Bola 165m52

BAB II PEMBAHASAN

2.1. PERSAMAAN BOLA Bola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama ke satu titik tetap. Jarak yang sama disebut jari-jari bola dan titik yang tetap disebut pusat bola. Hubungan antara x, y, dan z dari semua titik pada bola menyatakan persamaan bola. 2.1.1.

Persamaan Pusat

Misal P(x,y,z) sebarang titik pada permukaan bola, maka jarak P ke O(0,0,0) tetap = R. ´ PO=R R= √( x−0 ) + ( y −0 ) + ( z−0 ) 2

2

2

atau

R2=x 2 + y 2+ z2 Jadi,

R2=x 2 + y 2+ z2 Gambar 1

2.1.2.

Bola Pusat M(a,b,c) jari-jari R.

Untuk sebarang titik P(x,y,z) pada bola selalu berlaku, bahwa PM = tetap = R ,atau:

( x−a )2 + ( y −b )2 + ( z−c )2=R Jadi,

2

2

2

2

R =( x−a ) + ( y−b ) + ( z−c )

Adalah persamaan bola pusat (a,b,c) jari-jari R

Contoh 1

( x−1 )2+ ( y+ 3 )2+ ( z−5 )2=36, artinya bola dengan pusat M(1,-3,5) jari-jari R = 6.

2.1.3.

Persamaan Parameter Bola.

Bola pusat O jari-jari R dapat ditulis dalam bentuk persamaan Parameter : x=R sinθcosφ

y=R sinθsinφ z=R cosθ

θ dan φ

Dimana

parameter

Bila dari persamaan tersebut, parameter

θ dan φ

dieliminir

terdapat persamaan 2

2

2

x + y + z =R

2

.

Bola melalui pusat M(a,b,c) jari-jari R dapat ditulis dalam bentuk persamaan parameter x−a=R sinθcosφ y−b=R sinθsinφ

z−c=R cosθ

2.1.4.

Persamaan Bola dalam Koorddinat Bola

Pada bab 1 telah dijelaskan tentang sistem Koordinat Bola, dan hubungan antara sistem koordinat kartesius dengan sistem koordinat bola yaitu: x=rsinθcosφ

y=r sinθsinφ z=r cosθ

Keterangan: r = radius = jarak titik P pada bola ke titik pusat O θ = sudut antara sumbu z tehadap garis OP, dan φ=¿

sudut antara sumbu x terhadap OP1 dengan P1 adalah

proyeksi P pd alas xy Persamaan bola dalam koordinat bola adalah sebagai berikut: a.

Bola Pada Pusat O jari-jari = a 2 2 2 2 Persamaan bolanya x + y + z =a . r = a b. Bola pusat (a,0,0), jari-jari = a r=2 asinθcosφ . c. Bola pusat (0,a,0), jari-jari =a r=2 asinθsinφ . d. Bola pusat (0,0,a), jari-jari =a r=2 cosθ .

2.2. Bola dan Bidang Rata Ada tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang rata terhadap bola: 1.

Bidang memotong bola, bila jarak pusat bola ke bidang (d) kurang dari jari-jari R; d < R.

Irisannya berupa sebuah lingkaran dengan jari-jari r =

√ R 2−d 2

dan pusat lingkarannya adalah titik kaki garis

2.

normal yang melalui pusat bola. Bidang menyinggung bola, bila jarak pusat bola ke bidang

3.

sama dengan jari-jari bola; d = R. Bidang di luar (tidak memotong) bola, bila jarak pusat bola ke bidang lebih dari jari-jari; d > R

d

d R

R

d

R

M

Gambar 2.a

Gambar 2.b

Gambar 2.c

Contoh 2. Selidiki kedudukan bidang V : x + 2y + 2z = 0 terhadap bola B:

x 2+ y 2 + z 2 +2 x + 4 y +4 z =16 .

Bila

berpotongan,

tentukanlah

pusat dan jari-jari lingkarannya. Penyelesaian: Bola pusat M (-1,-2,-2) jari-jari R = Jarak M ke bidang d =

|√

√ 1+ 4+ 4+ 16=5

|

−1−4−4 =3 1+ 4+ 4

Ternyata d < R, Jadi bidang memotong bola menurut sebuah lingkaran, jari-jari lingkaran r =

√ R 2−d 2= √25−9=4

Pusat lingkaran dicari sebagai berikut:

Bilangan arah normal, 1,2,2 Garis normal melalui M (-1,-2,-2) mempunyai persamaan : x = -1 + t, y=-2 +2t, z = -2 + 2t disubstitusikan ke persamaan bidang, terdapat nilai t = 1, nilai t = 1 substitusikan ke persamaan bidang normal, didapat x = 0 , y = 0, dan z = 0. Jadi pusat lingkarannya (0,0,0).

