Aproximacion Funcional E Interpolacion 2x1z1h

Universidad Nacional del Centro del Perú

FACULTAD DE INGENERIA QUIMICA

CALCULO NUMERICO APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACION

INTRODUCCION Una de las ventajas de aproximar información discreta o funciones “complejas” ,por medio de funciones sencillas debido a su mayor facilidad de evaluar y manipular dicha función. Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales .La forma general es: a0g0(x) + a1g1(x) + ... + angn(x), donde ai (0  i  n ) ,son constantes por determinar y gi(x) (0  i  n ) funciones de una familia particular .Los monomios en x (x0,x, x2 ...) constituyen grupos mas empleados , sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial . a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Sea una función (x) dada en forma tabular Puntos

0

1

2

...

n

x

X0

X1

X2

...

Xn

(x)

(x0)

(x1)

(x2)

...

(xn)

Para aproximar a (x) por medio de la forma polinomial ,se aplica uno de los criterios siguientes : el de ajuste exacto o el de mínimos cuadrados . •La técnica de ajuste exacto consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados en la tabla. •El método de mínimos cuadrados consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di)elevadas al cuadrado ; es decir, que se cumpla  i=0n (di)2 = minimo

f(X3) d3

d2

f(X2) (X1)

f

(X0)

f

d1 d0 X

X0 X1

X2

X3

Fig. 1 Aproximación polinomial con criterio de ajuste exacto (curva discontinua) y con mínimos cuadrados (curva llena)

APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN 1.-APROXIMACION POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN :La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular es frecuente no encontrara el valor buscado como un punto en la tabla. Por ejemplo en las tablas 1 y 2 presentan la temperatura de ebullición de la acetona (C3H6O) a diferentes presiones. Puntos

0

1

2

3

4

5

6

T(ºC)

56.5

78.6

113.0

144.5

181.0

205.5

214.5

P(atm)

1

2

5

10

20

30

40

Tabla 1 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones.

PUNTOS

0

1

2

3

T(ºC)

56.5

113.0

181.0

214.5

P(atm)

1

5

20

40

Tabla 2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones. Supóngase que solo se tiene la segunda tabla y se desease calcular la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm de presión. Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos (0) y (1) en la ecuación de la línea recta :p(x)= a0 + a1 x, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que son a0 y a1.Con la solución del sistema se consigue una aproximación polinomial de premier grado ,lo que permite efectuar interpolaciones lineales ;es decir ,se sustituye el punto (0) en la ecuación de la línea recta y se obtiene

56.5 = a0 + 1a1 y al sustituir el punto (1) 113 = a0 + 5a1 al resolverse hallamos los coeficientesa a0 = 4.375 y a1 = 14.125 Al reemplazar los coeficientes en la ecuación de la recta obtenemos: P(x) = 42.375 + 14.125 x Esta ecuación se puede emplear para aproximar la temperatura cuando la presión es conocida . Al sustituir la presión x = 2 atm se obtiene una temperatura de 70.6ºC.A este proceso se le llama interpolación .

T(°C)

Fig. 2 Interpolación grafica de la temperatura de ebullición de la acetona a 2atm.

113

100 90 80 70.6

56.5 50 1

2

3

4

5

P(atm)

Para aproximar el valor de la temperatura correspondiente a P = 2 atm se pudieron tomar otros dos puntos distintos, por ejemplo (2) y (3), pero es de suponer que el resultado tendrá un margen de error mayor ,ya que el valor que se busca esta entre los puntos (0) y (1). Si se quisiera una aproximación mejor al valor “verdadero “ de la temperatura buscada, podrían unirse mas puntos de la tabla con una curva suave ,por ejemplo tres (0),(1) y (2) (ver Fig.3) y obtener T correspondiente a P = 2atm.

T(°C)

181 160

113 80 72.1 56.5

P(atm) 1

2

4

5

8

11

16

20

Fig. 3 Interpolación grafica en tres puntos.

