Informe 6 - Ondas Transversales Y Longitudinales Final 3le32

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA AGRARIA DE COLOMBIA www.uniagraria.edu.co

INFORME VI – ONDAS TRANSVERSALES Y LONGITUDINALES Omar García, Nelson David Rodríguez Morales, Wilmer Romero.a Juan Pablo Salcedo b a b

Estudiantes de Ingeniería Civil y Mecatrónica Docente Física, Dpto Ciencias Básicas.

Resumen: Keywords: Densidad Lineal. Longitud de Ondas. Ondas Transversales. Ondas Longitudinales. Ondas Sonoras. Fractales. Frecuencia. Frecuencias y Longitud de Onda como Función de la Velocidad. Generador De Frecuencias Generador De Ondas Mecánicas. Grafica de Lissajous.

Probablemente todos hemos visto diversos tipos de ondas pero no se experimentado con ellas. Con esta experiencia se comenzara un estudio detallado de las ondas. En física, una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal o el vacío. La propiedad del medio en la que se observa la particularidad se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo. Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas. Llamadas sonido, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias, por ejemplo, una cuerda que ondula con diferente frecuencia. Si un extremo de la cuerda se somete a vibraciones forzadas periódicas, se propagarán ondas a lo largo de la cuerda con velocidad v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda, y µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda tensada. La longitud de onda, λ , de la onda propagada está relacionada con la frecuencia, f , de la fuerza de excitación y la velocidad de propagación, por λ = v / f . Las ondas reflejadas en el extremo fijo interferirán con las ondas incidentes, y para ciertas frecuencias de excitación surge un patrón estable, caracterizado por puntos fijos de interferencia destructiva (nodos) y puntos de interferencia constructiva (anti-nodos)

1. OBJETIVOS •

Objetivo General:

•

Definir, las ondas transversales y las longitudinales, especificando sus características principales y diferenciándolas entre sí para tener un mejor concepto de los tipos de ondulaciones en un armónico.

•

Objetivos Específicos:

•

Observar según las Frecuencias las Imágenes Que se Forman de Lissajouss, así como los fractales como expresión de las ondas longitudinales o sonoras presentes en un sistema de generador de frecuencias y ondas mecánicas.

•

Determinar, la velocidad de propagación de la onda por medio de ecuaciones propias de las ondas transversales y estacionarias y su propagación en los medios, así como la densidad lineal de la cuerda la cual es constante para todos los objetos.

•

Graficar la relación entre Longitud de Onda y Frecuencia y entre Tensión Y Velocidad para establecer una concepción acerca de los movimientos armónicos, así como el cálculo de errores entre dos formas diferentes de identificar la velocidad de propagación en las ondas transversales.

2. ASPECTOS TEÓRICOS:

ONDAS TRANSVERSALES “Una onda transversal es una onda en la cual, el movimiento de oscilación de las partículas que conforman el medio es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Si una onda transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van en dirección arriba y abajo que están en el plano y-z. Manteniendo

una

traza

comparamos

la

magnitud

del

desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de

Tetrahedron

2

la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibración. Sin embargo para conocer como cambia el desplazamiento con el tiempo resulta más práctico observar otra gráfica que represente

Las variaciones de presión, humedad o temperatura del medio, producen el desplazamiento de las moléculas que lo forman. Cada molécula transmite la vibración a las que se encuentren en su vecindad, provocando un movimiento en cadena. Esa propagación del movimiento de las moléculas del medio, producen en el oído humano una sensación descrita como sonido.” [1.]

el movimiento de un punto. Los puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y están separados por una longitud de onda. La velocidad con que se propaga la fase es el cociente entre esa distancia y el tiempo que tarda en llegar. Cualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibración están

Modo de propagación “El sonido está formado por ondas mecánicas elásticas longitudinales u ondas de compresión en un medio. Eso significa que:

desfasados y si la diferencia de fase es 90º diremos que están en oposición. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el registro temporal. Este tipo de onda transversal igualmente podría corresponder

a

las

vibraciones

de

los campos

eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas. Una onda electromagnética que puede propagarse en el espacio vacío no produce desplazamientos puntuales de masa. Son ondas transversales cuando una onda por el nodo se junta con la cresta y crea una gran vibración.” [1.] ONDAS LONGITUDINALES “Una onda longitudinal es una onda en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión u ondas de compresión. Algunos ejemplos de ondas longitudinales son el sonido y