2.3. Bidang Singgung Bola 2.3.1. Bidang Singgung di Titik P (x1,y1,z1) pada Bola 2 2 2 2 a. Bila bolanya R =x + y + z , maka persamaan bidang singgung di P x 1 x+ y 1 y + z 1 z=R b.

Bila bolanya

2

( x−a )2 + ( y −b )2 + ( z−c )2=R2 , maka persamaan

bidang singgung di P

c.

( x−a ) ( x−a1 ) + ( x−a ) ( x−a1 )+ ( x−a ) ( x−a 1 )=R2 2 2 2 Bila bolanya x + y + z + Ax + By+Cz+ D=0 , maka persamaan bidang singgung di P 1 1 1 x . x 1+ y . y 1+ z . z1 + A ( x + x1 ) + B ( y + y 1 ) + C( z + z 1)=R2 2 2 2

Cara di atas dikenal dengan metoda Joachimsthal atau Sistem Bagi Adil. Keterangan: Bidang singgung di titik P (x1,y1,z1) pada bola pusat 0, jari2

P pada bola

2

2

2

x 1 + y 1 + z 1 =R

2

2

2

R =x + y + z

jari R dengan persamaan 2

Bilangan arah pada bidang singgung : x1,y1,z1

Persamaan bidang singgung di P pada x1,y1,z1 ❑

❑

❑

x 1 ( x−x 1 ) + y 1 ( y− y 1 ) + z 1 ( z−z 1 ) =0 x 1 . x+ y 1 . y+ z1

.z =

x 12 + y 12 + z 12

atau

x 1 . x+ y 1 . y+ z1 .z = R2 Dengan cara yang sama rumus b dan c dapat dengan mudah ditemukan.

Contoh 3: Tentukanlah bidang singgung bola

2

2

2

x + y + z +2 x −6 y+ 4 z=0

O(0,0,0). Penyelesaian: 1 1 1 x . x 1+ y . y 1+ z . z1 + .2 ( x+ x 1 ) + (−6 ) ( y + y 1 ) + ( 4 ) ( z + z 1 )=0 2 2 2

di titik

x . x 1+ y . y 1+ z . z1 + ( x + x 1 )−3 ( y + y 1 ) +2 ( z + z 1) =0 Atau

x-3y+2z = 0

2.4. Kutub Sebuah Bidang TErhadap Bola Bila diketahui sebuah bola B dan sebuah bidang V, maka kita dapat mencari sebuah titik P sebagai titk kutubnya bidang V terhadap bola B. Contoh 4: Tentukan titik kutub bidang V: x – 6y -5z – 2 = 0 terhadap bola x 2+ y 2 + z 2−3 x +2 y−z=0 Penyelesaian: Misal titik kutubnya P (x1,y1,z1) Persamaan bidang kutub dari P: 3 1 x . x 1+ y . y 1+ z . z1 − ( x+ x 1 ) + ( y + y 1 ) − ( z + z 1)=0 2 2 Bidang ini harus identik dengan x – 6y -5z – 2 = 0

x 1− 1

3 2

1 −3 1 x 1+ y 1− z1 y +1 2 2 2 = 1 = = −6 −5 −2 z1 −

Setelah dihitung terdapat Jadi titik kutubnya (1,2,3) SOAL LATIHAN

x 1=1

;

y 1=2

;

z 1=3

1. Tentukan pusat dan jari-jari bola: 2 2 2 a. x + y + z −3 x−4 y−2 z−19=0 2

2

2

2

2

2

b.

x + y + z −2 y−4 z−8=0

c.

x + y + z −4 x−6 y−8 z +29=0

2. Tentukan pusat dan jari-jari bola dengan persamaan: a. r=8 sinθcosφ b.

r=6 sinθsinφ

c.

r=4 cosθ

d.

r=sinθsinφ

3. Tunjukkan bahwa bidang 2x-2y + z + 12 =0 menyinggung bola x 2+ y 2 + z 2−2 x−4 y+ 2 z=3 . Tentukan titik singgungnya. 4. Tentukan garis singgung lingkaran 2 2 2 x + y + z +5 x−7 y +2 z−8=0 , 3x-2y +4 z + 3 =0 di titik (-3,5,4). 5. Tentukan titik kutub bidang V: x – 4y +3z – 2 = 0 terhadap bola x 2+ y 2 + z 2−8 x +2 y−z=0 .