Analíticamente el problema se resuelve al aproximar la función desconocida T = (P) con un polinomio que pase por los tres puntos (0) ,(1) y (2).Este polinomio es una parábola y tiene la formula general p1(x) = a0 + a1x + a2x2 donde los parámetros a0, a1 y a2 se determina sustituyendo cada uno de los tres puntos en la ecuación de la parábola: 56.5 = a0 + a11 + a212 113 = a0 + a15 + a252 181 = a0 + a120 + a2202 Al resolver el sistema se obtiene a0 =39.85 , a1 =17.15 , a2 =-0.50482

De tal modo que la ecuación polinomial queda P2 = 39.85 + 17.15x – 0.50482x2 Y puede emplearse para aproximar algún valor de la temperatura correspondiente a un valor de presión .Por ejemplo si x = 2 atm, entonces T  p2 = 39.85 + 17.15 (2) + -0.50482 (2)272.1ºC La aproximación a la temperatura “correcta “ es obviamente mejor en este caso.Obsérvese que ahora se a aproximado la función desconocida T = (P) con un polinomio de segundo grado que pasa por los tres puntos mas cercanos al valor buscado .En general ,si se desea aproximar una función con un polinomio de grado n, ser necesita n+1 puntos ,que sustituidos en la ecuación polinomial de grado n: Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Una vez resuelto el sistema se sustituyen los valores de ai en la ecuación anterior ,con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación .A este método se le conoce como aproximación polinomial simple. Por otro lado ,como se dijo al principio de este capitulo ,puede tenerse una función conocida ,por ejemplo f

f

( x)

( x)

 k

x

 (2 / x )

ln

1 2

x

sen



1 x





m  0

Cm

xm

x

la cual conviene ,para propósitos prácticos , aproximar con otra función mas sencilla ,como un polinomio .El procedimiento es generar una tabla de valores mediante la función original y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito anteriormente.

2.- POLINOMIOS DE LAGRANGE Es un método donde los cálculos se realizan directamente, y no se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se parten nuevamente de una función discontinua f(x) dada en forma tabular y se asume que un polinomio de primer grado (ecuación de una línea recta); puede escribirse:

P ( x )  a0 ( x  x1 )  a1 ( x  (1) x0 )

Donde: X1 y x0 son los argumentos de los puntos conocidos [ x0, f(x0) ] a0 y a1 son dosp( coeficientes xx ) f por ( x0 )determinar, a0   x0 el valor x1 para encontrar dex0a0;sexhace x = x0 1 en la ecuación (1) que al despejar da:

a1



p( x1 ) x1  x0



f ( x1 ) x1  x0

(3)

de tal modo :

p( x )ypara l0 ( xhallar ) f ( x0 )elal11,(se x ) sustituye f ( x1 ) el valor de (4)x con el x1 , con lo que resulta: donde :

x  x1 l0 ( x )  x0  x1

y

x  x0 l1 ( x)  x1  x0

Por inducción se puede obtener polinomios de segundo, tercero y n-ésimo grado.

pn ( x )  l0 ( x ) f ( x0 )  l1 ( x ) f ( x1 )  ...  l n ( x ) f ( xn ) donde :

( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn ) l0 ( x )  ( x0  x1 )( x0  x2 )...( x0  xn ) ( x  x0 )( x  x2 )...( x  xn ) l1 ( x )  ( x1  x0 )( x1  x2 )...( x1  xn ) ( x  x0 )( x  x2 )...( x  xn1 ) ln ( x )  ( xn  x0 )( xn  x2 )...( xn  xn1 )

(5)

Ejemplo: para la tabla que se presenta a continuación obtener a) la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos. b) interpole el valor de la función f(x) para x = 1.8

0

1

2

3

f(xi)

-3

0

5

7

xi

0

1

3

6

i

Solución:

3 0  ( x  0)( x  3)( x  6) (0  1)(0  3)(0  6) (1  0)(1  3)(1  6) 5 7  ( x  0)( x  1)( x  6)  ( x  0)( x  1)( x  3) (3  0)(3  1)(3  6) (6  0)(6  1)(6  3

p3 ( x )  ( x  1)( x  3)( x  6)

