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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Teoría de juegos: Juegos estáticos con información incompleta

Rafael Salas mayo de 2004

Juegos con información incompleta Hasta ahora hemos visto juegos con información completa. Es previsible que los agentes económincos no conozcan la información relevante a cerca de las funciones de pagos o conjuntos de estrategias del resto de los jugadores. Este es el caso de información incompleta o asimétrica. Harsanyi (1967) propone una solución de tales juegos mediante el planteamiento de juegos bayesianos, para ello tenemos que hacer unos supuestos que nos permitan reformular el juego de información incompleta como uno de información imperfecta equivalente y aplicar la regla de Bayes.

Juegos con información incompleta Vamos a analizar separaradamente los juegos: A. Juegos estáticos B. Juegos dinámicos C. Juegos de señalización Empecemos con los primeros...

Un ejemplo: Un monoplista existente (empresa 2) conoce perfectamente los pagos de un entrante potencial (empresa 1). Éste sin embargo tiene ciertas dudas sobre los pagos del monopolista en determinadas circunstancias. Se trata de un juego simultáneo en el que las estrategias del monopolista son acomodarse o luchar (A ó L) y las de la empresa 1 son entrar o no entrar (E, NE). Además la siguiente incertidumbre en los pagos por parte de la empresa 1 hace que exista información incompleta o asimétrica:

Pagos: Emp 2 A

L 1

E

1

k -1

Emp 1 3

3

NE 0

0

La empresa 1 desconoce los pagos de 2 con certeza. No obstante, conoce que la empresa 2 tiene un k = 2 (es del tipo KI) con probabilidad p y un k= -1 (es del tipo KII) con probabilidad 1-p

.

Juegos con información incompleta: conceptos previos Un juego estático con información incompleta en forma normal G consiste en: G={1,...N; S1,...SN; U1,...,UN; T1,...,TN; } donde 1,...,N es el número de jugadores Si= conjunto de estrategias puras del jugador i Ui= conjunto de pagos de i Ti= conjunto de tipos de jugadores i =distribución de probabilidad sobre los distintos tipos de jugadores posibles La novedad es que puede debemos poder establecer conjeturas sobre los tipos de jugadores a los que nos enfrentamos y una distribución de probabilidad sobre ellos.

Juegos con información incompleta: conceptos previos Un juego estático con información incompleta en forma normal G se puede representar de la forma habitual: G={i,-i; Si,S-i; Ui,U-i; Ti,T-i; } donde los pagos son para todas las estrategias puras (condicionadas a los tipos): Ui(si(ti), s-i(t-i), ti, t-i) y la utilidad esperada: UEi (si, s-i, ti, t-i)= t-i Ui(si(ti), s-i(t -i), ti, t-i) i(t -i ti)

Juegos con información incompleta: Harsanyi (1967) demuestra que un juego estático con información incompleta en forma normal G se puede traducir en un juego de información imperfecta para el que el equilibrio de Nash está bien definido. Lo denomina equilibrio de Nash bayesiano ENB. La idea es que al jugador con información incompleta sobre las funciones de pagos del resto, se le considera como incierto sobre el tipo de jugador(es) con el (los) que se enfrenta(n). Tiene incertidumbre sobre el tipo de jugador -que están bien definidos- y conoce la distribución de probabilidades. Ésta es información de dominio público. Se trata de un juego bayesiano de información imperfecta: la naturaleza mueve primero, y determina el tipo de jugador. Después mueven los jugadores (simultáneamente)...

Juego de información imperfecta en forma extensiva equivalente N kII con 1-p

kI con p

1 NE

E

2 A

1

2 L

A

  (1, 1) (-1, 2) (0, 3)

El EN es el ENB

NE

E

2

2 L A

L

A



 

(0, 3) (1, 1) (-1, -1) (0, 3)

L

 (0, 3)

Juego de información imperfecta en forma extensiva equivalente Dado que es un modelo simultáneo existe otra forma de representarlo: (alternativo) N kII con 1-p

kI con p

2 L

A

1 E

2 A

1 NE

 

E

L

1 NE E

NE

E



 

1 NE



(1, 1) (0, 3) (-1, 2) (0, 3) (1, 1) (0, 3) (-1,-1) (0, 3)

La solución es equivalente. Lo comprobaremos.

Estrategias puras y conjuntos de información: La empresa 1 tiene un conjunto de información y la empresa 2 tiene dos conjuntos de información. Cada jugador dispone de tantos conjuntos de información como tipos puede adoptar (porque sabe cuál es él, pero no necesariamente el resto). Tipos:

T1={t} y T2={kI,kII}

Estrategias puras Si de cada jugador se traduce en una acción en cada conjunto de información, que aquí es el tipo de jugador: S1={S1(t)} = {E, NE} S2= {S2(kI), S2(kII)}={{A,L},{A,L}}={AA,AL,LA,LL} Por lo tanto, son estrategias condicionadas al tipo de jugador que es.

