Guia Profesor Matematica 3º Medio 5h5c72

< 2 2 a+b b+c < 2 2

1  6.  , ∞  4  7.  5 , 2 ∪ ]2, 3] 3   

/ :2

8. [ −2, 0] ∪ [3,•[ 9. ∆ 10. ∆

b. ( a − 2b ) ≥ 0 2

a2 − 4ab + 4b2 ≥0

/ −4ab

a2 + 4b2 ≥4ab c. No, solo es cierto si n £ 1 + 2

(

III. 1. [0 ; 9, 5[

)

2. a. Timoteo tiene más de 22 años, Clodoveo tiene a lo más 22 años b. Los que tienen a lo más 22 años

3. Al menos 141 puntos

4. Entre 177393 y 186096 km2

5. Hasta 61 caballos

IV. 1. a. [do,fa ]: do, re, mi, fa [ mi,si]: mi, fa, sol, la, si b. do, re, mi, fa, sol, la, si do, re, mi, fa sol, la

−8   2. por ejemplo:  −10,  y [0,•[ 5   3. ]−10 ; −2, 5[ 4. ]−1, 5 ;3, 5[ 5. ]5, 6] ∪ [9, 10[

6. ∆, pues todos los elementos del 1º intervalo están contenidos en el 2º. 7. ]−• , −4[ ∪ ]−1, −3[ ∪ ]5, •[ 8. ]−• , −2] ∪ [ −1, 5 ; 0, 5] ∪ [6, 5 ; •[ 9.

Nivel

Colesterol

Deseable Límite alto Alto

10. a. [17, 40] b. [ mayo, agosto]

200 ≤ c ≤ 239

c. [abril, diciembre] V. 1. x ≤ 3 2. x < 4 3. x > 6

146

4. ]−•,0[ 5. ]−•, −3] ∪ ]0, 12]

U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 146

c < 200

c ≥ 240

3 4 2. Más de 75 y menos de 85 3. Entre 39 y 42

VI. 1. x ≥ −

VII. 1. c

3. a

5. c

7. a

9. b

2. a

4. c

6. b

8. d

10. b

Evaluación 2 I. 1. Una expresión matemática que indica que dos cantidades son distintas. 2. Conserva 3. Es un subconjunto de números reales. 4. ( n,• ) 5. Menores que –6,5, unidos a aquellos mayores o iguales a 16,5 6. Inecuación 12 13 12 13 7. x − 3,7 < − ; x − 3,7 > . Unir 5 17 5 17 8. –4 9. No tiene solución. 10. x > 42

x 1 − <0 2 4 II. 1. a. Precio del celular< $135990.

b. F nuclear fuerte > F elecromagnética > F nuclear débil > F gravitacional c. Nº estados de Brasil sin luz < 23

d. –1,20 < IPC < 1,00.

2. a. y − a > − b > − c

b. Si 0 < p < 1 y 1 < q , entonces, p < q

1 1
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IV. 1. En ( 2, 5 ;3, 3) o (1, 5 ;3, 3) 2. Si el universo es [ −2, 3] y como intervalo abierto a ]−1, 1[ , entonces su complemento es cerrado. 3. Como mínimo 71 años y máximo 79.

/ ⋅b

b < ab < b como, 1 < b y b < ab entonces, 1 < ab 2

4. [0, 4] 5. Se obtiene el universo 6. El intervalo (0,3), pero formado solo por racionales. 7. [ −3, 5 ; 8] 8. [ −4; −3, 5[ 9. Con las aproximaciones correspondientes, 3, 8 ≤ promedio ≤ 4, 0

d. ( 2 n − 1) ( n + 1) ≥ 0

2 n2 + 2 n − n − 1 ≥ 0 2 n2 + n − 1 ≥ 0 2 n2 + n ≥ 1

2

1   e.  3x −  ≥ 0 3x   1 1 9 x 2 − 2 ⋅ 3x ⋅ + 2 ≥ 0 3x 9 x 1 9x 2 − 2 + 2 ≥ 0 9x 1 9x 2 + 2 ≥ 2 9x

10.

Magnitud en Efectos del terremoto Escala Richter ]0 ;3,5[

[3,5 ;5,4]

[5,5 ;6,0 ]

f. Es demostración x 1

2+

1

x

3 4 5

10 16 25

100 900

10000

1000000

10000000

A medida que crece x, el valor de 2 + tiende a 2.

III. 1. Menos de 26 2. 3. 4. 5.

[6,1 ;6,9]

>2

2

10000000000

UNID AD 3

c. 1 < a < b

3,00000 2,70711 2,57735 2,50000 2,44721 2,31623 2,25000 2,20000 2,10000 2,03333 2,01000 2,00100 2,00032 2,00001

1

x

En 1963, menos de 150; En 1964, más de 450. 10 + x ≥ 15. Al menos 5 apoderados más. Más de 9 pero menos de 14. a. Más de veinte, pero menos de treinta. b. De uno a nueve posibles.

[7,0 ;7,9] [8,0 ;10]

Generalmente, la gente no lo siente, pero queda registrado. A menudo se siente, pero solo causa daños menores. Ocasiona daños ligeros a edificios. Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas. Terremoto mayor. Causa de graves daños. Gran terremoto. Destrucción total en comunidades cercanas.

5 V. 1.  −•, −  3   2  2.  − ,•   5  4  3.  −•,  7  4. ∆ 5. ( −• , −3) ∪ ( 2, • )  1 6. ]−• , 0[ ∪ 0,  ∪ ]1, •[  3 1 2 2 7 7.  ,  ∪  ,   27 9   9 9      8. [0, 3] ∪ [7, •[

9. [2, 5;•[ 10. ( −•, −7 ) ∪ ( −3, −1 )

VI. 1. x + 41 > 2012 . En 1972. 2. a. Flaco: menos de $850, el otro: menos de $750 b. Como máximo, $1 590

VII. 1. b 2. a

3. a 4. d

5. b 6. c

7. e 8. d

9. c 10. d

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Bibliografía y detalle de links de la unidad Conocimientos previos Puede consultar los siguientes links de profundización referidos a este tema:

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm. Aquí hay un desarrollo de Teoría de Conjuntos, ejercicios con respuestas y un test de alternativas a modo de autoevaluación. La página es un aula virtual de Matemática de INITEC- UNI. El Instituto Nacional de Investigación y Capacitación de Telecomunicaciones de Universidad Nacional de Ingeniería. Perú

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/ conjuntos.html Muestra, la teoría, desarrollo de conceptos y Ejercicios. Página de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia, Colombia.

¿Tendrán propiedades las desigualdades? Si usted quiere profundizar en este tema, lo puede hacer en el siguiente sitio Web:

http://www.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/ presentacion_semana/Semana02_print.pdf Página que pertenece al departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile. Presenta fichas, además, de parte de la presente unidad, en un documento pdf, descargable e imprimible.

¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades?

Cauchy-Schwarz). Pertenece a la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas. Se propone además: http://valle.fciencias.unam. mx/~rocio/desigualdades1/desig4.html en lugar de alguna de las anteriores, por ser más sencilla

¿Para qué sirven los intervalos? Se sugiere utilizar fuentes como el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Demre, estadísticas del Ministerio de Salud, etc. Algunos de estos sitios son: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/home.php. Este portal presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplos demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links: internos, sugeridos y externos. http://www.demre.cl/estadisticas.htm Aquí hay datos tabulados sobre resultados de PSU en varios aspectos. Por ejemplo, tipo de establecimiento, sexo, año de promoción, etc. En algunos casos se acompaña con explicaciones. Presenta documentos Excel, pdf, descargables e imprimibles, etc. DEMRE. Universidad de Chile. http:// deis.minsal.cl/index.asp. Portal que presenta a datos tabulados y gráficos de Estadística e Información de Salud a nivel nacional. Departamento de Estadísticas e Información de Salud. Ministerio de Salud.

En Actividades de refuerzo

Otras demostraciones en las que se aplican las propiedades de las desigualdades en demostraciones de proposiciones matemáticas las puede encontrar en:

En ejercicio 9 se cita como fuente http://carolareznor. iespana.es/3.html, página dedicada a la descripción,

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/web-topologia/ desigualdades.htm

En ejercicio 10 se cita como fuente http://sitios.cl/. Finance. Portal de variados links como Bancos, Organismos Gubernamentales, Indicadores, Información Económica, etc.

En esta dirección puede encontrar algunas demostraciones como la desigualdad triangular. Universidad de los Andes, Venezuela. En http://www.acm.org.ve/desigual.pdf se proporciona un documento en formato pdf descargable e imprimible, donde se demuestran algunas desigualdades conocidas. Por ejemplo: la establecida entre media aritmética y la media geométrica, como otras de mayor complejidad. (Desigualdad de

tipos, cuidado de la diabetes con links a sitios de interés como: Fundación de Diabetes Juvenil de Chile, etc.

En Información Complementaria para el docente Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sisinec1.htm

148 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 148

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Usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo:

Evaluación 1

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573

Ejercicio 9: El médico del consultorio donde.......... Tabula la información mencionada acerca del colesterol total.

http://www.geosalud.com/Nutricion/colesterol.htm Dedicado a la salud de Centroamérica y los países del Caribe de habla hispana. Presenta algunas tablas de interés con y para el uso de desigualdades.

UNID AD 3

Que es un portal de la educación donde Ud puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la Coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemática, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo.

IV. Resuelve los siguientes ejercicios

Bibliografía temática • Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed.

• Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed. • Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed.

• Mercado, C. (1981). Test Matemática: problemas para PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago: Editorial Universitaria. 16ª edición.

• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed.

• Riera, G. (1998). Matemática aplicada, texto para profesores 2º medio Mineduc. Santiago: Editorial Zig –Zag.

• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.

Sitios Web sugeridos Otros sitios que puedes visitar en relación con esta unidad. • Vuelva a repasar y ejercitar ecuaciones e inecuaciones en el siguiente enlace:

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/ cap2.html. Se recuerdan conceptos e incluye ejercicios resueltos. El material es de la Universidad Interamericana de Puerto Rico. • Este link lo llevará a una página de Educarchile que contiene una selección de links a sitios web que abordan el tema de esta unidad. La mayoría incluye ejercicios resueltos y/o propuestos.