Para propagarse precisan de un medio material (aire, agua, cuerpo sólido) que transmita la perturbación (viaja más rápido en los sólidos, luego en los líquidos aún más lento en el aire, y en el vacío no se propaga). Es el propio medio el que produce y propicia la propagación de estas ondas con su compresión y expansión. Para que pueda comprimirse y expandirse es imprescindible que éste sea un medio elástico, ya que un cuerpo totalmente rígido no permite que las vibraciones se transmitan. Así pues, sin medio elástico no habría sonido, ya que las ondas sonoras no se propagan en el vacío. Además, los fluidos sólo pueden transmitir movimientos ondulatorios en que la vibración de las partículas se da en dirección paralela a la velocidad de propagación a lo largo de la dirección de propagación. Así los gradientes de presión que acompañan a la propagación de una onda sonora se producen en la misma dirección de propagación de la onda, siendo por tanto éstas un tipo de ondas longitudinales (en los sólidos también pueden propagarse ondas elásticas transversales). Propagación en medios

las ondas sísmicas de tipo P generadas en un terremoto. La figura ilustra el caso de una onda sonora. Si imaginamos un foco puntual generador del sonido, los frentes de onda se desplazan alejándose del foco, transmitiendo el sonido a través del medio de propagación, por ejemplo aire. Por otro lado, cada partícula de un frente de onda cualquiera

Las ondas sonoras se desplazan también en tres dimensiones y sus frentes de onda en medios isótropos son esferas concéntricas que salen desde el foco de la perturbación en todas las direcciones. Por esto son ondas esféricas. Los cambios de presión p2 que tienen lugar al paso de una onda sonora tridimensional de frecuencia ν y longitud de onda λ en un medio isótropo y en reposo vienen dados por la ecuación diferencial:

oscila en dirección de la propagación, esto es, inicialmente es empujada en la gación por efecto del incremento de presión provocado por el foco, retornando a su posición anterior por efecto de la disminución de presión provocada por su desplazamiento. De este modo, las consecutivas capas de aire (frentes) se van empujando unas a otras transmitiendo el sonido.”

[1.]

Donde r es la distancia al centro emisor de la onda, y c=ν•λ es la velocidad de propagación de la onda. La solución de la ecuación, a grandes distancias de la fuente emisora se puede escribir como:

ONDAS SONORAS “Una onda sonora es una onda longitudinal que transmite lo que se asocia con sonido. Si se propaga en un medio elástico y continuo genera una variación local de presión o densidad, que se transmite en forma de onda esférica periódica o cuasiperiódica. Mecánicamente las ondas sonoras son un tipo de onda elástica.

Donde es respectivamente la presión de inicial del fluido y la sobrepresión máxima que ocasiona el paso de la onda. En el caso de las ondas sonoras ordinarias, casi siempre son la superposición de ondas de diferentes frecuencias y longitudes de onda, y forman pulsos de duración finita. Para estas ondas

sonoras la velocidad de fase no coincide con la velocidad de grupo o velocidad de propagación del pulso. La velocidad de fase es diferente para cada frecuencia y depende al igual que antes de la relación c=ν•λ. El hecho de que la velocidad de fase sea diferente para cada frecuencia, es responsable de la distorsión del sonido a grandes distancias. GENERADOR DE SEÑALES

donde sería la densidad lineal [1.] GRAFICA DE LISSAJOUS En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:

Un generador de señales, de funciones o de formas de onda es un dispositivo electrónico de laboratorio que genera patrones de señales periódicas o no periódicas tanto analógicas como digitales. Se emplea normalmente en el diseño, prueba y reparación de dispositivos electrónicos; aunque también puede tener usos artísticos.

Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous. En mecánica clásica, la trayectoria de un movimiento armónico complejo bidimensional es una curva de Lissajous. Propiedades

Hay diferentes tipos de generadores de señales según el propósito y aplicación que corresponderá con el precio. Tradicionalmente los generadores de señales eran dispositivos estáticos apenas configurables, pero actualmente permiten la conexión y control desde un PC. Con lo que pueden ser controlados mediante software hecho a medida según la aplicación, aumentando la flexibilidad.” [1.] FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA EN RELACION CON LA VELOCIDAD La longitud de una onda es el período espacial o la distancia que hay de pulso a pulso.

