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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Plano tangente y normal a una superficie I.
INTRODUCCIÓN
Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y sólidos. Por ejemplo, consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura . Este tipo de disparo requiere precisión, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la dirección de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendo parte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se orienta sobre la línea de impacto, con independencia de la dirección de la bola lanzada, como se indica en la figura . Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la superficie de la bola en el punto P.
En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangente a ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
Entonces, para todo t,
Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es =(gradiente).(vector tangente) Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P están en un plano que es normal a y contiene a P, como se ve en la figura 6.3. Llamamos a este plano, plano tangente a S en P, y a la recta que pasa por P en la dirección de recta normal a S en P.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
2
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Plano tangente a la superficie S en P II.
III.
OBJETIVOS Calcular la ecuación del plano tangente a una superficie. Calcular la ecuación de la recta normal a una superficie. Determinar cuándo un plano es tangente y normal a una superficie.
MARCO TEORICO Plano tangente a una superficie Si se tiene una superficie f(x,y,z)=0, la ecuación del plano tangente en un punto P(x1,y1,z1) es: f,x(x1,y1,z1)(x- x1) + f,y(x1,y1,z1)(y- y1) + f,z(x1,y1,z1)(z- z1) = 0 Siendo f,x ,f,y, f,z derivadas parciales. Normal a una superficie La normal a la superficie f(x,y,z)=0 en un punto P(x1,y1,z1) está dada por la fórmula: x−x 1 y − y 1 z−z 1 = = (f , x)1 ( f , y)1 (f , z )1 Los subíndices indican valores de las derivadas en el punto P(x 1,y1,z1). Definición 1 Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
3
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente. Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:
y la recta normal por:
Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:
y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Figura : Plano tangente y vector normal
Figura : Plano tangente
Ejemplos 1) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie: X3+3y2+6xy+z2-3z-5=0 en el punto (1,2.-1) Solución Siendo: f,x= X3+6y=15 f,y=-6y+6x=-6 f,z=2z-3=-5 plano tangente: 15(x-1)-6(y-2)-5(z-1)=0 15x-6y-5z-8=0 Normal: x−1 y−2 z +1 = = 15 −6 −5 2) Hallar el ángulo formado por las superficies: 3x2+2y2-2z-1=0 X2+y2+z2-4y-2z+2=0 En el punto (1,1,2) Solución El plano tangente a la 1° superficie es:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
3(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 o 3x+2y-z-3=0 El plano tangente a la 2° superficie es: x-y+z-2=0 n1=(3,2,-1) , n2=(1,-1,1) n1.n2=3-2-1=0 entonces cosα=0 π |n1|= √ 14 , |n2|= √ 3 , α= 2 EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
en el punto (1,-1,4) Solución Considerando
tenemos
y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son
Luego una ecuación del plano tangente en (1,-1,4) es
La figura muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Plano tangente a la superficie Para encontrar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por z=f(x,y), definimos la función F mediante F(x,y,z)=f(x,y)-z Entonces S viene dada por la superficie de nivel F(x,y,z)=0, y por el teorema 6.1 una ecuación del plano tangente a S en el punto (x0,y0,z0) es
2. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
en el punto (2,-2,2) Solución
De
obtenemos
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
7
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Por lo tanto, una ecuación del plano tangente en (2,-2,2) es
Se muestra este plano en la figura.
Plano tangente a la superficie El gradiente proporciona un método conveniente para encontrar ecuaciones de rectas normales. 3. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide el punto
en
.
Solución
El vector gradiente está dado por
con lo cual el vector normales tangente es ANÁLISIS MATEMÁTICO II
y la ecuación del plano
8
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
simplificando
En la figura siguiente se muestra el paraboloide y el plano tangente.
Plano tangente
4. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
9
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
en el punto
. Solución
Consideremos
de donde obtenemos que
Y así, la ecuación del plano tangente en el punto
es
5. Hallar el o los puntos de la esfera plano tangente es paralelo al plano Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
10
en los cuales el .
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Sea
uno de estos puntos, entonces por esta en la esfera
Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto plano decir
y el
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es
Entonces de (3) y (4) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son
6. Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos
en el punto Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
12
.
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Haciendo
tenemos que
Por tanto, la ecuación del plano tangente es
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es
con
. O en su forma simétrica
7. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación en el punto P(1,2,3).
Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Hallamos las derivadas parciales:
; En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
; Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es: , o bien, simplificando y la ecuación de la recta normal es:
8. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie que sean paralelos al plano
.
Solución Consideramos la función Hallamos las derivadas parciales: ;
;
El vector gradiente es perpendicular a la superficie en el punto de tangencia y, por tanto, será paralelo al vector normal al plano dado
luego sus componentes serán proporcionales:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
14
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Despejando x, y, y z en función de t y sustituyendo en la ecuación de la superficie resulta
. Luego los puntos de tangencia son P(1,2,2) y
Q(-1,-2,-2), y el gradiente:
y
Por consiguiente las ecuaciones de los planos tangentes son: , o bien, simplificando
y
, o bien, simplificando
IV.
V.
CONCLUSIONES se aprendió a calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a una superficie. BIBLIOGRAFIA
Análisis Matemático II, Moisés Lázaro. Análisis Matemático II, Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático II, Armando Venero Calculo, leithold.