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?&ID=136020&q=inecuaciones&site =educarchile • Para repasar los temas de Intervalos e inecuaciones lineales, le recomendamos el siguiente sitio web, que contiene una ficha temática:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=133249

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Unidad 4

Algo más sobre triángulos rectángulos

Presentación de la Unidad El desarrollo de la geometría ha sido parte fundamental del progreso del hombre y de la humanidad. No es posible entender lo que nos rodea sin mirar a través del prisma de la geometría. Sin duda, así también lo entendieron los grandes matemáticos en la Antigüedad. La geometría ha estado asociada a la perfección, la belleza, las artes, etc. En esta unidad se abordarán dos temas de singular importancia: el teorema de Euclides y el teorema de Fermat, ellos en relación al triángulo rectángulo, y el teorema de Pitágoras y los tríos pitagóricos. El estudio de esta unidad se realizará desde el desarrollo formal de los conceptos geométricos y la aplicación a la vida cotidiana de los alumnos y alumnas. Es fundamental mostrar a los estudiantes la importancia del trabajo geométrico de los matemáticos a través de la historia. La introducción pretende dar una idea de este hecho y poder situar a los alumnos y alumnas en el contexto en el que fueron trabajados los conceptos que estudiará. Recuerde que contextualizar los contenidos en el momento en el que se trabajaron ayuda a sus estudiantes a comprender mejor los procesos lógicos empleados. Puede revisar las siguientes páginas web para más información: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/rep030402massa.pdf http://www.publicatuslibros.com/file/Biblioteca/Libros/Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_ Historia_y_Didactica_de__la_Trigonometria.pdf

La revisión de conocimientos previos es fundamental al momento de abordar la unidad. Debido a los temas tratados en ella, se abordará como conocimiento previo el concepto de razón. Si bien, este término se ha trabajado en años anteriores, no se vuelve a retomar desde I medio. Es importante que los alumnos y alumnas tengan claridad en algunos aspectos de las razones como: - El valor de una razón no necesariamente representa las cantidades reales involucradas en una situación particular. - Una razón no depende de las unidades en las que las cantidades involucradas son medidas. Esto es de suma importancia para establecer el valor de las razones trigonométricas. Se sugiere también que, según el manejo que sus estudiantes tengan en este tema, se aborde también el concepto de proporción.

150 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 150

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El mapa conceptual de los conceptos abordados en esta unidad es el siguiente:

TEOREMAS: • Teorema de Pitágoras • Teorema de Euclides

TRIGONOMETRÍA: • Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo

APLICACIONES: • Resolución de problemas de la vida diaria • Tríos pitagóricos, teorema de Fermat y otros

UNID AD 4

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claros los objetivos y la planificación de ella. Presentamos aquí los objetivos que deba alcanzar los alumnos a través de la unidad y una propuesta para su planificación.

Objetivos fundamentales de la unidad • Conocer y utilizar conceptos matemáticos de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, de verificación o refutación de conjeturas. • Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas y en el análisis de situaciones concretas. • Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. • Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

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2/11/11 17:20:39

Planificación de la Unidad Unidad 4

“Algo más sobre triángulos rectángulos” CMO

Tiempo de duración

Aprendizajes esperados

24 horas pedagógicas.

Indicadores de evaluación

Teorema de Euclides.

Reconocer el teorema de Euclides como relaciones que se establecen en un triángulo rectángulo a partir de las semejanzas de triángulos existentes.

Reconoce cuándo se debe ocupar el teorema de Euclides. Aplica correctamente el teorema de Euclides en la resolución de ejercicios y problemas.

Teorema de Pitágoras.

Demostrar el teorema de Pitágoras a partir del teorema de Euclides Utilizar correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios.

Demuestra el teorema de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. Usa correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios y problemas.

Tríos pitagóricos.

Distinguir tríos de números que cumplan la condición de ser tríos pitagóricos. Generar tríos pitagóricos utilizando fórmulas.

Identifica tríos de números pitagóricos. Genera tríos de números pitagóricos utilizando las fórmulas dadas.

Teorema de Fermat.

Reconocer el teorema de Fermat y mostrar su validez.

Reconoce el teorema de Fermat. Muestra el teorema de Fermat y lo relaciona con los tríos pitagóricos.

Razones trigonométricas seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo.

Definir razones trigonométricas. Calcular las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º.

Definen las razones trigonométricas seno, coseno, tangente para ángulos de 30º, 45º y 60º.

Aplicación de las razones trigonométricas a problemas de medición de la vida diaria.

Aplicar las razones trigonométricas a la resolución de ejercicios de cálculo de medidas y problemas de planteo.

Aplican correctamente las razones trigonométricas en el cálculo de distancias y problemas.

Razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente.

Definir las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente a partir de las definidas anteriormente.

Definen las razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente. Calculan valores para secante, cosecante y cotangente de ángulos notables.

Identidades trigonométricas.

Definir el concepto de identidades trigonométricas. Demostrar identidades trigonométricas.

Establecen relaciones trigonométricas fundamentales. Demuestran razones trigonométricas simples.

Funciones trigonométricas.

Establecer las relaciones de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de un ángulo como una función. Determinar, gráficamente, dominio y recorrido de ellas.

Extienden el concepto de razón trigonométrica al concepto de función trigonométrica. Determinan, utilizando los gráficos correspondientes, el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas.

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Desarrollo de la Unidad Como ya se ha abordado con anterioridad, se debe contextualizar la unidad, generando la necesidad de abordar los temas que se tratarán. Algunas sugerencias de estos contextos son las siguientes: • Se está construyendo un edificio. En la entrada se necesita hacer una rampa para la entrada de personas discapacitadas, para la cual se cuenta con solo 1 metro de vereda. ¿Qué inclinación tendrá la rampa?, ¿de qué depende esta inclinación?, ¿será de fácil ?, ¿existe alguna normativa sobre las rampas de para discapacitados? Note que es conveniente recalcar que debe establecerse aquí una relación entre lados y ángulos en un triángulo, la que nunca se ha establecido antes. Las relaciones vistas para triángulos en años anteriores hacen alusión solo a ángulos o solo a lados. • Al mirar el teorema de Pitágoras de manera algebraica, es decir, como la relación que se puede establecer entre un trío de números, aparece la pregunta: ¿Se podrá establecer una relación similar para otros exponentes distintos de 2? De esta manera surge el teorema de Fermat. Es bueno hacer énfasis en que, independiente de si la demostración es sencilla o muy compleja, el hecho de cuestionarse y ser inquieto intelectualmente sobre lo que nos rodea ha permitido los avances no solo en el terreno de la matemática, sino en todas las áreas de la humanidad. Invite a sus alumnos y alumnas a preguntarse, a reflexionar, a no conformarse con lo que se vislumbra obvio a primera vista, a plantear teorías y mostrarlas o demostrarlas.

UNID AD 4

a) Introduciendo la unidad

b) Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los mapas de progreso.

Euclides, Pitágoras y sus teoremas (Página 222 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes:

Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):

• Interés por conocer la

• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de

realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal.

ecuaciones a que dan origen.

• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos.

• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática.

• Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

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Se propone a través del desarrollo de esta sección abordar el teorema de Euclides como consecuencia lógica de relaciones de semejanza de triángulos en un triángulo rectángulo en el que se ha trazado la altura correspondiente a la hipotenusa. Note que se deduce directamente con solo establecer las proporciones correspondientes. Otra demostración del Teorema de Euclides que usa conocimientos de geometría analítica que los alumnos ya manejan es: En la figura se han dibujado las rectas perpendiculares en azul determinando el triángulo ABC con el eje x. El trazo rojo es una altura. y=−

1 x +n m

F

mx y =m

C

E

x

A

D

B

Nuestra tarea es demostrar que: 2

2

2

a. CD = AD ⋅ DB b. AC = AB ⋅ AD c.BC = AB ⋅ DB Previo, se determinarán las coordenadas de los vértices de los triángulos Las coordenadas de A son ( 0, 0)

Determinación de las coordenadas de B.

1 x +n m haciendo y = 0 tenemos 1 Por lo tanto: B ( mn,0 ) x =n m x = mn y=−

Determinación de las coordenadas de C.

Para ellos se determina el punto de intersección de ambas rectas. y = mx

1 x +n m y = mx 1 y = − x +n m

y=−

1 x +n m m2 x = − x + mn mx = −

x + m2 x = mn

(1 + m ) x = mn 2

x=

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mn 1 + m2

/ ⋅m

y = mx

2 mn Por lo tanto: C  mn , m n   2 2  1 + m2  1+m 1+m  m2n y= 1 + m2

y = m⋅

2/11/11 17:20:44

Ahora bien, iniciamos la demostración: 2

a. CD = AD ⋅ DB La medida de CD es de DB es

m3n 1 + m2

m2n mn ; la medida de AD es y la medida 2 1+m 1 + m2

2

UNID AD 4

 m2n  mn m3n Esto es :  = ⋅ 2  2 2 1+m  1+m 1+m mn m3n ⋅ 1 + m2 1 + m2 m4n2 = 2 1 + m2

(

=

)

( m n) 2

2

(1 + m ) 2

2 2

 m2n  = 2   1+m  Es importante que los estudiantes sean capaces de verbalizar lo que el teorema dice en forma matemática. Un buen ejercicios es que algunos alumnos y alumnas redacten con sus propias palabras el enunciado de este y otros teoremas. Haga notar que a través del teorema de Euclides se pueden demostrar otros teoremas o relaciones para un triángulo rectángulo. Uno de los abordados en esta sección es: Si ABC, rectángulo en C y la altura trazada con respecto a la base, como muestra la figura, entonces siempre se cumple que: C

b

q

A

a

h

p

D c

B

Por otro lado, queremos referirnos aquí a algunos tipos de ejercicios que requieren un mayor nivel de desarrollo algebraico para considerarlo en las clases: 1. Dado el ABC de la figura, calcule el valor de x. C

x

A

3

D

12

B

155 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 155

2/11/11 17:20:48

Para resolver este ejercicio debemos utilizar uno de los segmentos que no están especificados en el dibujo y plantear lo siguiente:

DB = pfi122 = p (3 + p ) fi144 = 3 p + p2

/ −144

p2 + 3 p − 144 = 0 p= p=

−3 ± 9 + 576 2

−3 ± 3 65 2

Esto implica dos resultados de p (que se pueden encontrar haciendo uso de la calculadora)

fipª10, 59 o pª − 13, 59, pero el valor negativo no es solución en este problema, pues p representa una trazo y su medida no puede ser negativa (recuerde poner énfasis en estas consideraciones con los estudiantes, para que luego ellos también las puedan hacer) Por otro lado, también por Euclides, se tiene que x2 = 3 p

x2 = 3 10,59

x2 = 3 31,77 / x ≈ 5,63

Así, x mide, aproximadamente, 5,63. 2. En el triángulo ABC, calcular a en función de b y h. C

a b

h

A

D

B

Por Pitágoras, se tiene que 2

AB = a2 + b2 AB = a2 + b2

/

Por Euclides, tenemos que si llamamos AD = x ∧ DB = y :

b2 = a2 + b2 ⋅ x ∧ h2 = x ⋅ y

Despejando x de la primera ecuación y reemplazándola en la segunda, se tiene que: b2 h2 = ⋅y a2 + b2

fiy =

156 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 156

h2 ⋅ a2 + b2 b2

2/11/11 17:20:51

Por último, usando el teorema de Pitágoras nuevamente, en el triángulo DBC tenemos que:

h + 2

(

h4 a2 + b2 b

4

) =a

2

h2b4 + h4a2 + h4 b2 = a2b4

/ ⋅b4

h2b4 + h4 b2 = a2b4 − h4a2

(

)

(

(

) =a

h2b2 b2 + h2 = a2 b4 − h4 h2b2 b2 + h2

(b

4

)

−h

4

hb b2 + h2 b4 − h4

a=

hb

(b

2

2

=a

)(

UNID AD 4

h2 + y 2 = a2

)

/ / racionalizando

+ h2 b4 − h4

b4 − h4

)

=

hb b2 − h2 b2 − h2

Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat (Página 236 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Interés por demostrar regularidades conocidas. Valoración de las demostraciones lógicas. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, Excel). • Trabajo grupal.

Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen. • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos. • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

En esta sección se presenta, en primer lugar, la demostración del teorema de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. El objetivo es señalar a los estudiantes la necesidad de demostrar algunos teoremas o regularidades matemáticas conocidos. Es importante que los alumnos y alumnas se acerquen a una matemática formal. Esta es una demostración sencilla y puede ayudar a los estudiantes a aproximarse de manera paulatina a las demostraciones formales. Otras demostraciones interesantes del teorema de Pitágoras son las dadas a continuación:

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a. Demostración dada por Euclides en su libro Los Elementos: F E

G A

D B

J

C

I

K

H

• Los triángulos DCB y ABI son iguales, ya que AB = BD, BI = BC y el ángulo B del triángulo DCB es igual al ángulo B del triángulo ABI. • El área del cuadrado ABDE es el doble del área del triángulo DCB, ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. • El área del rectángulo BIKJ es el doble del área del triángulo ABI, ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. Combinando los tres resultados anteriores, resulta que el área del rectángulo BIKJ es igual al área del cuadrado ABDE. Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo CHKJ es igual al área del cuadrado ACGF. Luego, ya que el área del cuadrado BIHC es igual a la suma de las áreas de los rectángulos BIKJ y CHKJ, el área del cuadrado cuyo lado subtiende el ángulo recto BIHC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABDE y ACGF, cuyos lados comprenden el ángulo recto. Puede encontrar esta demostración y otras explicaciones en los siguientes sitios: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/spip.php?article20 http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/AsiLoHicieron/Euclides2/Euclides1.asp b. Demostración intuitiva del teorema de Pitágoras: 1 Se comienza construyendo un triángulo rectángulo R cuya área es ab. 2 A continuación se traza un cuadrado como se muestra en el dibujo adjunto. 2 El lado del cuadrado así obtenido es ( a + b ) y su área ( a + b ) . Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es 1  4  ab  = 2 ab 2 

b

c

c

a

a+b

. Puede consultar estas y otras demostraciones en el sitio: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm

a+b

y un cuadrado interior de lado c y área c2. Igualando ambas áreas 2 tendremos: ( a + b ) = c 2 + 2 ab, de donde a2 + b2 = c2

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Unido al teorema de Pitágoras surgen los tríos pitagóricos: trío de números que pueden ser los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo y que, por lo tanto, cumplen con el teorema de Pitágoras. Se muestran aquí dos fórmulas para generar los tríos pitagóricos. Estas son: b. a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1, donde n es un número natural

Es importante dejar claro que todos los múltiplos de un trío también formarán un trío pitagórico. Se realiza también la demostración de estas fórmulas, partiendo del hecho de que si satisfacen el teorema de Pitágoras se llegará a una igualdad. Se presentan también dos hojas Excel donde puede insertar estas fórmulas y generar tríos pitagóricos. Además, en el siguiente sitio web puede encontrar generadores automáticos de tríos pitagóricos: http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20Pitagoras.xls

UNID AD 4

a. a = x 2 − y 2 , b = 2 xy , c = x 2 + y 2, con n: número natural

El teorema de Fermat se inserta en esta sección asociado a los tríos pitagóricos. Al señalar: “No existe un trío de números enteros a, b y c (con a, b y c distintos de 0) que cumplan la igualdad an + bn = cn, si n > 2”, se está diciendo que solo se pueden hallar los llamados tríos pitagóricos.

Es importante contextualizar la aparición del teorema de Fermat y lo difícil que fue su demostración y hacer notar que lo que se presenta en esta guía es solo una manera de mostrar que esto se cumple, pero en ningún caso una demostración. Haga énfasis en el proceso intuitivo que hay detrás de la comprobación del teorema de Fermat en casos particulares. El desarrollo de la aritmética y las proposiciones con respecto a regularidades numéricas ha marcado una etapa importante en la historia de la matemática que es conveniente destacar. Algunos sitios donde puede encontrar información son: http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/ http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm

Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa? (Página 244 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de realidad a través de ecuaciones a que dan origen. la matemática. • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando • Análisis de procesos y métodos analíticos y gráficos. establecimiento de • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y relaciones lógicas. procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Resolución de problemas • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos cotidianos que geométricos, acorde a las características del problema. desarrollen el Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): pensamiento lógico – • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia deductivo. y cuadrática. • Uso de herramientas • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. tecnológicas (calculadora). • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, • Trabajo grupal. reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. Se trabajan los siguientes:

• Interés por conocer la

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Se definen en esta sección las razones trigonométricas seno y coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo. Note que bastan estas dos razones trigonométricas para generar las restantes, en esta primera sen α parte, definiendo tg α = . cos α 3 Haga notar a sus alumnos que al escribir, por ejemplo, sen α= no se 5 está diciendo que uno de los catetos y la hipotenusa midan, necesariamente, 3 y 5, sino que uno de los catetos mide 3 k y la

hipotenusa 5 k . Esto es importante sobre todo cuando se pide calcular la longitud de los catetos o de la hipotenusa. Enfátice esta relación. 3 Por ejemplo: Si en un triángulo rectángulo, el sen α= y el perímetro 5 del triángulo es 144 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo? B

3k

5k C

A

fi AC = 4 kfi3 k + 4 k + 5 k = 144fi12 k = 144 fik = 12

∴ AC = 48 cm, BC = 36 cm y AB = 60 cm

Se presenta en esta sección el cálculo de los valores de razones trigonométricas de ángulos conocidos de manera deductiva. Es importante que usted, como profesor, realice este proceso con sus alumnos y/o alumnas, de modo que ellos y ellas puedan entender de dónde provienen estos valores y cómo es que solo depende del valor del ángulo y no de las medidas de los catetos e hipotenusa.

En esta unidad se trabaja con elementos secundarios de triángulos: alturas, bisectrices, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Se deberá chequear que los alumnos manejen los conceptos de estos elementos y sus propiedades, donde en triángulos equiláteros todos ellos coinciden y en triángulos isósceles coinciden todas aquellas trazadas respecto a la base. Una buena manera de mostrar esto es utilizar el programa Geogebra (se puede descargar gratuitamente desde el sitio http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_p163.html), que permite dibujar triángulos con sus elementos secundarios e ir modificando los triángulos moviendo un vértice y ver cómo se mueven los elementos secundarios. En relación con los problemas de aplicación, note que algunos son de resolución directa y otros deben relacionarse con sistemas de ecuaciones lineales. Es importante también aclarar los conceptos de ángulo de elevación y depresión.

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a. Construir, con regla y transportador, un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos interiores de 33º y medir sus lados:

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Otros temas de trigonometría (su relación con las funciones y otras aplicaciones) (Página 262 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso


Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):

• Interés por conocer la realidad

• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de

a través de la matemática.

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Además de los ejercicios presentados en el Libro del Estudiante, se muestran aquí una batería de ejercicios graduados en dificultad, una ficha de repaso para los alumnos y alumnas que presentan problemas en la adquisición de los contenidos y además algunos ejercicios de profundización para aquellos estudiantes con más facilidad en la asignatura.

ecuaciones a que dan origen.

• Análisis de procesos

• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando

deductivos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, programa computacional para graficar). • Trabajo grupal.

métodos analíticos y gráficos.

• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

En la primera parte de esta sección se trabaja definiendo las funciones

1

1

secante, cosecante y cotangente. Así, sec α = , cosec α = cos α sen α 1 . A partir de estas igualdades se trabajan seis identidades y cotg α = tg α fundamentales. La última de ellas queda propuesta para que el estudiante la realice; le presentamos aquí una posible demostración. Demuestre que cosec2 α = cotg 2 α + 1.

Partiendo del lado derecho de la igualdad se tiene que: 2

 cos α  cotg α + 1 =   +1  sen α  2

=

= =

cos2 α +1 sen2 α

cos2 α + sen2 α sen2 α

1 = cosec2 α sen2 α

El objetivo de la demostración de las identidades es adquirir manejo de las razones trigonométricas y sus relaciones, de manera que estas sean aprendidas fácilmente y, a la vez, los alumnos y alumnas valoren el trabajo de una forma más estricta en el sentido matemático.

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No olvide que la elección de las identidades a trabajar, deben graduarse en dificultad según las características de su grupo de curso. En la segunda parte de la sección se vinculan las razones trigonométricas de distintos ángulos a las funciones. Se establecen como funciones reales, teniendo en cuenta que: - los ángulos pueden estar medidos en grados o radianes (ver cuadro adjunto en la unidad de transformación de grados a radianes α ⋅ 2π fix = rad). 360 - el dominio y el recorrido no son siempre todos los reales; dependerá de cada función (recuerde hacer este análisis mirando los gráficos respectivos). - se hace mención al círculo goniométrico para realzar la idea de que un ángulo puede medir infinitos grados y de esta manera independizarse del triángulo rectángulo y poder ampliar el concepto de seno, coseno y tangente. Un buen método para determinar el dominio y recorrido de una función es hacerlo a partir de su gráfico. Recuerde a sus alumnos y alumnas que el dominio está representado por el eje x y el recorrido por el eje y. Tenga especial cuidado con los puntos donde las funciones trigonométricas se indefinen; vaya de los puntos particulares donde esto sucede hasta la generalización. Una buena actividad es que los alumnos y alumnas grafiquen las funciones cotangente, cosecante y secante (de las que no se presentan gráficos en el texto) en papel milimetrado y luego comparen sus gráficos con los que puede entregar un programa computacional.

Aplicaciones de la trigonometría a otras figuras Es conveniente mostrar a los alumnos y alumnas algunas aplicaciones de trigonometría al cálculo de elementos de geometría clásica, como el apotema de un polígono regular, el radio de la circunferencia circunscrita a este, ángulos interiores de un polígono regular, elementos en cuerpos geométricos, etc. Mire los siguientes bosquejos: G A

h

F

I B E J C

D

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En este caso se pueden calcular algunos elementos sabiendo el radio de la circunferencia y la medida del lado del polígono, utilizando trigonometría en el triángulo rectángulo CBI.

Esto se puede extender también al cálculo de áreas de poliedros como el icoságono, dodecaedro, etc. Algunos sitios web donde puede buscar mayor información son: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/ poliedros.htm http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html

UNID AD 4

A partir de estos cálculos se pueden calcular áreas de polígonos regulares y también extender esto a volúmenes de prismas rectos con bases en estos polígonos.

En la última parte de esta sección se presenta la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo que esta forma con el eje x. Se define, entonces, que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje x. Es conveniente que coloque los casos de pendientes negativas, positivas y cero para asociarlas a ángulos obtusos, agudos y extendidos o cero. Por ejemplo: Si la recta tiene ecuación y = −2 x + 3, entonces se tiene que:

tg x = −2fix = tg −1 ( −2) fix = −63, 43

fiα = 180 − 63, 43 = 116, 57

Note que el ángulo que se quiere calcular es α

63,43°

x = –63,43°

Para finalizar la sección se proponen actividades individuales y grupales para los alumnos y alumnas. Invite a sus estudiantes a realizarlas, respetando la clasificación propuesta (individual y grupal), señáleles lo importante que es el intentar realizar los ejercicios más simples o directos de manera individual y ofrézcales su guía en caso de dudas. Deje un tiempo para la evaluación de proceso antes de seguir con el resto de la unidad. Una buena forma de evaluar lo aprendido es hacer una puesta en común de las dudas más frecuentes y repasar en ese instante incluso ayudado por los mismos estudiantes con más habilidades matemáticas.