La apariencia de la figura es muy sensible a la relación , esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, δ = π/2). Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables. En el caso de que el cociente de frecuencia no sea un racional la curva además de no ser cerrada es un conjunto denso sobre un rectángulo, lo cual significa que la curva pasa arbitrariamente cerca de cualquier punto de dicho rectángulo. En el caso de que el cociente sí sea un número racional, entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que

Relación con la frecuencia Si la velocidad de propagación es constante, la longitud de onda λ es inversamente proporcional a la frecuencia f. Una longitud de onda más larga corresponde a una frecuencia más baja, mientras que una longitud de onda más corta corresponde a una frecuencia más alta:

Donde λ es la longitud de onda, v es su velocidad de propagación, y f es la frecuencia. Para la luz y otras ondas electromagnéticas que viajan en el vacío, la velocidad v vale 299.792.458 m/s y es la velocidad de la luz c, constante. Para las ondas de sonido que se desplazan por el aire, v es aproximadamente 343 m/s y depende de las condiciones ambientales. [1.]

DENSIDAD LINEAL La densidad lineal de masa es un concepto que tiene sentido únicamente para cuerpos unidimensionales, en principio. Puede también hablarse de densidad lineal cuando el cuerpo puede aproximarse a algo unidimensional, como es el caso de, por ejemplo, un alambre. En este caso, si suponemos una densidad de masa , y un radio del alambre , tendremos:

y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracción irreducible). La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous. [1.] FRACTAL Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. 1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

[1.]

Armónicos en Las Ondas: “Las ondas confinadas en una región del espacio (como las ondas en las cuerdas de una guitarra, las ondas sonoras en el tubo de un órgano o las ondas longitudinales en un muelle) se reflejan en los extremos y las ondas incidentes y reflejadas coinciden en esa misma región. Por el principio de superposición dichas ondas se

Tetrahedron

4

combinan sumándose. Para una cuerda, muelle o tubo determinados existen ciertas frecuencias en que la combinación da como resultado lo que se denomina una onda estacionaria. En esta situación los elementos de la cuerda o muelle vibran alrededor de su posición de equilibrio, pero la onda da la sensación de no desplazarse. Sus aplicaciones son importantes por ejemplo en el diseño de instrumentos musicales y en ramas de la ingeniería como la construcción de puentes y edificios. Si se fijan los extremos de una cuerda y se hace vibrar con determinadas frecuencias se obtienen ondas estacionarias como las que se muestran en la figura. Estas frecuencias se denominan frecuencias de resonancia del sistema. La más baja recibe el nombre de frecuencia fundamental y el esquema que se produce armónico fundamental o primer armónico. La segunda frecuencia a la que se produce onda estacionaria es justamente el doble de la primera y el patrón originado se llama segundo armónico. Y así sucesivamente. Para cada armónico existen puntos del muelle que no se mueven. Se llaman nodos. Y los puntos que tienen máxima vibración antinodos o vientres. Como los extremos del muelle están fijos siempre son nodos. El primer armónico tiene un antinodo, el segundo dos y así progresivamente.” [4.]

Ecuación de onda “Una onda puede definirse, de forma matemática, como una solución de la ecuación de onda, que es una ecuación diferencial concreta. Si el análisis de una magnitud de un sistema físico conduce a una ecuación diferencial de la misma forma que la ecuación de onda, se puede concluir que la solución para dicha magnitud es un comportamiento ondulatorio, aunque no se trate de un sistema mecánico y no haya verdadero movimiento de partículas (esto es lo que ocurre, por ejemplo, con las ondas electromagnéticas). 3.1 En una dimensión Si tenemos una magnitud u que depende de una coordenada x y del tiempo, esta magnitud presenta comportamiento ondulatorio si se satisface la ecuación diferencial en derivadas parciales

Siendo v la velocidad de la onda. Ondas en una cuerda tensa Por ejemplo, en el caso de una cuerda tensa puede demostrarse

que

los

movimientos

transversales

verifican la ecuación

siendo μ la densidad lineal de masa y FT la tensión de la cuerda. Reescribiendo esta ecuación como

vemos que el movimiento de la cuerda tensa es ondulatorio, siendo su velocidad (2.) V =

[5.]

T

µ

3. ASPECTOS EXPERIMENTALES 1.1. Materiales

[4.]

3.1.1 • 1.2. Procedimientos:

Dibujo 1 – Armonicos de una Onda Longitudinal

3.2.1.

