) para x = 1.8.

a) Obsérvese que hay cuatro puntos en la tabla, por lo que el polinomio será de tercer grado. Al sustituir esos cuatro puntos en las ecuaciones generales se obtiene

al efectuar las operaciones queda

b) El valor de x = 1.8 se sustituye en la aproximación polinomial de Lagrange de tercer grado obtenida arriba y se tiene f (1.8)  2.

Diferencias divididas Por definición de derivada en el punto x0 de una función analítica f (x) es

Sin embargo, cuando la función esta en forma tabular, la derivada sólo puede obtenerse aproximadamente

si se desea la derivada en el punto x, (x0< x < x1), puede estimarse como sigue

El lado derecho de la expresión anterior se conoce como la primera diferencia dividida de f (x) respecto a los argumentos x0 y x1, y generalmente se denota como f [x0, x1]

Ejemplo: Dada la siguiente información elabore una tabla de diferencias divididas

Aproximación polinomial de Newton Supóngase que se tiene una función dada en forma tabular y que se desea aproximarla preliminarmente con un polinomio de primer grado.

por ejemplo, un polinomio que pase por los puntos (0) y (1). Sea además dicho polinomio de la forma

p (x) = a0 + a1 (x – x0)

donde x0 es la abscisa del punto (0) y a0 y a1 son constantes por determinar. Para encontrar el valor de a0 se hace x = x0, de la cual a0 = p(x0) = f [x0], y a fin de encontrar el valor de a1 se hace x = x1, de donde a1 = ( f [x1 ] – f [x0 ]) / (x1 -x0), o sea la primera diferencia dividida f [x0, x1].

polinomio de primer grado en términos de diferencias divididas.

polinomio de segundo grado en términos de diferencias divididas.

En general, por inducción se puede establecer que para un polinomio de grado n escrito en la forma

y que pasa por los puntos (0), (1), (2),… , (n); los coeficientes a0, a1,… , an están dados por

Ejemplo: Elabore una aproximación polinomial de Newton para la información tabular de las presiones de vapor de la acetona e interpole la temperatura para una presión de 2 atm.

a) Para n = 1 p (x) = a0 + a1 (x – x0) = f [ x0 ] + f [ x0, x1 ] (x – x0) p (x) = 56.5 + 14.125 (x – 1) Si x = 2, f (2)  p(2) = 56.5 + 14.125(2 – 1) = 70.6 °C

b) Para n = 3 p3 (x) = a0+a1 (x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x– x2) = f [x0] + f [x0, x1] (x – x0) + f [x0, x1, x2] (x – x0) (x – x1) + f [x0,x1,x2,x3] (x–x0)(x–x1)(x–x2) p3 (x) = 56.5 + 14.125 (x – 1) – 0.50482 (x – 1) (x – 5) + 0.01085 (x – 1)(x – 5) (x – 20) Si x = 2, f(2)  p3 (2) = 72.7 °C

Polinomio de Newton en diferencias finitas El polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse de manera mas sencilla. Para este propósito se introduce un nuevo parámetro s, definido en x = x0 + sh De la ecuación pn(x) = a0 + a1 (x–x0) + a2 (x–x0) (x–x1) + … + an (x–x0) (x–x1) … (x–xn–1) en terminos de s y h. Para esto observese que x1 – x0 = h, x2 – x0 = 2h,… , xi – x0 = ih y que restando xi(0 ≤ i ≤ n), en ambos de x = x0 + sh, se obtiene x – xi = x0 – xi + sh = –ih + sh = h(s –i) para (0 ≤ i ≤ n)

Consecuentemente, al sustituir f [x0, x1,… xi], (0 ≤ i ≤ n) en términos de diferencias finitas, se obtiene polinomio de Newton en diferencias finitas hacia adelante.

Ejemplo: La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor a diferentes temperaturas

Aproxime la función tabulada por el polinomio de Newton en diferencias hacia adelante e interpole la presión a la temperatura de 64°F.

Primero se construye la tabla de diferencias hacia adelante como sigue:

Observe que en esta información, h=10, el valor por interpolar es 64 y que el valor de s se obtiene de la expresión x = x0 + sh; esto es

Si se deseara aproximar con un polinomio de primer grado, tenemos

Hay que observar que realmente se esta extrapolando, ya que el valor de x queda fuera del intervalo de los puntos que se usaron para formar el polinomio de aproximación. En cambio, si se deseara aproximar con un polinomio de segundo grado, se requerirían tres puntos y seria aconsejable tomar (0), (1) y (2), en lugar de (1), (2) y (3), ya que el argumento por interpolar esta mas al centro de los primeros.

Estimación de errores en la aproximación Al aproximar una función por un polinomio de grado n, en general se comete un error; por ejemplo, cuando se utiliza un polinomio de primer grado, se remplaza la función verdadera en un intervalo con una línea recta. En términos matemáticos, la función se podría representar exactamente como f (x) = f [x0] + (x–x0) f [x0,x1] + R1(x) = p1(x) + R1(x)

TEOREMA Sea f (x) una función de valor real, definida en [a,b] y k veces diferenciable en (a,b). Si x0, x1,… , xk son k+1 puntos distintos en [a,b], entonces existe ξ  (a,b) tal que

Ejemplo: Encuentre una cota inferior del error de interpolación Rn(x) para x = 1.5, cuando f (x) = ln x, n = 3, x0 = 1, x1 = 4/3, x2 = 5/3 y x3 = 2.