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Errores frecuentes Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. Contenido Teorema de Euclides.

Teorema de Pitágoras.

Posible déficit

Sugerencia

Aplicar el teorema de Euclides a triángulos que no son rectángulos.

Enfatizar, cada vez que se aplica el teorema de Euclides, que se puede utilizar, ya que se está en presencia de un triángulo rectángulo.

Escribir que el teorema de Pitágoras es: a + b = c.

Una buena forma para que los estudiantes no olviden que el teorema habla de los cuadrados de los catetos e hipotenusa es presentar un dibujo que relacione el área de los cuadrados construidos sobre los catetos y la hipotenusa, como Pitágoras realmente planteó el teorema: a2 + b2 = c2.

Concepto y notación de las razones trigonométricas que llevan a hacer simplificaciones Razones como las siguientes: trigonométricas. sen 30 30 . = sen 60 60

Suma de razones de ángulos Razones conocidos. Por ejemplo: trigonométricas. sen 30 + sen 60 = sen 90 Confundir el ángulo de depresión a con b c = = α Reconocimiento el complemento sen α sen β sen γ de ángulos en de este, como problemas de muestra la figura: planteo. a b c de depresión es α y = El ángulo = sen α sen no β . sen γ

Rectas y su ángulo de inclinación.

Forma usual de medir ángulos. Los alumnos y alumnas confunden el ángulo de inclinación y, además, no relacionan las medidas de ángulos negativos con el sentido horario y antihorario.

c2 a2

a c b b2

Ponga énfasis en que la expresión sen representa un número y no indica la multiplicación de dos expresiones o números y, por lo tanto, es imposible simplificar. Recuerde que solo se pueden simplificar expresiones que se están multiplicando. Por ejemplo:

x ⋅ (x + y)

2⋅ x ⋅ ( x + y )

Nuevamente este error tiene que ver con el concepto de la razón y la notación de esta. Ejemplifique, calculando expresiones de este tipo para que los estudiantes noten la diferencia. Por ejemplo:

1 3 + π1 2 2

1+ 3 π1 2

Definir explícitamente los conceptos de ángulos de elevación y depresión. Hacer alguna actividad en terreno donde se midan, con transportador, ángulos de depresión y elevación (utilizando la misma altura del alumno).

Antes de comenzar la sección de trigonometría, recuerde a sus alumnos que los ángulos se miden en sentido antihorario, es decir, el ángulo de inclinación de una recta será como muestra el dibujo:

y

Además, un ángulo negativo se representará gráficamente de la siguiente manera:

y

x

α

x

α

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Síntesis conceptual de la unidad

Ejercicios propuestos en esta Guía

El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.

i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto.

Ejercicios de resumen

ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad.

Se puede separar en dos partes: la primera corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. Note que se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. La segunda parte es el ítem III, que es una evaluación basada en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno o alumna revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. Por último, al final de la unidad se propone una evaluación sumativa de las unidades 1 a la 4.

UNID AD 4

Síntesis de la Unidad

iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente.

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Actividades de refuerzo I. Complete cada afirmación según corresponda: 1. En un triángulo rectángulo, la raíz cuadrada del producto de la hipotenusa por la proyección de un cateto sobre ella proporciona el valor de 2. Si la altura con respecto a la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide 6 cm y una de las proyecciones de un cateto mide 12 cm, entonces la otra proyección mide

2. De la figura, se sabe que el área del rectángulo es igual al área del cuadrado. Usando los teoremas de Euclides, ¿es rectángulo el triángulo mayor? Justifica tu respuesta. ¿Cuál es el valor d?

d

3. Si uno de los números de un trío pitagórico es 8, entonces los otros dos son

16 u

4. El cociente entre cosecante y secante de un ángulo corresponde a la

5. El valor de

1 − cotg 60 + 2 cos 90 es sen 30

6. Si cosec α = 3, entonces el ángulo aproximadamente

mide

7. La expresión 1 + tg 2 α es equivalente a

2 8. Si sen α = , entonces el valor del cos α es 5

9. Una recta tiene ecuación 12x − 5 y + 3 = 0, entonces, el ángulo de inclinación, medido en grados, es 10. El intervalo [ −1, 1] corresponde a los recorridos de las funciones trigonométricas. II. Resuelve los siguientes ejercicios y coloca todo el desarrollo en tu cuaderno: 1. En un triángulo rectángulo se traza aquella altura h que es perpendicular a la hipotenusa, de 18 cm, determinando las proyecciones de p−q 2 los catetos p y q. Si = hallar h y el área p+q 9 A del mencionando triángulo.

U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 166

9u

3. Basándote en la figura, demuestra que p2q + pq2 = c donde c es la hipotenusa h2

b

a h q

p

4. El lado menor de un triángulo mide 13 mm y los otros miden 6 x + 8 y 6 x + 9 mm. Si su perímetro es 182 mm. ¿Es este un triángulo rectángulo? ¿Por qué? 5. Al efectuar 25 + 35, ¿qué indica el teorema de Fermat con respecto al resultado de esta suma?

6. Al trazar una cuerda de 21,99 cm en una circunferencia, esta subtiende un arco correspondiente de 70°. ¿Cuál es el radio dicha circunferencia?

7. Para calcular el cos 44° se ha empleado el cateto adyacente al ángulo, 6 x − 1, obteniéndose un valor 0,719 para él, según el siguiente triángulo.

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C 8,3x + 4

W

8. Dibuja un triángulo rectángulo, cuyos ángulos agudos sean x e y. Además, tg y = 1,75. Encuentra los valores de sen x , cos y, cosec y, cotg x .

9. Encuentra el valor de la siguiente    expresión sen 25 ⋅ sec 65 + tg 45 tg 40 ⋅ cotg 220

10. Con la información dada en el triángulo de la figura adjunta, y utilizando trigonometría, halla los valores de los lados a y b. Expresa tu respuesta usando con aproximación a la centésima.

x a

10 u b

0,25x

11. Dada la siguiente figura, determina el perímetro del triángulo obtusángulo. Usa en tu desarrollo aproximación a la centésima. 5u h

x 60°

30°

13. Demuestra que sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = 1 14. Observa atentamente la figura y responde: ¿Cuál es la ecuación de la recta L?

UNID AD 4

b. Encuentra x, número entero, de tal manera que obtengas el valor de seno de 44º a partir de esta figura. Halla los valores respectivos.

7u

y

L 69°

2u

x

15. Grafica, utilizando algún programa computacional o a mano alzada, la función cotangente de x y determina la ecuación de, al menos, dos de sus asíntotas. III. Resuelve los siguientes problemas de planteo. Hazlo con tu grupo y coloca todo el desarrollo en tu cuaderno: 1. A determinada hora del día, la altura del sol sobre el horizonte es de 50°, momento en que la sombra de un árbol mide 25 m en el suelo. Con el transcurrir de las horas, ¿en cuánto metros se habrá alargado la sombra, cuando la altura del sol sobre el horizonte baja a 25°? 2. “Martín está enfrente de mí, hacia el norte. De allí, 19 m hacia el oeste, está Bernardo. Si al recorrer mi vista desde este último hacia el primero se describe un ángulo de 30°, ¿cuántos metros me separan de cada uno?” 3. Se reúnen doce triángulos isósceles de lados iguales; cada lado mide 9 cm y el ángulo comprendido entre ellos es de 30°, para inscribirlos en una circunferencia. ¿Cuántos cm más supera la longitud de la circunferencia al perímetro de la unión de estos doce triángulos? (Considere π = 3, 14). 4. “Sí, Matías, me metí a la página de los estudiantes de ingeniería en Internet, y encontré varias reglas para aprenderse los teoremas de Euclides, el de Pitágoras, los de trigonometría, poemas, chistes para matemáticos, etc. Te mando esta adivinanza...

MATERIAL FOTOCOPIAbLE

a. Ubica correctamente el ángulo de 44º en la figura.

5u


B

13 u


6x – 1


A

12. Con los datos de la siguiente figura, determina el valor del ángulo en W.

167 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 167

2/11/11 17:21:14

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168

Primer acto: Aparece un triángulo rectángulo. Segundo acto: Aparece el mismo triángulo rectángulo, con su altura encerrada y protegida por el triángulo. Tercer acto: Aparece el mismo triángulo rectángulo, con su altura encerrada y protegida, más las proyecciones de los catetos: p y q”. Pregunta: ¿Qué es pq ? Matías lo leyó, pero dudó al responder. ¿Cuál es tu respuesta?

5. –Sí jefe, escucho perfectamente a través del audífono oculto que llevo en mi pelo. Estoy en la mesa indicada de la sala rectangular de los grandes caballeros, y ya ordené mi cena... Cuénteme. –Escucha, Max, enfrente tuyo debiera estar sentada Marjorie, en un rincón que hace de esquina, una joven de vestido azul piedra, cabello rubio y colgante... ¿es así? –Así es... muy bella. –Sonríele si es necesario. Ahora bien, gira tu cabeza disimuladamente hasta llegar a la altura de tu hombro derecho. Ten cuidado, allí está sentada la más peligrosa. Ella es de pelo negro y su nombre es Nelda. ¿Es así?... –Sí, la veo; además, es muy atractiva y está sentada también en una esquina como a cuatro metros de donde estoy... ¡Oh, qué hermosa es! –Si continúas girando ahora tu cabeza en 180°... –¿Pero cómo lo hago jefe, si no soy una lechuza? –¡Déjate de bromas!... hacia el lado contrario, por encima de tu hombro izquierdo, está la bella Ariana. Seguramente de traje blanco y liso. Mírala pero con distinción... ¿Es así?... –La veo, es de pelo rojizo... debe estar a tres metros de donde me hallo... pero ¡Ay!... Max cae herido al suelo, víctima de un disparo, pero no muere inmediatamente. Algunos testigos sospechan que el disparo provino de la mujer que estaba más lejos de él. Conforme a lo que se sospecha, ¿quién le disparó a Max? 6. Nicolás está improvisando una escuadra usando un trozo de varilla que ha seccionado en tres partes. Lleva unido dos de los lados, uno de 40 cm y otro que mide 1 cm más que el anterior. –“¡Bien hasta el momento!” –exclama. Apresurándose para terminar, grita: –¡Oh no! ¡Qué alguien me ayude para saber qué hacer con los 39 cm de este último trozo; así se ve

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absolutamente desproporcionada! Piensa un rato, corta este último trozo y usa la medida exacta para terminarla. En efecto, consiguió el objetivo. ¿De cuántos centímetros debió cortar el último trozo para garantizar que fuera una escuadra la que se formaría? 7. María del Rosario es la profesora reemplazante de Matemática. Ella propuso a sus alumnos y alumnas la siguiente actividad: sumen dos números naturales cualesquiera n y m y el resultado elévenlo al cuadrado. Luego quiten, a este, dos veces su producto y anoten su respuesta. ¿Es este un cuadrado perfecto? Lo más probable es que no lo sea... ¿En qué caso sí lo es? 8. “A ver, creo no entenderte bien. Tú me dices que escriba dos cubos perfectos distintos de 0, que provengan de números naturales, que sean pares y que los sume. Está bien, puedo imaginarlo con 8 + 216, y que con esta información escriba el resultado como cubo perfecto... y, más aún, que invente por lo menos tres ejemplos parecidos. Mira, de antemano te digo que eso no será jamás posible. No me gustan tus bromas matemáticas”. ¿Cuál es la supuesta “broma matemática”? Justifica tu respuesta. 9. –“Oigan, parece que hemos detectado algunos restos del naufragio”. La tripulación del barco de salvamento enviado por la Armada se movió rápidamente. –“¿Con que ángulo aparecen? –grita el capitán. –“Con depresión de 12°” –responde el encargado... –“Rápido, que manden al buzo Olsen, hay 40 metros hasta el fondo del mar”... –¡A la orden, Señor! –responde otro de los encargados. Todos siguen atentos el trayecto. –“¡Vamos, Olsen, avanza pronto para terminar luego esta agonía de una semana de búsqueda!“ Pocos se preguntaron cuánto tuvo que desplazarse por el bravo fondo marino este gran buzo. Pero tú, sí lo podrás calcular. ¿Cuánto metros se desplazó el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? Ángulo de depresión 40 m

12º

12º

10. –¡Ya, hasta aquí llegamos por hoy! ¡Vamos a tener que acampar! –gritó Moisés, nuestro instructor. Mojé mis pies, sentado en la ribera del río y miré la copa de un árbol situado en la otra orilla.