”

4. RESULTADOS: “Estas son las ecuaciones usadas para hallar los valores de Movimientos de Armónicos Simples, aplicados a las formulas de ondas longitudinales y transversales, aplicadas a los generadores de frecuencia y de Ondas Mecánicas: Velocidad de Ondas Transversales en función de la Longitud de Onda: (1.) V = λ * f Donde λ =Longitud de Onda. f = Frecuencia. Velocidades de Ondas Transversales en Cuerdas= (2.) V =

T

T

µ

-

72 Hz:

-

317 Hz:

-

960 Hz:

-

69 Hz:

, Donde

=Tensión

µ = Densidad Lineal

De donde,

µ=

W , Siendo: L

µ = Densidad Lineal. W = La Masa.

L = La Longitud 1.3. Ondas Longitudinales según Generador De Frecuencias de Ondas Mecánicas: Las Ondas son producidas por un parlante conectado a una plataforma o membrana especifica la cual forma unas especies de fractales vibrando a frecuencia variable y con una Tensión Constante, produciendo de esta forma las siguientes figuras de Lissajous. Según la Frecuencia para cada membrana, en la que se procuro ir aumentando paulatinamente la frecuencia, se obtuvieron las siguientes gráficas: Frecuencia: - 69Hz

-

179 Hz

Tetrahedron

6

N° De Husos

Frecuencia (Hertz)

Longitud de Onda (λ) (m)

Velocidad (m/seg)

1

17

0,58

9,86

1,5

22

0,38666

8,50652

2

32

0,29

9,28

2,5

40

0,232

9,28

3

47

0,19333

9,08651

3,5

54

0,1657

8,9478

Tabla 1. - Datos Generador de Frecuencias con Resorte.

-

94Hz:

-

324 Hz: Gráfica 1. - Generador de Frecuencias con Resorte. Frecuencia Vs. Longitud de Onda.

-

3. G e n e r ad o r d e F r e c u e n c i a s co n O s c i l a d o r (M as a s uj e t a a un a P o l e a) : 4. 1. 2 .1 . S e g ún E c u a c i ón (1 .) d e V e lo c i d a d : P ar a e l c a s o d e l a c u e rd a a c c i o n a d a co m o O nd a T r an s v e r s a l po r un G en e r a do r d e F r e cu e n c i a s c on O s c i l a d o r , e s de c i r l a Ma s a e s t á su j e t a a u na P o l e a , s e ap l i c a l a E cu a c i ó n ( 1. ) , de Ve l o c i d a d para O nd a s Tr a n s v er s a l e s y s e o b t i e n e : Masa (Kg)

1705 Hz:

0,2

Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) Frecuencia Longitud de Velocidad N° De Husos (Hertz) Onda (λ) (m) (m/seg) 0,5

6,5

2

13

1

39

1

39

1,5

57

0,66666

37,99962

2

78

0,5

39

2,5

97

0,4

38,8

3 117 0,33333 38,99961 Tabla 2. - Datos Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) - Ecuación (1.) de Velocidad.

1.4. Ondas Transversales: 2 . G e n e r a do r de Frecuencias con R e s o r t e: P a r a e l c a s o de l a cu e r d a a c c i o n a d a c o mo On d a T r a n sv e r s a l po r un G en e r a do r d e F r e cu e n c i a y co n un R e s or t e en e l ot r o e x t r e m o, s e a p l i c a l a E c u a c i ó n (1 .) , p a r a O nd a s T r an s v e r s a l e s y s e obtiene: Longitud Del Resorte (m)

0,58 m Generador Con Resorte

4.3. Errores: En cuanto a la teoría de errores solo se izo respecto a los dos resultados del Generador de Frecuencias con Oscilador (Masa sujeta a una Polea) de acuerdo a las Ecuaciones (1.) y (2.), para ambas ecuaciones de Velocidad, comparándolas, y tomando como Valor Verdadero el que se aplica según la longitud de Onda y La Frecuencia en varios Movimientos Armónicos Simples. Se obtuvieron los siguientes tipos de errores: - Error Absoluto (E): Es la diferencia entre el valor verdadero (V) y el valor medido (Vm). Pero se sabe que por más exacto que sea el instrumento, por más experimentados que haga el operador, y aún condicionando otras circunstancias, el valor verdadero de una magnitud física no existe, Por lo que el error absoluto no pasa de ser una definición teórica que podemos estimar con el error de apreciación:

Gráfica 2. - Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) Frecuencia Vs. Longitud de Onda.

