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SIMILITUD Y SEMEJANZA GEOMÉTRICA DINÁMICA Y CINEMÁTICA SIMILITUD La similitud es el estudio de predecir las condiciones de un prototipo a partir de observaciones de un modelo. Cuando una solución analítica o numérica no es práctica, o cuando los cálculos están basados en un modelo simplificado de modo que se introduce incertidumbre, en general es aconsejable realizar una prueba en un modelo si las pruebas de un prototipo a escala natural no son prácticas, sea ésta demasiado grande o demasiado pequeño. SEMEJANZA GEOMÉTRICA La semejanza geométrica se refiere a la dimensión longitud {L} y debe asegurarse que se cumple antes de proceder a los ensayos con cualquier modelo. Una definición formal es la siguiente: Un modelo y un prototipo son geométricamente semejantes si, y sólo si, todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tienen la misma relación de escala lineal. Obsérvese que todas las longitudes deben de estar referidas a la misma escala. Es como si se tomase una fotografía del prototipo y la redujésemos o agrandásemos hasta que tuviese el tamaño del modelo. Si el modelo está hecho a un décimo de tamaño del prototipo, su longitud, anchura y altura deben ser diez veces más pequeñas. No sólo eso, sino que cualquiera de sus dimensiones debe ser diez veces más pequeña, y, técnicamente, hablaremos de puntos homólogos, que son los puntos que tienen la misma posición relativa. Por ejemplo, el borde de ataque del prototipo es homólogo al borde de ataque del modelo. El extremo izquierdo del prototipo de un ala es homólogo al extremo izquierdo del modelo. La semejanza geométrica requiere que todos los puntos homólogos estén relacionados por la misma relación de escala lineal. Esto se aplica tanto a la geometría del fluido como del modelo.

En la semejanza geométrica todos los ángulos se conservan. Todas las direcciones del flujo se conservan. La orientación del modelo y del prototipo con respecto a los objetos de los alrededores debe ser idéntica. La Figura 1 ilustra un prototipo de ala y su modelo a escala un décimo. Las longitudes del modelo son todas un décimo más pequeñas, pero su ángulo de ataque con respecto a la corriente libre es el mismo: 10° no 1°. Todos los detalles geométricos del modelo deben estar a escala, y a veces se pasan por alto algunos de ellos por ser muy sutiles: 1. El radio de borde de ataque del modelo debe ser un décimo más pequeño. 2. La rugosidad de la superficie del modelo debe ser un décimo más pequeña. 3. Si el prototipo tiene un alambre perturbador de 5 mm, para inducir la transición de la capa límite a turbulenta, situado a 1,5 m del borde de salida, el modelo debe tener un alambre de 0,5 mm situado a 0,15 m del borde de salida. 4. Si el prototipo se construye con remaches que sobresalen, el modelo debe tener los remaches correspondientes de tamaño un décimo menor.

(a)

(b)

Figura 1. Semejanza geométrica en el ensayo con modelos: (a) prototipo; (b) modelo a escala un décimo.

Y así sucesivamente. Habrá violación de la semejanza geométrica cuando el modelo no cumpla todas estas exigencias, si bien quizá sea posible mostrar mediante contraste experimental que el comportamiento del prototipo no va a estar afectado por la discrepancia. El de modelos se arriesga cuando utiliza

modelos que parecen semejantes en su forma, pero que violan claramente la semejanza geométrica. La Figura 1.2 ilustra este punto. Las esferas de la Figura 1.2a son todas geométricamente semejantes y puede esperarse que los ensayos den buenos resultados si los números de Reynolds, Froude, etc., son los mismos.

Figura 1.2. Semejanza y no semejanza geométrica de flujos: (a) semejantes; (b) no semejantes.

Sin embargo, los elipsoides de la Figura 1.2b sólo parecen semejantes. En realidad sus dos ejes tienen relaciones de escala lineal diferentes y no pueden compararse de ninguna forma racional, aunque los números de Reynolds, Froude, etc., sean idénticos. Los resultados no serán los mismos para estos elipsoides y cualquier intento de «compararlos» es una cuestión de juicio ingenieril grosero. SEMEJANZA DINÁMICA Existe semejanza dinámica cuando modelo y prototipo tienen la misma relación de escala de longitudes, la misma relación de escala de tiempos y la misma relación de escala de fuerzas (o de masa). De nuevo, la semejanza geométrica es el primer requisito; en caso contrario, no se debe proseguir. La semejanza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática, si todas las fuerzas en modelo y prototipo guardan la misma proporción. Esto ocurre si 1. Flujo compresible: los números de Reynolds y Mach del modelo y el prototipo y la relación de calores específicos son iguales. 2. Flujo incompresible:

a. Sin superficie libre: los números de Reynolds del modelo y el prototipo son iguales. b. Con superficie libre: los números de Reynolds, Froude y (si intervienen) los de Weber y de cavitación son iguales en el modelo y el prototipo. Esto es consecuencia de que la ley de Newton exige que para toda partícula fluida la suma de las fuerzas de presión, gravedad y fricción ha de ser igual al término de aceleración o fuerza de inercia,

Las leyes de semejanza dinámica citadas anteriormente aseguran que todas estas fuerzas están en la misma proporción y tienen direcciones equivalentes en el modelo y el prototipo. La Figura 1.3 muestra un ejemplo correspondiente al flujo bajo una compuerta. Los polígonos de fuerzas en puntos homólogos tienen exactamente la misma forma si los números de Reynolds y Froude son iguales (despreciando, por supuesto, la tensión superficial y la cavitación). La semejanza cinemática también está asegurada por las mismas leyes.

