Potencias De Base Entera Y Exponente Natural 1j2mp

P otencias de base entera y exponente natural Bloque de Álgebra y

Para responder la pregunta, se puede realizar el análisis que se presenta en la Tabla 1.

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Tiempo en minutos

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En un experimento científico, la po-blación de cierto tipo de bacterias se duplica cada minuto.

Número de bacterias

1

1? 2

2

2

2? 2

4

3

2? 2 ? 2

8

4

2 ? 2? 2 ? 2

16

5

2?2?2?2?2

32

6

2?2?2?2?2?2

64

7

2 ? 2 ? 2? 2? 2 ? 2 ? 2

128 Tabla 1

El producto 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 se puede escribir como una potencia Si el experimento da inicio con un individuo y la población con-tinúa creciendo de la misma for-ma, ¿cuál será la población de

7

porque: 2 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 128

La potencia se representa así: Exponente

bacterias al cabo de 7 minutos?

2

7

5

Potencia 128

Base

Por lo tanto, en 7 minutos habrá 128 bacterias en total. Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. La base de la potencia es el factor que se repite. El exponente es el número de veces que se repite. Ejemplo 1

Observa cómo se obtienen algunas potencias. 5

5 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 3 125 3 (23) 5 (23) ? (23) ? (23) 5 227 4 (21) 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 1 Ten en cuenta

14.1 Potencias de base un número entero negativo

Existe otra manera poco usual de hallar la potencia cuadrada de un número sin utilizar explícitamente dicha definición.

Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia es negativo.

Ejemplo 2

2

3 51131559 2 6 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36 2

• Halla 2 y 5 con este método.

5

a. (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 232, ya que la base es negativa y el exponente impar. 4

b. (23) 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 81, puesto que la base es negativa y el exponente es par. 2

c. (27) 5 (27) ? (27) 5 49, porque la base es negativa y el exponente es par. 3

d. (24) 5 (24) ? (24) ? (24) 5 264, pues la base es negativa y el exponente es impar.

48

APPLIC EDICIO NE A ©S SM

Por ejemplo:

2

Si la base es negativa y el exponente es par, el valor de la potencia es positivo.

Bloque de Álgebra y Funciones Destreza con criterios de desempeño: naturales.

Calcular la potencia de números enteros con exponentes

14.2 Operaciones con potencias de la misma base

Ten en cuenta

El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la mis-ma base y con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. En general, se cumple que: m

n

a ?a 5a

m1n

El número 365 es un número curioso, ya que es el único que cumple con la propiedad 2

2

2

2

2

10 1 11 1 12 5 13 1 14 5 365

Ejemplo 3 María tiene un restaurante y quiere saber cuántos platos se utilizan en él, para lo cual compra 27 estantes, cada estante con nueve divisiones y en el que caben tres platos por división. Una manera de calcular la cantidad total de platos consiste en realizar la siguiente multiplicación. 3

2

27 ? 9 ? 3 5 3 ? 3 ? 3 5 3

31 211

6

5 3 5 729

Por lo tanto, en el restaurante de María se utilizan 729 platos en total. El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base y con el exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. En general, se cumple que: m

n

m 2n

a 4a 5a

; si a Þ 0

Ejemplo 4 6

4

De acuerdo con la propiedad anterior, el cociente (25) 4 (25) se puede calcular como se muestra a continuación. 6

4

62 4

2

(25) 4 (25) 5 (25)

5 (25) 5 25

La potencia de una potencia es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes. En general, se cumple que: m n

Ten en cuenta

m ? n

(a ) 5 a

Todo número diferente de cero elevado a la 0 es igual a 1. En general:

Ejemplo 5

0

a 5 1; si a Þ 0

Para comprender mejor la propiedad anterior, se puede analizar esta 23

2

2

2

secuencia. [(27) ] 5 (27) ? (27) ? (27) 5 (27)

21212

5 (27)

Ejemplo 6 34

4

32

6

(22) ? 4 34

4

32

3 3

12

[(22) ] ? 4 ? [(22) ] ? (4 )

5 (22)

7

4

6

6

SM

5

(22)

18

?4

9

7

13 5 (22)

6

.

7

? 4 ? (22) ? 4 (22) ? 4

AP P LI C A © E DI CI O N ES

6

(22) ? 4

3 3

[(22) ] ? 4 ? [(22) ] ? (4 )

Observa cómo resolver la potencia

(22) ? 4

7

12

?4

6

6