4.2.2.1. Según Ecuación (2.) de Velocidad: Para el caso de la cuerda accionada como Onda Transversal por un Generador de Frecuencias con Oscilador, es decir la Masa está sujeta a una Polea, se aplica la Ecuación (2.), de Velocidad para Ondas Transversales y se obtiene: Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) Masa Tensión Frecuencia Longitud de Velocidad 1 (Kg) (N) (Hertz) Onda (λ) (m) (m/seg)

(32.) EA = Vv − Vm - Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor medido.

ER =

(33.) - Error Relativo Porcentual: Se obtiene multiplicando el error relativo por 100% para que de en porcentajes de error. (34.)

ERP = ER *100%

Velocidad (T/u)^(1/2)

Velocidad (f*λ)

Error Absoluto

Error Relativo

Error Relativo Porcentual

14,22004219

17

2,779957806

16,353%

16,82538083

19

2,174619172

20,11017653

24

3,889823472

0,16352693 0,11445364 1 0,16207597 8 0,08778386 8 0,27076706 7 0,22446387 8

0,05

0,4908

17

1

14,22004219

0,07

0,68712

19

1

16,82538083

0,1

0,9816

24

1

20,11017653

24,62983557

27

2,370164434

0,15

1,4724

27

1

24,62983557

28,44008439

39

10,55991561

0,2

1,9632

39

1

28,44008439

0,25

2,454

41

1

31,79698099

31,79698099

41

9,203019011

Densidad Lineal (Kg/m) 0,002427184 Tabla 3. - Datos Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea). - Ecuación (2.) de Velocidad.

EA Vm

11,445% 16,208% 8,778% 27,077% 22,446%

Tabla 6. Datos de Errores del Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea)

6. CONCLUSIONES: - Las ondas se clasifican principalmente según su dirección de propagación, en ondas transversales y en ondas longitudinales. Una onda longitudinal es aquella en la que su dirección de propagación es paralela al medio, un modelo y por lo cual su nombre genérico es el de ondas sonoras, es el sonido debido a que sus características son prácticamente idénticas a las del sonido ordinario en el aire. Contrario a las ondas que se producen en una cuerda tensa, las cuales son ondas transversales, ya que los puntos de la cuerda oscilan en una dirección perpendicular a la de propagación, que es la dirección de la cuerda en equilibrio. - Las Ondas son producidas por un parlante conectado a una plataforma o membrana especifica la cual forma unas especies de fractales vibrando a frecuencia variable y con una Tensión Constante, produciendo de esta forma las siguientes figuras de Lissajous.

Gráfica 3. - Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) Tensión Vs. Velocidad.

- Como se pudo verificar en las graficas la relación entre la Frecuencia medida en Hertz y La Longitud de Onda medida en

8

Tetrahedron

Metros es inversamente proporcional y está en relación potencial, tanto para el Generador de Frecuencias con Resorte como para Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) aplicando la ecuación (1.) de velocidad, mientras la relación Tensión medida en Néwtones y velocidad medida en m/seg es directamente proporcional para el caso de Generador de Frecuencia Con Oscilador (Masa Sujeta a una Polea) aplicando la ecuación (2.) de velocidad. - La velocidad de propagación de una onda en una cuerda depende de la tensión a la que está sometida y de su densidad lineal de masa, µ. Utilizando la ecuación correspondiente y sabiendo que para la cuerda empleada µ=0.00242 Kg/m, se calculo con la ecuación (3.) las velocidades obtenidas, por medio de la tensión de la cuerda para cada longitud en unidades del S.I. y dicha densidad lineal dada. - Según las Tablas 4. O de Errores, el error en el N° de Oscilaciones fue entre el 10 y el 20 % aproximadamente, lo cual debe producir valores muy irreales bien sea por error de la toma de datos o porque las ecuaciones no necesariamente se pueden correlacionar siempre. 5. BIBLIOGRAFÍA:

[1.] http://www.wikipedia.es [2.] http://ezioe.blogspot.com/2012/03/las-ondaslongitudinales-y.html [3.] http://laplace.us.es/wiki/index.php/Movimiento_ondulatori o [4.] http://212.128.130.23/eduCommons/ensenanzastecnicas/fisicai/contenidos/practicas_laboratorio/3_estacionarias.pdf [5.] http://srv2.fis.puc.cl/mediawiki/index.php/Ondas_Estacion arias_en_1-D_(Fiz0312) [6.] TEXTO DE PRACTICAS DE LABORATORIO. Esp. JAIME MALQUI CABRERA MEDINA. PRACTICAS DE FISICA DE ONDAS - 2012 NEIVA – COLOMBIA.