Al efectuar las operaciones queda:

3 3 3 2 276 p3 ( x )   x  x  x3 90 90 90 b) como x=1.8 se sustituye en la aproximación polinomial de Lagrange de tercer grado se obtiene: f(1.8)≈2

3.-DIFERENCIAS DIVIDIDAS Por definición de derivada en el punto x0 una función analítica f(x) se tiene: f ( x )  f ( x0 ) x  x0

f ´( x )  lim x  x0

Sin embargo, cuando la función esta en forma tabular Puntos

0

1

2

……….

n

X

x0

x1

x2

……….

xn

f(x)

f(x0)

f(x1)

f(x2)

………..

f(xn)

La derivada solo puede obtenerse aproximadamente; por ejemplo, si se desea la derivada en el punto x, (x0 < x < x1), puede estimarse como sigue f ´( x )  lim x  x0

f ( x1 )  f ( x0 ) , x1  x0

x0 < x < x1

El lado derecho de la expresión anterior se conoce como la primera diferencia dividida de f(x) respecto a los argumentos x0 y x1 y se denota generalmente como f[x0, x1]; así f  x0 , x1   lim

f ( x1 )  f ( x0 ) x1  x0

La relación entre la primera diferencia dividida y la primera derivada queda establecida por el teorema del valor medio.

f ( x1 )  f ( x0 ) x1  x0

=ƒ´(x) = (ξ), ξ ε(x1, x0)

f (x )

Siempre y cuando f  x1  satisfaga las condiciones de aplicabilidad de dicho teorema. Para obtener aproximaciones de derivadas de orden mas alto, se extiende el concepto de diferencias divididas a ordenes mas altos, donde para uniformar la notación sean escrito los valores funcionales de los argumentos xi, 0<=i<=n, como y se les llama diferencias divididas de orden cero. La diferencia de orden i es:

f  x0 , x1 , x2 , ... xi  

f  x1 , x2 , x3 , ... xi   f  x0 , x1 , x2 , ... xi 1  x1  x0

a) para formarla se requieren i+1 puntos y b) El numerador es la resta de dos diferencias de orden i-1 y el denominador la resta de los argumentos no comunes en el numerador.

,

Ejemplo La información de la tabla siguiente se obtuvo del polinomio:

y  x3  2x 2  2 puntos

0

1

2

3

4

5

x

-2

-1

0

2

3

6

ƒ(x)

-18

-5

-2

-2

7

142

A partir de ella elabore una tabla de diferencias divididas.

SOLUCION Las primeras diferencias divididas mediante los puntos (0), (1) y (1), (2), respectivamente, son f  x 0, x1  

 5  (18)  13 ;  1  (2)

f  x1, x 2  

 2  (5) 3 0  ( 1)

La segunda diferencia dividida mediante los puntos (0), (1) y (2), es f  x1   f  x0  f  x0, x1   x1  x0 de igual manera se calculan las demás diferencias divididas, que se resumen en la siguiente tabla

4.-APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Supóngase que se tiene una función dada en forma tabular Puntos

0

1

2

……….

n

x

x0

x1

x2

……….

xn

ƒ[x]

ƒ[x0]

ƒ[x1]

ƒ[x2]

………..

ƒ[xn]

y que se desea aproximarla preliminarmente con un polinomio de primer grado que pasa por ejemplo por los puntos (0) y (1), sea además dicho polinomio de la forma

p( x )  a0  a1 ( x  x0 ) donde x0 es la abscisa del punto (0) y a0, a1 son constantes por determinar. Para encontrar el valor de a0 se hace x = x0 de donde a0 = p(x0) = f[x0] y a fin de encontrar el valor de a1 se hace x = x1, de donde a1 = (f[x1] – f[x0])/(x1 – x0),o sea la primera diferencia dividida f[x1,x0] . Al sustituir los valores de estas constantes en la ecuación [1] tenemos: p( x )  f  x0   ( x  x0 ) f  x0 , x1 

o sea un polinomio de primer grado en términos de diferencias divididas.