Pagos: La empresa 1 tiene unos pagos: UE1(s1,s2, t) = U 1(s1(t); s2(kI)) (kI t) + U1(s1(t); s2(kII)) (kII t)

donde (kI t) = p y (kII t) = 1- p Por su parte, la empresa 2 tiene unos pagos: UE2 (s1, s2, kI) = U2(s1(t); s2(kI)) (t kI) UE2 (s1, s2, kII) = U2(s1(t); s2(kII)) (t kII)

donde (t kII) = (t kI) = 1

Juego de información imperfecta en forma estratégica: EMP 2 AA

AL

(1,1) E

EMP 1

1

LA

(1,-1) 2p-1

(3,3)

LL (2,1)

1-2p (3,3)

(2,-1) -1

(3,3)

(3,3)

NE 0

0

0

0

Por ejemplo: 2p-1 sale de U1(E, AL)=1*p+(-1)*(1-p)=2p-1 U2(E, AL, kI)=1 y U2(E, AL, kII)= -1

.

Salvedad: La empresa 2, aunque tiene información completa, establece estrategias sobre los dos tipos de jugadores que puede ser (aunque sabe cuál es). A este respecto, dos consideraciones: 1. El jugador 1 no lo sabe y puede jugar un cierto comportamiento estratégico con ello. 2. El juego es de información imperfecta también, lo cual introduce algo de incertidumbre sobre la empresa 2.

Equilibrio de Nash Bayesiano El ENB es (si*,s -i*) tal que: t-i Ui(si*(ti), s-i*(t -i), ti, t-i) i(t -i ti)  t-i Ui(si(ti), s-i*(t -i), ti, t-i) i(t -i ti)

para todo i , si Si y ti Ti El ENB lo encontramos de la forma estratégica: en este caso la empresa 2 tiene una estrategia dominante jugando LA con pagos (2,1) ó (3,3), que simplifica las cosas. Y la empresa 1 jugará E si p1/2 y NE si p1/2. Cierta lógica, la decisión de E ó NE dependerá de si el monopolista lucha. ENB={E, LA, P1/2} y ={NE, LA, P1/2}

Práctica (1)

Modelo asimétrica:

de

Cournot

con

información

Dos empresas que producen un producto homogéneo, compiten en cantidades simultáneamente. La demanda agregada es P=aX, donde X=X1+X2 y los costes de la empresa 1 son C1=c X1, donde a y c>0, que es de dominio público. La empresa 1 sólo conoce su función de costes pero no la de la empresa 2. No obstante, conoce que los costes de 2 son: C2= cA X2 con probabilidad p C2= cB X2 con probabilidad 1-p con cA>cB ¿Cuál es el equilibrio de Nash bayesiano? Comparad con el equilibrio con información

.

Solución: Existe información asimétrica. La empresa 1 no sabe los costes de la 2. La empresa 2 conoce los de la 1. Cada jugador dispone de tantos conjuntos de información como tipos puede adoptar. La empresa 1 tiene un conjunto de información y la empresa 2 tiene dos conjuntos de información Tipos:

T1={c} y T2={cA,cB}

Estrategias puras Si de cada jugador se traduce en una acción en cada conjunto de información, que aquí es el tipo de jugador: S1={S1(c)} = {x1}  [0,a] : ESTRATEGIAS CONTÍNUAS S2= {S2(cA), S2(cB)}={{x2 (cA)},{x2 (cB)}} donde {x2 (cj)}  [0,a]

j=A,B

Por lo tanto, son estrategias condicionadas al tipo de jugador que es.

Solución: N cA con p

cB con 1-p

2

2 x2

x2

1

1 1

1

 1 1

Se trata de buscar el ENB como las estrategias o respuestas óptimas x1 x1 a cada conjunto de información (en este caso, tipo de jugador): condicionadas

 



 



Solución: La empresa 1 tiene unos pagos: E1(x1, x2, c) = 1(x1(c); x2(cA)) (cA c) + 1(x1(c); x2(cB)) (cB c)

donde (cA c) = p y (cB c) = 1- p Por su parte, la empresa 2 tiene unos pagos: E2 (x1, x2, cA) = 2(x1(c); x2(cA)) (c cA) E2 (x1, x2, cB) = 2(x(c); x2(cB)) (c cB)

donde (c cA) = (c cB) = 1

Solución: La empresa 1 tiene una mejor respuesta: Max E1(x1, x2, c) = = [(a - x1 - x2(cA) - c) x1 p] + [(a - x1 - x2(cB) - c) x1 (1-p)]

E1/x1=0  x1={[(a - x2(cA) - c) p] + [(a - x2(cB) - c) (1-p)]}/2 (MR Jugador 1 si c)

Por su parte, la empresa 2 tiene una mejor respuesta: Max E2(x1, x2, cA) = [(a - x1 - x2(cA) - cA)] x2 Max E2(x1, x2, cB) = [(a - x1 - x2(cB) - cB)] x2