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40°

8m

IV. Marque la alternativa correcta: 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones no se cumple(n) para ningún trío de números a, b y c, pertenecientes a los números naturales? I. a4 + b4 = c4

12. “La calle Esperanza, en ese trayecto, iba cerro en bajada. En ese lugar, nos despedimos y parecía que aún lo podía abrazar, mirando cómo se alejaba en su bicicleta, mientras, con mano alzada, me mostraba un hasta mañana. Lo seguí observando desde ese borde, donde un letrero decía: 100 m sobre el nivel del mar”. Conforme al relato, y siempre que fuera posible: ¿Cuál(es) dato(s) necesitarías conocer para saber la pendiente de inclinación (desde el plano) de ese trayecto de la calle Esperanza? Propón otras formas de resolver matemáticamente este requerimiento. 13. “Me dirigiré a conversar con mi profesor de Matemática y le diré: “Lo que pasó es que me puse muy nervioso durante la prueba, y por eso

II. a2 + b2 = c2

( ) + (b ) = (c )

3 III. a

2

3

2

3

2

a. Solo I

d. Solo I y III

b. Solo III

e. I, II y III

c. Solo I y II 2. Si en un triángulo rectángulo, la hipotenusa 2 2 mide x + y , x > y > 0 y uno de sus catetos, 2 xy, ¿cuál es la medida del otro cateto? a. x2 – y2

b. ( x − y ) c. 2 xy

d. –2 xy

2

UNID AD 4 Material Fotocopiable

15. “La dejé de abrazar, y la miré fijamente a sus ojos... ¿Cómo vencer la distancia, el dolor y aquellos veinte centímetros que eran familiares entre nuestras miradas? Levanté mis ojos... di media vuelta, marché... pensé en aquellos 15 centímetros que separaban nuestros cuerpos antes de esa media vuelta final y en que un segundo podría haber revertido todo”. Este problema involucra sentimientos, pero también matemática. Solo te pediremos que encuentres el ángulo de depresión correspondiente.

Material Fotocopiable

Puente quebrada Los Berros

14. Don José es el encargado de la mantención del parque municipal con el paisajista han logrado enderezar a tiempo el ciprés central de 22 m. Para ello, uno de los trabajadores instaló desde un metro y veinte cm debajo de la cúspide de este árbol de hojas perennes, un alambre que ató y luego fijó con una estaca en el suelo. Ocuparon unos 24 m de firme alambre. Hubo una discusión por él ángulo en que debía estar inclinado el alambre al suelo. ¿Cuál es el ángulo que en quedó finalmente?


11. “Estamos transmitiendo directamente desde el móvil de la radio local, su radio “El portal”, la grata noticia de la construcción de un puente sobre la quebrada de Los Berros, para así conectar más rápidamente la parte norte con la Sur de nuestra ciudad. Estamos con el Sr. alcalde, quien ya nos ha contado que tendrá 18 m de largo. En cuanto a la profundidad, aquí parados, justo en la mitad de este puente simétrico, como lo ha llamado un técnico, no podemos precisar ese dato por ahora”. Según tus cálculos, ¿cuál es la profundidad de la quebrada? (Mira el bosquejo).

contesté mal esa pregunta. No sabía, señor, cómo averiguar la hipotenusa, si conocía el valor del cateto adyacente a 40°, y más aún usando mi calculadora”. Explica los pasos que debiera seguir esta persona para resolver el ejercicio aludido.


Cansado, lo observé, con un ángulo de 60°, como nos había enseñado a estimar nuestro instructor. Vladimir, más atrás, a unos 10 m de la orilla, también miraba ese árbol, pero con un ángulo de 45°, según lo que me gritó... me acerqué y le susurré “te echo una competencia mañana: ¿quién atraviesa a nado el río y llega más rápido a tocar la punta del árbol? “ ... Moisés escuchó y me retó diciendo: “No tienes ni idea del ancho del río, ni lo profundo que pueda ser. Y menos la altura de la punta de ese árbol” . No se los permitiré... ¿Qué ancho tiene el mencionado río y la altura del árbol?

e. Depende del valor de x e y

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3. En el triángulo rectángulo de la figura, el valor de a es:

a. Solo I

d. Solo I y II

b. Solo I y III

e. I, II y III

c. Solo II y III 6. El valor de la expresión 2 1 4 sen 90–- cos 90 + tg 45 es: 3 3 13 2 3 c. a. e. 3 3 3 2 4 d. b. 3 3

a

5

10

a. 5 7

d. 5 3

b. 5 6

e. 5 2

c. 5 5

4. La figura adjunta es un bosquejo de una carpa de camping, formada por un triángulo equilátero y un rombo de lado 4 metros. Entonces, la medida del cierre (m) colocado en la entrada de la carpa es:

4 sen α = 7. Si en un triángulo rectángulo, es uno de los 5 4 ángulos agudos que cumple que sen α = , 5 entonces ¿cuál es el perímetro de triángulo? a. 11 b. 12 c. 13

8. La expresión a. sen x

l

b. cos x

m

a. 2

e.

c. 4

d. 3

b. 3

5

5. ¿En cuál(es) de los siguientes triángulos se cumple que h2 = p q? I.

q

q p h

III. p

a. 5,17 m c. 6,17 m

p

h

q

e. Faltan datos

cos x + tg x es equivalente a: 1 + sen x d. cotg x e. sec x

9. Nataniel está tendido boca abajo en la arena. Desde allí mira la punta del mástil de un velero con un ángulo de inclinación de 15°. Si él se encuentra a 20 metros del velero, ¿cuánto mide el mástil,(considere tg 15 = 0, 268)? b. 5,36 m

h

II.

c. cosec x

d. 14

d. 7,28 m

e. 19,31 m

10. Un observador A mira el extremo superior de una antena con un ángulo de elevación de 60°. Un observador B, ubicado en la misma línea de observación de A y a 4 metros de él, observa el mismo punto bajo un ángulo de 30°. ¿A qué distancia se encuentra A de la base de la antena? a. 2 m b. 3 m

c. 4 m d. 5 m

e. 6 m

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Ficha de refuerzo

3. Escribe un trío pitagórico donde uno de sus números sea 56.

4. Según el triángulo rectángulo de la figura, ¿cuál es el valor de h? Aproxima tus cálculos a la décima.

20

2. Al mirar aquel juego desde lejos, Irma se imaginó el triángulo rectángulo de la clase de Matemática. Hizo un bosquejo y decidió calcular la altura de la torre, con los datos que consiguió, mientras sus hermanos se subían a él. Después de todo, ella tenía demasiado susto de subirse. ¿Cuál es la medida de esta altura?

7m

5m

3. Dime, buen adivinador... ¿cuál es el ángulo de inclinación de la recta que tiene a 8 x − 3 y + 9 = 0 por ecuación?

h


21


2. El cable que afirma un poste de luz, de 12 metros, al suelo mide 20 metros. ¿Cuál será el ángulo que formará el cable con el suelo? Aproxima tu resultado al entero.

1. A Montserrat, su profesora de Matemática le dejó la siguiente tarea:“Elige un trío pitagórico (distinto a 3, 4, y 5 o 5, 12 y 13 o cualquiera de sus múltiplos) y construye un triángulo con esas medidas. Encuentra los valores de los ángulos interiores”. Montserrat no sabe cómo hacerlo. Ayúdala y hazlo tú por ella. Revisa tu respuesta con tu profesor o profesora.


1. Si en el triángulo rectángulo de la figura se 5 cumple que tg α = , determina el valor de 12 las otras razones trigonométricas.

II. Resuelve los siguientes problemas:


I. Resuelve los siguientes ejercicios:

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MATERIAL MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE

Actividades de profundización I. Resuelve los siguientes ejercicios. Coloca todo el desarrollo en el cuaderno, ya que eso te ayudará. 1. Si en un triángulo rectángulo uno de sus catetos está dado por la expresión x – 1 y la hipotenusa por 2x 2 + x − 3, ¿cuál es la expresión que define el otro cateto y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa? 2. Un octógono regular está inscrito en una circunferencia de radio r, como muestra la figura. Determina el valor del lado en función del radio.

2. ¿Sabes?, Abel me dijo que había encontrado, en un libro de trigonometría, un teorema llamado “El teorema del seno” y que funciona en cualquier tipo de triángulo, no necesariamente en uno que sea rectángulo. Este teorema dice así: “En el triángulo ABC de la figura (triángulo cualquiera) se cumple que a b c = = sen α sen β sen γ ” a b c C = = sen α sen β sen γ

b

A r l

3. Demuestra la siguiente identidad trigonométrica (recuerda factorizar):

sen2 x − cos2 x 1 − sen x ⋅ cos x = sen x ⋅ ( s ec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x

4. Una función se dice par si cumple que f ( x ) = f ( − x ) , para todo valor de x en el dominio de la función. ¿Cuáles de las funciones trigonométricas son pares? (Puedes utilizar los gráficos o tu calculadora para responder) II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Desde un punto P, situado más alto que la base de una torre, se observa esta con un ángulo de elevación de 48º, como muestra la figura. El observador mira la base de la torre con un ángulo de depresión de 20°, desde el mismo punto P. Si al desplazarse hasta P’ 50 metros el ángulo de elevación a la cúspide de la torre cambia a 30°, ¿cuál es la altura de la torre? Q

R

48° 20°

P

30°

50 m

α

a

a b c = = sen α sen β sen γ c B

¿Puedes comprobarlo? Dibuja un triángulo cualquiera, mide sus lados y ángulos y comprueba que las proporciones mencionadas se cumplen. ¿Podrías demostrarlo? Es muy fácil, solo traza la altura respecto al lado c, y ya puedes hacerlo... 3. Jaime y Patricio están practicando un juego de inteligencia militar. Han planificado el campo de batalla colocando dos estaciones de radar, separadas por 20 km. Ellas detectan un objeto en el aire, en el mismo plano de la recta que las une, con ángulos de elevación de 38° y 72°. ¿Cuál es la distancia del objeto a cada una de las estaciones? 4. En el campo de los abuelos de Trinidad hay una parte del sitio cercado en forma triangular donde dos de los cercos laterales miden 35 y 38 metros, como muestra el siguiente dibujo. ¿Cuánto mide el tercer cerco?