Luego aproximamos la función tabular con un polinomio de segundo grado que pase por los puntos (0), (1), (2) y que tenga la forma:

p2 ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )

[2]

donde x0 y x1 vuelven a ser las abscisas de los puntos (0), (1) y a0, a1 y a2 son constantes por determinar, se procede como en la forma anterior para encontrar estas constantes

En general: pn ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )  ...  an ( x  x0 )( x  x1 )...( x  x n 1 )

y que pasa por los puntos (0), (1) () (2)…., (n); los coeficientes a0, a1,….,an están dados por :

a 0  f  x0 

a1  f  x0 , x1  a2  f  x0 , x1 , x2 

an  f  x0 , x1 , x2 , ..., xn  esta aproximación polinomial se conoce como aproximación polinomial de newton, la cual se puede expresar sintéticamente como n

k 1

k 0

i 0

pn ( x )   ak  ( x  xi )

EJEMPLO Elabore una aproximación polinomial de newton para la siguiente información tabular e interpole la temperatura para una presión de 2 atm. Puntos

0

1

2

3

T(0C)

56.5

113.0

181.0

214.5

P(atm)

1

5

20

40

Solución

Diferencias divididas Puntos

p

T

0

1

5.6

1

5

113

Primer a

14.125

Segunda

-0.50482

4.553 2 3

20

181

40 214.5

0.01085 -0.8467

1 .675

tercera

a) par n = 1

p( x )  a0  a1 ( x  x0 )

=

f  x 0   f  x 0 , x1  ( x  x0 )

de la tabla se tiene f  x0  = 56.5 y f  x0 , x1  = 14.125, de donde

p(x) = 56.5 + 14.125(x-1) ecuación que equivale a las obtenidas anteriormente Si x = 2 , f(2) ≈ p(2) = 56.5 + 14.125(2-1) = 70.6 ºC de igual manera para n = 2

p2 ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )

= f  x0   ( x  x0 ) f  x0 , x1   ( x  x0 )( x  x1 ) f  x0 , x1 , x 2  Remplazando: p2 ( x )  56.5  14.125( x  1)  0.50482( x  1)( x  5)

Si x = 2 , f(2) ≈ p(2) = 56.5 + 14.125(2-1) -0.50482(2-1)-0.50482(21) (2-5) = 72.1 ºC También para: n = 3, resulta = 70.7 ºC

5.-POLINOMIOS DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS Si tenemos una distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera esta es la misma a lo largo de la tabla y el polinomio de newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez. Para este propósito se introduce un nuevo parámetro s, definido en:

colocar la ecuaciòn en términos de s y h .Para esto obsérvese que: x1 – x0 = h x2 – x0 = 2h . . . xi – x0 = ih a la primera ecuación le restamos xi a ambos resultando: x – xi = xo +sh -xi x – xi = h(s – 1) Sustituimos cada una de las diferencias (x – xi) con h(s – i) resultando así: Pn(x) = Pn(xo + sh) = f[xo] + hs f[xo , x1] + h2s(s – 1)f[xo , x1, x2] +………….+ h3s(s – 1)(s – 2)f[xo , x1 , x2 , x3]+ ....+ hn s(s – 1)(s – 2) ....(s – (n-1)) f[xo , x1 ,..... , xn] …………………..(1)

en la ecuación : Pn(x) = ao + a1(x – xo) + a2(x – xo)(x – x1) +.........+ an(x – xo)(x – x1)....(x – xn-1) Sustituimos cada una de las diferencias (x – xi) con h(s – i) resultando así: Pn(x) = Pn(xo + sh) = f[xo] + hs f[xo , x1] + h2s(s – 1)f[xo , x1, x2] + h3s(s – 1)(s – 2)f[xo , x1 , x2 , x3]+ ....+ hn s(s – 1)(s – 2) ....(s – (n-1)) f[xo , x1 ,..... , xn] ...................(2)) O expresada de la siguiente manera: n

k-1

Pn(x) =  ak hk  (s - i) ….(3) k=0

i=0

simplificando la ecuación (3) obtenemos: f(x) = f(x + h) + f(x) ...........(4)

donde:

 = operador lineal en diferencias hacia delante

A su vez, las diferencias hacia delante de orden superior se generan como sigue :  i f(x) = ( i-1f(x)) .........(5) también podemos simplificar de la siguiente forma:  f(x) = f(x) – f(x – h)........(6)) donde:

 = operador lineal de diferencia hacia atrás

i f(x) = (i-1f(x)) ...........(7) aplicando  al primer valor funcional f(xo) de una tabla se tiene: f(xo) = f(x1) – f(xo) = h f(xo , x1) ….(8) consecuentemente, al sustituir f( xo , x1,....., xi ), en términos de diferencia finita Pn(x) = Pn(xo+sh) = f(xo) + sf (xo) + ((s(s – 1))/2)2f (xo) + ((s(s – 1)(s – 2))/3)3f (xo) + .......+ ((s(s – 1)(s – 2)...(s –(n – 1)))/n)nf (xo) ............(9) Esta ecuación (9) es considerado como el polinomio de newton en diferencias finitas hacia delante.

Recordemos que la diferencia entre dos argumentos consecutivos cualesquiera es h y así introducimos el parámetro s en la ecuación x = xn +s h obteniendo: x – xn = sh x – xn-1 = xn – xn-1 + sh = h(s+1) x – xn-2 = xn – xn-2 + sh = h(s+2) . x – xo = xn – xo + sh = h(s+n) sustituyendo los valores anteriores en la ecuación(15) obtenemos Pn(x) = Pn(xn+sh) = f(xn) + sf (xn) + ((s(s – 1))/2)2f (xn) +.......+ ((s(s – 1)(s – 2)...(s –(n – 1)))/n)nf (xn)..........(10) Siendo considerada como polinomio de newton en diferencias hacia atrás.

EJEMPLO La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor en lb/plg2 a diferentes temperaturas para el 1-3 butadieno. punto 0 1 2 3 4 5 s T OF 50 60 70 80 90 100 P 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.30 lb/plg 2

Aproxime la función tabulada por el polinomio de newton en diferencias hacia delante e interpole la presión a la temperatura de 64 oF.

Punto 0 1 2 3 4 5

xi 50 60 70 80 90

F(xi) 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57

100 59.30

F(xi) f(xo)=5.17 f(x1)=5.94 f(x2)=6.79 f(x3)=7.73 f(x4)=8.73

2F(xi) 2f(xo)=0.77 2f(x1)=0.85 2f(x2)=0.94 2f(x3)=1.00

3F(xi)

3f(xo)=0.08 3f(x1)=0.09 3f(x2)=0.06

4F(xi)

4f(xo)=0.01 4f(xo)=-0.03

Si nos damos cuenta sabremos que h=10 x 1 – xo = h 60 – 50 = 10 Siendo el valor por interpolar 64 y despejando “s” de la ecuación: x = xo + sh obtenemos s= (x – xo)/h = (64-50)/10 =1.4 al interpolar el valor de la presión a una temperatura de 64°F tendríamos P(x) = f(xo) + s f(xo)= 24.94 +1.4(5.17)=32.17 :

Punto 0

xi 50

F(x i ) 24.94

1

60

30.11

2

70

36.05

3

80

42.84

4

90

50.57

5

100

59.30

 F(x i )  f(x 1 )=5.17  f(x 2 )=5.94  f(x 3 )=6.79  f(x 4 )=7.73  f(x 5 )=8.73

 2 F(x i )  2 f(x 2 )=0.77  2 f(x 3 )=0.85  2 f(x 4 )=0.94  2 f(x 5 )=1.00

 3 F(x i )

 3 f(x 3 )=0.08  3 f(x 4 )=0.09  3 f(x 5 )=0.06

P1(64) =f(x1) + sf(x1) = 30,11 +1,4(5,17)=37,348

 4 F(x i )

 4 f(x 4 )=0.01  4 f(x 5 )=-0.03