Figura 1.3. Semejanza dinámica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo y prototipo tienen polígonos de fuerzas semejantes, en puntos homólogos, si los números de Reynolds y Froude son iguales en ambos: (a) prototipo; (b) modelo.

SEMEJANZA CINEMÁTICA La semejanza cinemática exige que todas las relaciones entre longitudes homólogas del modelo y prototipo tengan el mismo valor, que se denomina relación de escala de longitudes, y también que todas las relaciones entre tiempos homólogos tengan un valor común, que se denomina relación de escala de tiempos. Entonces habrá una única relación de escala de velocidades. Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejantes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos. La equivalencia de las escalas de longitud implica simplemente semejanza geométrica, pero la equivalencia de las escalas de tiempo puede exigir consideraciones dinámicas adicionales tales como la igualdad de los números de Reynolds y de Mach. Un caso especial es el flujo sin fricción y sin superficie libre de un fluido incompresible, que se esquematiza en la Figura 1.4a. Este tipo de flujos son cinemáticamente semejantes con escalas de longitud y tiempo independientes, y no son necesarios parámetros adicionales (véase Capítulo 8 para más detalles). Los flujos sin fricción con superficie libre, como el de la Figura 1.4b, son cinemáticamente semejantes si sus números de Froude son iguales:

(1) Obsérvese que el número de Froude es un parámetro puramente cinemático que sólo relaciona magnitudes con dimensiones de longitud y tiempo. De la Ecuación (1), si la escala de longitud es

(1.2) donde α es un factor adimensional, la escala de velocidades es

(1.3)

Figura 1.4. Los flujos no viscosos a bajas velocidades son cinemáticamente semejantes: (a) los flujos sin superficie libre son cinemáticamente semejantes con relaciones de escala de longitud y tiempo independientes; (b) los flujos con superficie libre son cinemáticamente semejantes con escalas de longitud y tiempo relacionadas entre sí por la conservación del número de Froude.

y la escala de tiempos es

(1.4)

Estas relaciones cinemáticas obtenidas de la igualdad de los números de Froude se ilustran en la Figura 1.3b, que se refiere a la modelización del movimiento de ondas. Si la relación de escala de longitudes de las ondas es α, la relación entre

períodos de onda, velocidades de propagación y velocidades de las partículas es Pα. Si los efectos de viscosidad, tensión superficial o de compresibilidad son importantes, la semejanza cinemática está condicionada a que haya semejanza dinámica. APLIACIONES Sus aplicaciones son diversas, destacando el estudio de modelos a escala, entre los cuales los que más resaltan: 

Ensayos marítimos



Ensayos aeronáuticos

Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc, se hacen en los laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos. Los modelos se hacen de materiales diversos madera, escayola, metales, hormigón, plástico, etc. No es necesario ensayar con el mismo fluido que utilice el prototipo. El agua y el aire son los fluidos que generalmente se utilizan.

Figura 2. Estudios de rebase del oleaje en estructuras portuarias y costeras INHA, España.

Figura 3. Un capitán de remolcador realiza escala, THE GUARDIAN, Inglatera.

maniobras, durante un ensayo con un modelo a

Figura 4. Pruebas aeronáuticas al prototipo de avión Cessna SkyCourier de la empresa Textron Aviation.

PROBLEMA Un prototipo de una bomba de agua tiene un impulsor de 2 ft de diámetro y está diseñada para bombear 12 ft3/s a 750 rpm. Se ensaya un modelo de 1 ft de diámetro en aire a 20 °C a 1800 rpm, resultando despreciables los efectos del número de Reynolds. En condiciones semejantes, ¿cuál será el caudal del modelo en ft3/s? Si el modelo consume una potencia de 0,082 hp, ¿qué potencia requerirá el prototipo? Nota: para el aire a 20 °C, asumir que ρ≈ 0.00234 slug/ft3. Para el agua a 20 °C, asumir que ρ≈ 1.94 slug/ft3. El grupo de Pi para este problema está dado por la siguiente relación;

Despreciando µ:

Siempre y cuando el número de Reynolds es irrelevante. Despejando Q, para encontrar el caudal del modelo y sustituyendo:

Similarmente se obtiene la potencia necesaria:

=