35 u

38 u

42°

P'

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A través de esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores, hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta guía como propuesta son: • Escalas de apreciación • Listas de cotejo • Trabajos grupales formativos • Actividades individuales o grupales de estudio • Coevaluación • Evaluaciones sumativas

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Instrumentos de evaluación

a. Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las secciones, es: Nombre del estudiante: Curso:

Fecha:

Actividad:

/ 24 Puntaje obtenido:

Porcentaje de logro:

Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, según esta escala. (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden) A: Completamente logrado B: Medianamente logrado C: Por lograr Indicador

A

B

C

¿He aprendido los conceptos de la sección? ¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?

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b. Listas de cotejo Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: Curso: Escala: MB:

Alumno

Insuficiente (3,9 - 1,0)

Realiza las tareas dadas

I:

Aporta al trabajo de su grupo

Suficiente (4,9 - 4,0)

Trabaja bien en clases

S:

Realiza los ejercicios propuestos

Bueno (5,9 - 5,0)

Pregunta cuando tiene dudas

B:

Es capaz de verbalizar los conceptos fundamentales

Muy bueno (7,0 - 6,0)

Abarca Juan Baeza Lorena

También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad.

c. Trabajos grupales formativos Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces los alumnos y alumnas logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos en forma aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como trabajos grupales y cómo serán evaluadas.

d. Actividades individuales o grupales, de estudio Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como preparación para la prueba de la unidad. Recuerde que es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no si el estudiante es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo de estrategia no enseñada en clases. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus alumnos o alumnas; solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó.

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e. Coevaluación: Entendida como aquella evaluación realizada entre pares, de una actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo:

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http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573

Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA:

: INDICADORES

Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2

1

3 4 5

4 = SÍ 8 = NO

2

3

4

Total

1. Ayuda a los integrantes del grupo 2. Cumple con lo que el grupo le encarga 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros

f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos y alumnas deben calcular, la que se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas. De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems, para servir de apoyo al docente.

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Evaluaciones Evaluación 1

L

Resuelve en tu cuaderno; recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor.

y 3

M

I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda: 1. ____ En todo triángulo rectángulo se cumple que el producto de la hipotenusa por la proyección de uno de los catetos sobre esta es igual al cuadrado del cateto. 2. ____ El trío 11, 60 y 61 es un trío pitagórico. 3. ____ Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24, entonces la altura trazada con respecto a la hipotenusa mide 5 . 6 4. ____ Según el teorema de Fermat, solo es posible establecer que existen números naturales tales que an + bn = cn, cuando n = 2. 5. ____ El dominio de la función seno es R. 6. ____ El recorrido de la función secante es R. 7. ____ Se puede calcular la altura de un árbol si se sabe cuál es el ángulo de elevación con el cual alguien lo mira y a qué distancia del árbol está el observador. 8. ____ No todas las identidades trigonométricas pueden ser demostradas. 9. ____ La pendiente de una recta se calcula como la cotangente del ángulo de inclinación. 10. ___ sen −1 x = 1 sen x

II. Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Si la figura está formada por un triángulo rectángulo y un paralelogramo, entonces ¿cuál es el perímetro y el área de la figura achurada? x x

0

4

x

a. ¿De cuál de las intersecciones de la recta L está más cerca M? Justifica tu respuesta. b. A qué distancia se encuentra M del origen. c. Determina las coordenadas de M. d. Encuentra el ángulo de inclinación de la recta perpendicular a L y que pasa por M. 3. Uno de los catetos de un triángulo mide x unidades, y el otro, dos unidades más que este. La suma de ellos es 32 unidades. ¿Cuál es el valor de sus proyecciones?

4. De un triángulo rectángulo, se sabe que la altura perpendicular a la hipotenusa es de 32 unidades de longitud y que la proyección menor vale la mitad de ella.¿Cuáles son los valores de los catetos? 5. Se han juntado dos rectángulos de anchos x e y, para formar un cuadrado de 256 cm2. Se solicita que tú construyas un triángulo rectángulo, donde x e y sean las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa x + y. Indica las medidas de los catetos. x

y

144 cm2

8u

4u

2. Considera la figura que a continuación te presentamos, y conforme a lo que has aprendido en esta unidad, responde:

6. Dispones de un papel de regalo listado rectangular que se ha pegado a una rampa, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la superficie de este papel de regalo listado?

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12. Demuestra la siguiente identidad

37 mm

13. Se desea dibujar una recta, cuyo ángulo de inclinación sea de 70° y contenga a (1,2) y (2,5). ¿Es posible esta situación? Justifica tu respuesta.

684 mm 410 mm

7. Si ∆ ABC es rectángulo y a : b : c = 13 : 12 : 5, entonces: a. ¿Cuánto vale el cociente entre la suma del coseno del ángulo en B más el seno del ángulo en C, y la tangente del ángulo en C? b. ¿Qué relación se puede establecer entre el resultado anterior con el seno del ángulo en B? 8. Si en un triángulo rectángulo, donde uno de sus ángulos agudos mide 23°, se tiene que cotg 23 = 2, 36, entonces ¿cuál es el valor del producto entre la secante de 67° y la cosecante de este mismo ángulo? Usa dos decimales en tu desarrollo y para tu respuesta. 9. Evalúa, usando calculadora, las expresiones 5 sen 13 5 cotg 13 . Compara ambos y 2  sec 13 cosec 13

(

)

resultados. ¿Qué concluyes?

10. Encuentra la hipotenusa y el área del triángulo mayor, siendo h una de sus alturas.

100 mm

80°

L‘

–2

110°

0

15. La figura presenta una circunferencia de centro O. A dista 11 cm del punto T. Usando aproximación a dos decimales en tus cálculos (considere π = 3, 14), responde: a. Verifica que la distancia de A al centro O es 11,39 cm.

h

11. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son 4 y 9, y h la alturaa respectiva. Encuentra los valores b c = = α y b de los ángulos y β, haciendo solamente uso sen α sen sen γ de trigonometría.

h

L

b. ¿Cuál es el perímetro del sector circular coloreado?

70°

a b c = = sen α sen α β sen γ

14. En la gráfica, L’ intersecta al eje x nueve unidades a la derecha de lo que hace L. ¿Cuál es el valor de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa si se traza la altura del triángulo con respecto al eje x? ¿Y las medidas de los catetos?

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cos2 x + sen2 x = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x

0

T

15°

A

III. Resuelve los siguientes problemas: 1. Bicicletas “Velocicleta” ha arrendado un terreno rectangular, para mostrar la próxima línea de bicicletas desmontables aptas para toda la familia y naturalmente para aficionados y profesionales del circuito. Para la exhibición han ideado el trayecto trazado en línea continua y será autorizado siempre y cuando

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no supere los 700 m de longitud; de lo contrario, por un tema de seguridad, deberán arrendar otro terreno. ¿Es factible ocupar este terreno con este circuito? 90 m

160 m

Final

120 m Partida

9,08 m 5m

7,50 m según Juan José; por tanto, no hay fallas de ensamblaje

2. Juan José, encargado de la producción del evento “Alta costura primavera-verano 2012 de la colección de Coutto Disegnattore”, tuvo serios problemas, ya que se produjo un accidente que desencadenó en la caída de varios modelos. Según los modelos, la razón del accidente fueron los errores en la medición de las tarimas del escenario, debido a esto hubo un mal ensamblaje. Juan José defiende su trabajo y les muestra sus bocetos y cálculos:

2,5 m

2m

13,70 m según Juan José; por tanto, no hay fallas de ensamblaje

7m

2,5 m

¿Quién tiene la razón? ¿Juan José realizó bien los cálculos? Justifica tu respuesta haciendo los cálculos nuevamente. 3. Adela y Adelaida están preparando su próxima prueba de Matemática y para ello responden las preguntas dadas por su profesor. De esta manera, una de ellas pregunta y la otra responde. – Lee en voz alta –dice Adelaida–, para que lo sepan incluso los que leen este texto. –Bien. ¿Están todos atentos?... “En una circunferencia se inscribe un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mide 26 cm y el menor; 10 cm ¿Cuál es su área? 4. Ivo e Ivonne están en la clase de laboratorio de Química General, y han hecho una serie de medidas de volúmenes con agua destilada. Entre tantas mediciones iban llenando diferentes cubos con uno que tenía Ivo y otro cubo que tenía Ivonne, en todos ellos la medida de las aristas eran números naturales. Sin botar líquido

fuera de ellos, nunca lograron llenar exactamente alguno: o les faltaba o les sobraba agua. Ivo e Ivonne olvidaron que matemáticamente esto es imposible. ¿Por qué? 5. “¡Hay que tener una buena disposición para que todo te resulte bien, Clarita! Tú quieres que te construya aproximadamente un ángulo de 47° en tu hoja blanca, sin transportador, solo con escuadra graduada y calculadora. ¡Es fácil! Todo se resuelve formando un “triángulo estratégico”. Dibujas un trazo de medida conocida. Elige cualquier extremo de este, para que sea el vértice de ángulo. En el otro extremo, levanta una perpendicular. Pero ¿qué medida debiera tener esta? Bien, usa ahora tus conocimientos de trigonometría y tu calculadora... Clarita cambió su rostro de desagrado, completó el triángulo e indicó correctamente el ángulo de 47°”. Ahora te toca a ti... Sigue todos los pasos sugeridos y construye, de esta manera, un ángulo de 47°.

6. “Cuando uno está estudiando una carrera profesional, no puede equivocarse de esta manera, “futuros científicos”. ¿A quién se le ocurrió que el inverso de la razón coseno es la razón seno? Y peor aún, ¿que se podían calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 70º en un triángulo cuando dos de sus ángulos interiores miden 70º y 30º ?” Tú que sabes trigonometría, ¿qué errores imperdonables cometieron estos alumnos y alumnas? 7. –“No joven, ya no usamos esa ruta que usted me dice”– le dijo el chofer del taxi colectivo local, al último pasajero que transportaba al pueblo vecino. ¿Se acuerda que tomando el camino “El Alba” se recorrían, 19 km y medio de pura tierra y después había que doblar en una punta bien peligrosa para tomar el camino “Los Almendros”, de 25 km pedregosos, y así llegar a la entrada principal del pueblo? Pues bien, ahora han construido este camino de asfalto y mucho más corto. –Ah... ya lo veo –dijo el joven–, este camino es perpendicular a “El Alba” y forma un triángulo con “Los Almendros, ¿se fija? Con estos datos, responde: a. ¿Cuál es el valor aproximado del ángulo formado por los caminos “El Alba” y “Los Almendros”? b. ¿Cuántos km de camino se ahorra por el camino asfaltado?