E2/x2=0  x2=(a - x1 - cA)/2 E2/x2=0  x2=(a - x1 - cB)/2

(MR Jugador 2 si cA) (MR Jugador 2 si cB)

Solución: Resolviendo el sistema encontramos el ENB: x2*(cA) = (a - 2cA + c)/3 + (cA + cB)(1-p)/6 x2*(cB) = (a - 2cA + c)/3 - (cA + cB)(1-p)/6 x1*(c) =(a - 2c + p cA + (1-p) cB )/3 INTERPRETACIÓN: Con información completa: x1**(c) =(a - 2c + ci)/3 x2**(ci) = (a - 2ci+ c)/3,

donde ci el valor correcto

si ci=cA  x1*(c) < x1**(c) y x2*(cA) > x2**(cA) La empresa 2 también cambia: intenta aprovecharse del desconocimiento de la otra. Produce de más para que la otra interprete que tiene costes bajos, aún sabiendo que son altos, le interesa.

si ci=cB  x1*(c) > x1**(c) y x2*(cB) < x2**(cB) Lo contrario.

Práctica (2)

Modelo asimétrica:

de

Cournot

con

información

Dos empresas que producen un producto homogéneo, compiten en cantidades simultáneamente. La demanda agregada es P=aX, donde X=X1+X2 y los costes Ci=c Xi, donde a y c>0. La empresa 2 sólo conoce que la función de demanda es alta (a=aA) con probabilidad p o baja (a=aB) con probabilidad 1p. No obstante, la empresa 1 sabe el verdadero valor. ¿Cuál es el equilibrio de Nash bayesiano? Plantea al menos cuáles son las condiciones de equilibrio.

.

Solución: Existe información asimétrica. La empresa 1 conoce la demanda y la empresa 2 no la conoce. La empresa 1 tiene dos tipos o conjuntos de información y la empresa 2 tiene un tipo o conjunto de información: Tipos:

T1={aA, aB} y T2={a}

Solución: N aA con p

aB con 1-p

1

1 x1

x1

2

2 2

2

 2 2 x2

x2

 



 



Planteamiento: La empresa 1 tiene unos pagos: E1 (x1, x2, aA) = 1(x1(aA); x2(a)) (a aA) E1 (x1, x2, aB) = 1(x(aB); x2(a)) (a aB)

donde (a aA) = (a aB) = 1 La empresa 2 tiene unos pagos: E2(x1, x2, a) = 2(x1(aA); x2(a)) (aA a) + 2(x1(aB); x2(a)) (aA a)

donde (aA a) = p y (aB a) = 1- p

Práctica (3) Considerad un duopolio fijador de precios.

Las empresas no tiene costes de producción y se enfrentan a demandas individuales: X1= a+0,5 p2/p1 - p1 X2= b+0,5 p1 - p2

Sin embargo, los valores a y b son inciertos (solo los conocen ellos mismos pero no los contrarios): pueden ser: (a=aA) ó (a=aB) altos o bajos respectivamente y (b =bA) ó (b=bB). La distribución de probabilidades conjunta es (aA,bA)=0,5; (aA,bB)= (aB,bA)= 0,125 y (aB,bB)=0,25

.

Planteamiento: La empresa 1 maximiza con respecto a dos tipos a A y aB: Max 1(p1(aA); p2(bA); aA) (bA aA)+ 1(p1(aA); p2(bB); aA) (bB aA) Max 1(p1(aB); p2(bA); aB) (bA aB)+ 1(p1(aB); p2(bB); aB) (bB aB)

donde (bA aA) = 0,5/0,625 = 0,8 ; (bB aA) = 0,125/0,625 = 0,2 (bA aB) = 0,125/0,375 = 1/3 ; (bB aB) = 0,25/0,375 = 2/3

La empresa 2 maximiza con respecto a dos tipos b A y bB: Max 2(p1(aA); p2(bA); bA) (aA bA)+ 2(p1(aB); p2(bA); bA) (aB bA) Max 2(p1(aA); p2(bB); bB) (aA bB)+ 2(p1(aB); p2(bB); bB) (aB bB)

donde (aA bA) = 0,5/0,625 = 0,8 ; (aB bA) = 0,125/0,625 = 0,2 (aA bB) = 0,125/0,375= 1/3; (aB bB) = 0,25/0,375=2/3

Práctica (4) Calcula el equilibrio de Nash bayesiano de

este juego de los presos información incompleta: N

reformulado

con



1-p

p

1 N

C

2 C

1

2 N

 

C

N

C

2

2 N C

N

C



 

N



(-5, -5) (-1,-10) (-10,-1)(0, -2) (-5, -11)(-1,-10)(-10,-7)(0, -2)

.

Práctica (5) Subasta al segundo precio. Suponga dos jugadores y cada jugador conoce

su valoración de un objeto vi , pero no la del otro. Se subasta y gana el que puje más alto y paga el precio del segundo. En caso de empate se lo reparten a medias. Demuestra que el ENB es pujar la valoración

correcta.

.

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Rafael Salas mayo de 2004