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Plano tangente y normal a una superficie I.
INTRODUCCIÓN
Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y sólidos. Por ejemplo, consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura . Este tipo de disparo requiere precisión, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la dirección de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendo parte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se orienta sobre la línea de impacto, con independencia de la dirección de la bola lanzada, como se indica en la figura . Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la superficie de la bola en el punto P.
En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangente a ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
Entonces, para todo t,
Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es =(gradiente).(vector tangente) Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P están en un plano que es normal a y contiene a P, como se ve en la figura 6.3. Llamamos a este plano, plano tangente a S en P, y a la recta que pasa por P en la dirección de recta normal a S en P.
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Plano tangente a la superficie S en P II.
III.
OBJETIVOS Calcular la ecuación del plano tangente a una superficie. Calcular la ecuación de la recta normal a una superficie. Determinar cuándo un plano es tangente y normal a una superficie.
MARCO TEORICO Plano tangente a una superficie Si se tiene una superficie f(x,y,z)=0, la ecuación del plano tangente en un punto P(x1,y1,z1) es: f,x(x1,y1,z1)(x- x1) + f,y(x1,y1,z1)(y- y1) + f,z(x1,y1,z1)(z- z1) = 0 Siendo f,x ,f,y, f,z derivadas parciales. Normal a una superficie La normal a la superficie f(x,y,z)=0 en un punto P(x1,y1,z1) está dada por la fórmula: x−x 1 y − y 1 z−z 1 = = (f , x)1 ( f , y)1 (f , z )1 Los subíndices indican valores de las derivadas en el punto P(x 1,y1,z1). Definición 1 Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
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Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente. Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:
y la recta normal por:
Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:
y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Figura : Plano tangente y vector normal
Figura : Plano tangente
Ejemplos 1) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie: X3+3y2+6xy+z2-3z-5=0 en el punto (1,2.-1) Solución Siendo: f,x= X3+6y=15 f,y=-6y+6x=-6 f,z=2z-3=-5 plano tangente: 15(x-1)-6(y-2)-5(z-1)=0 15x-6y-5z-8=0 Normal: x−1 y−2 z +1 = = 15 −6 −5 2) Hallar el ángulo formado por las superficies: 3x2+2y2-2z-1=0 X2+y2+z2-4y-2z+2=0 En el punto (1,1,2) Solución El plano tangente a la 1° superficie es:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
3(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 o 3x+2y-z-3=0 El plano tangente a la 2° superficie es: x-y+z-2=0 n1=(3,2,-1) , n2=(1,-1,1) n1.n2=3-2-1=0 entonces cosα=0 π |n1|= √ 14 , |n2|= √ 3 , α= 2 EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
en el punto (1,-1,4) Solución Considerando
tenemos
y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son
Luego una ecuación del plano tangente en (1,-1,4) es
La figura muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Plano tangente a la superficie Para encontrar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por z=f(x,y), definimos la función F mediante F(x,y,z)=f(x,y)-z Entonces S viene dada por la superficie de nivel F(x,y,z)=0, y por el teorema 6.1 una ecuación del plano tangente a S en el punto (x0,y0,z0) es
2. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
en el punto (2,-2,2) Solución
De
obtenemos
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Por lo tanto, una ecuación del plano tangente en (2,-2,2) es
Se muestra este plano en la figura.
Plano tangente a la superficie El gradiente proporciona un método conveniente para encontrar ecuaciones de rectas normales. 3. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide el punto
en
.
Solución
El vector gradiente está dado por
con lo cual el vector normales tangente es ANÁLISIS MATEMÁTICO II
y la ecuación del plano
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
simplificando
En la figura siguiente se muestra el paraboloide y el plano tangente.
Plano tangente
4. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
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en el punto
. Solución
Consideremos
de donde obtenemos que
Y así, la ecuación del plano tangente en el punto
es
5. Hallar el o los puntos de la esfera plano tangente es paralelo al plano Solución
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en los cuales el .
PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Sea
uno de estos puntos, entonces por esta en la esfera
Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto plano decir
y el
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es
Entonces de (3) y (4) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son
6. Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos
en el punto Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Haciendo
tenemos que
Por tanto, la ecuación del plano tangente es
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es
con
. O en su forma simétrica
7. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación en el punto P(1,2,3).
Solución
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Hallamos las derivadas parciales:
; En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
; Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es: , o bien, simplificando y la ecuación de la recta normal es:
8. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie que sean paralelos al plano
.
Solución Consideramos la función Hallamos las derivadas parciales: ;
;
El vector gradiente es perpendicular a la superficie en el punto de tangencia y, por tanto, será paralelo al vector normal al plano dado
luego sus componentes serán proporcionales:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE
Despejando x, y, y z en función de t y sustituyendo en la ecuación de la superficie resulta
. Luego los puntos de tangencia son P(1,2,2) y
Q(-1,-2,-2), y el gradiente:
y
Por consiguiente las ecuaciones de los planos tangentes son: , o bien, simplificando
y
, o bien, simplificando
IV.
V.
CONCLUSIONES se aprendió a calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a una superficie. BIBLIOGRAFIA
Análisis Matemático II, Moisés Lázaro. Análisis Matemático II, Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático II, Armando Venero Calculo, leithold.
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