8. Las parejas de cueca del grupo “Aires de nuestra tierra” están bailando en la Plaza de Armas, como

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9. –¡Ah, qué alivio, haber encontrado la fórmula la fórmula que convierte los grados Fahrenheit (TF ) en grados Celcius (TC )...” Además en las fórmulas las t deben ser mayúsculas. Yo sabía que la tenía guardada en mi cuaderno de Física del año pasado. La voy a volver a escribir: (T − 32) Tc = F 100 180 Dicen que esta ecuación representa una recta y que debo graficarla y determinar su ángulo de inclinación. ¿Cuánto medirá dicho ángulo? 10. –Oye, ¿nos estamos comunicando? –Sí, creo... dímelo de nuevo para tratar de visualizar el triángulo ABC del que me hablas. La suma de dos de sus ángulos, los que están en los vértices B y C es 150º...

Además, el ángulo en A tiene por uno de sus lados, el lado mayor del triángulo. Desde el vértice C se ha trazado una altura respecto al lado AB, que mide 20 cm. En C está el ángulo mayor y el lado AB, opuesto al vértice C, mide 45 cm. –¿Qué?, ¿necesitas saber la medida exacta de los otros ángulos interiores para desaparecer?, ¿que nuestros lectores te pueden ayudar a calcularlos?... Te faltan milenios de experiencia... ya aprenderás a desaparecer sin usar los triángulos, amigo fantasma.

Ayuda al fantasma y calcula los ángulos pedidos. 11. En la feria de diversión está un tradicional juego tiro al blanco: una cinta móvil de patos fijos y que se mueven hacia adelante.

Flavio, de quince años, tiene muy buenos aciertos. Aconseja a uno de sus amigos que lo acompaña que primero mire el rifle, que luego se coloque frente al mesón recto, casi en la mitad de este. Que se fije en un pato cuando aparezca, que siga su trayectoria recta hasta llegar justo enfrente y ahí puede disparar e

impactarlo. Su amigo hizo algunos cálculos estimativos y bosquejó la siguiente figura. ¿Cuántos metros se desplaza el pato desde que aparece hasta el momento del impacto?

UNID AD 4

parte de la feria de muestra de folclor. Rodeada de asistentes que están de pie y son más altos que ella, Magdalena, ni empinándose logra ver los pañuelos alzados. ¿Cómo vencer los 30 cm que se lo impiden? Decide alejarse un metro y medio hacia atrás y empieza a verlos. ¿Cuál es el valor del ángulo de elevación con el que empieza a ver los pañuelos alzados?

6m 28

12. Una pareja de turistas, Max y Susy, están observando los edificios de la Plaza de Armas de una ciudad portuaria. Se detienen frente al renombrado y añoso restaurante “El Castillo”. “Susy, querida, acá, en el catálogo turístico que nos dieron, dice que en el terremoto de 1985 parte de la cúspide se cayó y disminuyó en 4 m por los trabajos de reparación. Con este ángulo en que estoy mirando podré hacer una buena filmación. Max observa el borde superior del edificio con sus binoculares y exclama: ¡Una cornisa por desprenderse! ¡No puede ser! Con este ángulo lo veo nítidamente. Decide avanzar 6 m para cerciorarse. –¡La cornisa está por caerse! Susy, llama urgente a un carabinero o a alguien que nos ayude”. Los turistas no saben de trigonometría... pero tú los puedes ayudar... Si estaba inicialmente a 25 m de la base del restaurante, antes de avanzar, y miró con 40° de elevación: a. ¿Con qué ángulo miró la segunda vez? b. Estima la distancia del borde superior del restaurante con respecto del lugar donde Max lo observó la segunda vez: c. ¿Cuál era probablemente la altura de “El Castillo”, antes del terremoto de 1985? 13. “Mira, Rómulo, tú como buen abogado eres muy diestro en leyes y te voy a mostrar aquí mismo, en el terreno, que yo lo soy haciendo cálculos. Como estamos a campo abierto y discutiendo sobre un terreno triangular, puedes mirar hacia adelante y ¿ves aquel árbol?, ¿ese nogal? Pues bien, de aquí hasta allá hay 500 metros. Ahora bien, vamos a girar a la izquierda, mira la cantidad de grados con que lo hago. Toma nota, por favor. Ahora, usando mi

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distanciómetro nuevamente, vamos a elegir el poste de luz que vez allá para determinar la distancia. Observa, 634 m... ”. Suponiendo que el triángulo es rectángulo, pero no donde están ubicadas las personas. a. ¿Encuentra el ángulo de giro que se mencionó en el relato? b. En el vértice de 90° de este terreno triangular ¿se encuentra el nogal o el poste de luz? c. ¿Cuál es la medida entre el poste y el árbol? Justifica trigonométricamente tu respuesta. 14. La guía de Física dice que tenemos que inclinar este riel de 31 cm a cierta altura para que la pelotita al ser lanzada desde abajo corra por él y salga disparada. Será mejor nuestro experimento mientras más rápido salga la pelotita de la rampa. “Mira, tenemos dos soportes similares, uno de ellos da una altura de 21 cm, al ponerlo perpendicular al piso. Probemos, coloquemos un extremo del riel en el suelo y el otro apoyado en la rampa... veamos qué pasa...”. Después de unos instantes, concluyen que con ambos soportes funcionan bien, pero que con el que no mide 21 cm es mejor. Responde: a. ¿Cuál es el valor de la pendiente y el valor del ángulo de apoyo del riel con el suelo al usar el soporte de 21 cm? b. ¿Cómo debiera ser el valor del ángulo de apoyo del riel, sobre el soporte, con respecto a lo mismo, pero usando el otro soporte en lugar del de 21 cm?

15. Señor, en este momento tenemos un helicóptero de seguridad que se mantiene suspendido por sobre los dos edificios de 200 m de altura cada uno, cuyos residentes ya han sido evacuados. Adelante, le escucho. –Los movimientos sísmicos continúan... Detálleme lo que está haciendo, capitán Galdámez. –Señor, tenemos iluminado el espacio entre estas construcciones. Así podemos entrar por la calle que queda en medio, que estimo es lo suficientemente ancha para que se lleve a cabo el operativo.

–¿A qué altura está el helicóptero? –A 250 metros. Cuando me comuniqué con ellos, uno de los encargados de seguridad, Tolosa, me dijo que estaban observando los bordes de cada edificio con ángulos de depresión de 65° y 55°. Correcto, haga los cálculos necesarios para estimar si se puede realizar el operativo y comuníqueme de inmediato si es factible. Recuerde que la distancia entre los edificios no debe superar los 60 metros. ¿Será posible realizar el operativo? Justifica usando trigonometría.

IV. Marca la alternativa correcta:

1 1 mm; CD = mm;; la altura 3 7 del triángulo ABC es:

1. En la figura, AD =

B

a. 1 mm 21

d.

b. 21 mm c.

21

21

mm

2. En la figura p : q = 1 : 2. ¿Cuánto mide el área del triángulo? 4 cm

p

q

2 b. 16 2 cm

c. 18 2 cm

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21 mm 21

e. Otro valor

a. 12 2 cm2

180

C

D

A

d. 32 2 cm2

e. Falta información

2

3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y la proyección de uno de los catetos es tres centímetros menos que ella.

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a. 6 3 − 1 b.

c. 6

3 −1

(

3 −1

d. 6 3 − 3

e. 6 3 − 6

)

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta respecto a un triángulo rectángulo? a. Una de las alturas se obtiene como la raíz cuadrada de la multiplicación de las proyecciones de los catetos. b. No se puede aplicar el teorema de Euclides referido a la altura a aquellas alturas que son catetos. c. El producto de la hipotenusa por la suma de las proyecciones de los catetos sobre ella equivale a sumar los cuadrados de cada cateto. d. La medida de un cateto es la raíz cuadrada del producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella. e. La medida de un cateto se obtiene multiplicando la hipotenusa por la proyección del otro cateto sobre la ella. 5. En la figura PQ = 13 u, las coordenadas del punto P son: y

P

Q

-7

a. ( −7, 10)

b. ( −7 ;10, 5) c.

( −7, 12)

-2

D

13 u

A

B

a. 5 13 b. 5 12

12 13 d. 13 12 c.

e.

12 5

8. Al mirar la siguiente figura, se puede determinar el valor de tg α : D

C

A

B

(1) ABCD es un cuadrado a b c = = (2) ∆ ABC es isósceles α yy βb son sen α y sen sen γ complementarios

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

9. ¿Cuánto mide aproximadamente el ángulo x de la siguiente figura? x

P

d. ( −7;12, 5)

e. ( −7 ;13, 5)

4, –3, 5 –9, 12, 15 15, 9, 17 8, 6, 14 Ninguno de los anteriores es un trío pitagórico

e rd

so

n te le

18

b Ca Suelo

6. ¿Cuál de los siguientes tríos es pitagórico? a. b. c. d. e.

C

10 u

a. b. c. d. e.

1,5

0

7. En el trapecio ABCD ,aAD = 10 b u y cBC = 13 u . = = Si sen α = 0, 5 , entonces sen α cos sen βbes: sen γ

UNID AD 4

¿En cuántos centímetros supera el cateto mayor al menor?

a. 31°

b. 34°

m

O S T E

x 15 m

c. 41° d. 47°

e. 56°

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sen y = 1, 11, entonces el valor cos y aproximado de y es: d. 51° a. Menor de 45°

10. Si

b. 48° c. 49°

e. Mayor de 51°

Evaluación 2 I. Completa cada afirmación con el concepto o definición según corresponda. 1. En un triángulo rectángulo, la razón

cateto adyacente de un ángulo cateto opuesto

determinado representa a

2. La función trigonométrica que tiene por recorrido el intervalo [ −1, 1] y pasa por el

punto ( 0, 0) es 3. En un triángulo se cumple que la altura es igual a la raíz cuadrada del producto de las proyecciones de dos de sus lados sobre el tercero, si y solo si el triángulo es un 4. Si 2n2 + 2n y 2n2 + 2n + 1 son dos de los números de un trío pitagórico, entonces el tercer número es cotg α + 1 se 5. Al reducir la expresión sen α + cos α obtiene la razón trigonométrica llamada

6. Si ángulo de inclinación de una recta es 55º, entonces su pendiente es, aproximadamente, 7. Si cos 67° ≈ 0,39, entonces los valores de otros dos ángulos cuyo coseno sea este valor son 8. Uno de los ángulos en que la tangente y la cotangente de dicho ángulo tienen el mismo valor es 9. Si se quiere calcular la sombra de un edificio y se tiene la altura de este, el otro dato necesario es 10. Las asíntotas de las funciones trigonométricas se producen porque

II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. En un triángulo ∆ ABC rectángulo en A, la altura duplica la proyección del cateto menor.

Si la diferencia entre las proyecciones es quince metros, ¿cuánto miden la altura y él área de dicho triángulo? 2. 18 cm mide la hipotenusa de un MNP rectángulo en N. Uno de los catetos mide cuatro centímetros más que su proyección. Calcula las medidas de: a. Los catetos b. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa 3. En un triángulo rectángulo, la altura mide 12 mm, determinando las proyecciones p y q sobre la hipotenusa. Si q satisface la ecuación q2 + 7 q − 144 = 0 , ¿cuáles son los valores de p y q? 4. a2 + b2 = c2, cuando a, b y c son tríos pitagóricos. Muestra, con algunos ejemplos, que si multiplicas toda la ecuación a2 + b2 = c2 por un cuadrado perfecto, la ecuación sigue siendo correcta, y obtendrás los cuadrados de nuevos tríos pitagóricos. ¿Ocurrirá esto mismo si multiplicas por un número cualquiera? Justifica tu respuesta.

5. Dado el triángulo de la figura, escribe la siguiente expresión en función de m y n

(

cos 90 − Z

)

sen Z + cos Z

m

z

n

6. Demuestra que: sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x = sen2 x + cos2 x

7. Desde lo alto de un acantilado de 100 m sobre el nivel del agua, el ángulo de depresión con que se observa un barco es de 24°. Al cabo de un tiempo, se lo vuelve a mirar, pero con un ángulo de depresión de 10°. ¿Cuántos metros se ha desplazado? ¿Se ha acercado o alejado del observador?

8. ¿Cuál es la intersección de la recta con el eje y si pasa por ( −1, 3) y el ángulo de inclinación es de 72°? (Aproxima la pendiente al entero). 9. Se desea inscribir esta figura regular en una circunferencia. ¿Cuál es el radio de esta?

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5u

14. En la figura, CD ⊥ AB . Determinar los valores de CD y DB . C

A

10. En la figura, L y L’ son paralelas. La primera de ellas tiene por ecuación y = –0,9 x.

25º

13 u

50º

B

D

15. ¿Cuánto valen los ángulos interiores no señalados del cuadrilátero inscrito?

UNID AD 4

Resuelve este problema haciendo uso de trigonometría:

a. Hallar la distancia que las separa. b. Escribe la ecuación de L’.

8m

L’

12 m

L 6u

0

11. Para que en un triángulo rectángulo el cateto opuesto a un ángulo sea la octava parte de la hipotenusa, ¿cuánto debe medir el ángulo adyacente a dicho ángulo? 12. Dado el rectángulo ABCD, calcula las medidas de: ABD y DCE : D

15 m

III. Resuelve los siguientes problemas: 1. –Mira atentamente mi dibujo –dijo Nora–. He bosquejado la situación de la carpa que hemos instalado al medio día. Necesito saber cuánto miden las sombras que se generan con los lados, para terminar de planificar mi negocio. ¿Puedes calcular las medidas necesarias para mí? Rayos de luz perpendiculares al suelo

C

4 cm E

9 cm

A

Vara de 1,5 m B

13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 61 m y la razón entre los ángulos agudos es 7 : 2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos?

Vara de 2 m

Suelo

2. –Mira, Daniel, no olvides que la idea es que hagamos los ensambles y las soldaduras fijándonos en que quede lo mejor posible para que el día de la presentación nuestras aguas danzarinas vayan a la par con la música y sin olvidarse de las reglas del concurso. No olvidemos que esta maqueta demo tiene que ganar.

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Para ello, hice un bosquejo de lo que tenemos:

Te explico la figura, la cual forma la parte superior de la que será la pileta con su salida de agua: La parte continua es la cañería visible por donde el agua provendría de los extremos de este trazo y ascendería por el tubo vertical. Arriba iría el rociador giratorio. El agua sale esparcida y debe alcanzar la zona marcada con doble línea al caer. Pero tengo mi duda. Si la cañería alimentadora del dibujo es de 2 m y justo en la mitad instalamos la cañería vertical, no sé qué largo debiera tener esta cañería para que formara una punta recta (90°), donde va el rociador, en el triángulo que terminé de formar con la línea punteada. Entonces, Daniel, resuelve el problema para que yo siga revisando el proyecto. ¿Cuál es el valor correcto al que Daniel debiera llegar? 3. Hola, yo soy Nora y vengo a recordarte un poco uno de los teoremas de Euclides. Pon atención al problema: “Estoy en la cima de una colina de altura de 30 m y tú estás parado en uno de los extremos de las faldas de la colina. Imagina que bajo de manera perpendicular al suelo por medio de la colina. Luego camino en línea recta 55 m. Las laderas por las que subiríamos a la cima forman un ángulo recto. Haz un bosquejo de la situación y responde a. ¿Cuántos metros tienes que caminar para alcanzar la cima por la ladera? b. ¿Tienes que caminar más que yo si subiera por ladera opuesta a la tuya? ¿Por qué?

184

4. –Srta. Julia, le prometo que no le copié a Joaquín el ejercicio de encontrar tríos pitagóricas, como él dice. Claro, yo dije en voz alta que uno de los naturales que iba a elegir para reemplazarlo en la fórmula era 4 y que así, haciendo 2 xy, obtenía 104... pero no,

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nunca copié, fue solo coincidencia. La Srta. Julia lo mando a hacer todo el desarrollo en la pizarra. Hazlo tú en tu cuaderno y encuentra el trío pitagórico mencionado. 5. En el casino, Yasna y Jessenia observan de lejos a la señora Madama. –¡La Madama debe tener sus secretos en los juegos! –dijo Jessenia. –Sí, claro... ¿Porque de dónde se explica tanta fortuna en los juegos del casino? Me contaron que consulta a un hombre que sabe mucho de cálculos. –Yasna, ¿te cuento un secreto? Este papel se le cayó a la Madama cuando fue al baño. Pero no lo entiendo. –¡No, no me digas! Busquemos un lugar más recatado y veámoslo... El papel decía así... resuelve tú este acertijo... “Para lunes, miércoles y viernes usar X impar y x2 − 1 mayor que 1, seguir con y terminar 2 x2 + 1 con 2 Para los otros días X par mayor que 2, 2 2 continuar con  x  − 1 y finalizar  x  + 1 2 2     Siempre formar tríos de especial belleza y suerte. Domingos no se juega”. Elige las fórmulas entregadas, y conforme a ellas forma tus propios tríos. ¿Qué relación puedes establecer entre los números de cada trío? Verifícalas con tus tríos.

6. –¿Recuerdas, Antonio?... donde cayó el supuesto meteorito, la erosión ha transformado el forado casi en un perfecto cilindro recto de 12 metros de diámetro. Cuando Elías bajó por una de las paredes del forado y sin las protecciones adecuadas, rodó hasta el centro. Al momento de sentir sus gritos, acudimos todos. Pasado el susto, desde el centro, Elías clavó la estaca para amarrar un cable hasta uno de los extremos superiores del pozo. El cable se tensó ocupando 13 metros. Ahora, me puedes ayudar y decirme ¿cuál es el valor del ángulo que formaba el cable y la pared del pozo? 7. –“Estábamos sentados en el pasto, Silvia y yo, tomados de la mano y mirando las estrellas”. De repente, sale de entre nosotros una luz resplandeciente que parecía una persona,

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8. Jacinto y Emelino están en un desacuerdo respecto a la información entregada sobre la torre Entel. Me enviaron una foto de la torre de telecomunicaciones, donde me indican que el ángulo de elevación de una medición a 70 m de la base es 57, 37°. Además, sabemos que la altura de la Torre Entel es de 127,35 m desde su base.

–Jacinto, mira, si hago los cálculos obtengo que, a esa distancia, el ángulo de elevación debería medir 61, 20° y no el que indican. ¿Se deberá a que la base de la torre está considerada varios metros bajo tierra? –Así es, Emelino. ¿Puedes determinar cuántos metros más bajo está dicha base?

9. El guardia de la instalación de la fábrica de aceite que queda cerca de mi casa es muy amigo de los animales. En su lugar de trabajo hay una perra guardiana cuyo nombre es Laika y acompaña a los guardias en sus rondas. Él la recogió de cachorra, la ha alimentado y la ha entrenado para dar saltos, ocupando parte de su tiempo libre para esto último. Con el tiempo, la proclama la mejor y más fiel perra guardiana. Un día me mostró la siguiente armazón de madera para el trayecto de entrenamiento de Laika. Le ayudé con mis conocimientos escolares e hice el siguiente bosquejo: La trayectoria para el entrenamiento de Laika

altura (cm) 110 70 50 20

0

2535

75 90

120 130 160 desplazamiento (cm)

Pero me olvidé de escribir el valor de los ángulos señalados, importantes para los impulsos de subida y bajada de Laica. Te pido que tú, amigo lector, lo escribas correctamente 10. –Flor, te dejo este problema para que lo resuelvas, y escribas el desarrollo completo de la respuesta. No te alcanzo a esperar más, porque voy ahora al examen de resistencia física. He aprobado todo hasta el momento, pero mañana viene el test de Matemática y tengo susto. El triángulo ABC es rectángulo en C. CM es una transversal de gravedad. ¿Cuánto vale el ángulo formado por la altura y la transversal de gravedad?

UNID AD 4

caminó cerca de diez metros alejándose de nosotros en línea recta, desde allí nos miró y se elevó en forma perpendicular al suelo. A una altura de veinte metros desapareció”. El público que estaba escuchando atento este relato se conmovió. El entrevistador del programa “Episodios sin explicación” preguntó, entonces, a los istas invitados, ¿qué ángulo permitiría ver desaparecer a esas extrañas y supuestas personas? Calcula tú dicho ángulo.

C 8u

6u A

D

M

B

Gracias de antemano, Florcita. Lo voy a pasar a buscar a la casa de tu mamá a las 19:00 hr... tengo que quedar itida en la institución. Chao, Dorys. Como tú sabes trigonometría, te pedimos que ayudes a estas amigas con la respuesta. 11. Dos estaciones de rescate, que están en paralelo, comparten información sobre una señal de auxilio emitida por un barco y que ambas han recibido simultáneamente. –Recibido, estación B, 27° Noroeste es la medición de ustedes; la nuestra es 45° Noreste. –Comprendido estación A. Ya enviamos helicóptero de rescate. –Confirmamos 180 km horizontal de distancia entre nosotros. Adelante, estación B. –Correcto. El helicóptero dice que hay neblina solo alrededor del barco y ahora de noche se ve iluminado. ¿Cómo es eso? –Más aún, nos informan que están acercándose y escuchan una maravillosa música de fiesta... Eh, desaparecieron barco y helicóptero de nuestro radar... –Pero en estos mares del Sur de Chile no es común que eso ocurra... Esperen, acá pasa lo mismo... desaparecieron... Oigan, no creo que sea... –¡El Caleuche!

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Puedes buscar más información acerca del “El Caleuche”, pero ahora te pedimos que nos digas ¿a qué distancia está, de ambas estaciones, el barco aludido? Ayúdate con la figura adjunta. Barco

N

45º

O

Estación A S

x x

N

27º 180-x Estación B

15. –¿Viste la nueva rampa de patinetas del barrio? –Sí, Carlos, pero estoy seguro de que la hizo alguien que no entiende mucho o que quiere deportes extremos. En vez de construir una que se parezca a una parábola, esta se parece a un trapecio rectángulo como el del bosquejo siguiente: 2m

E

5m

S

12. –Esto de andar en parapente es muy entretenido, pero me da mucho miedo. Yo no sé cómo puedes pensar allá arriba... ¿qué me decías? –Te decía que estábamos a 250 metros de altura y que el ángulo con que mirábamos aquella casa era de  aproximadamente 22 . Ahora dime ¿a cuántos metros de nuestra posición se encontraba la casa? 13. Manuela es seleccionada de gimnasia artística en su colegio y hoy ha tenido una clase práctica sobre las barras asimétricas. El dibujo que les entregó su entrenadora fue el siguiente:

13 m

¿Me podrías ayudar a calcular el ángulo con el que se desciende la rampa y el trayecto que debo recorrer para descenderla? IV. Marca la alternativa correcta: 1. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) rectángulo(s), según los datos de la figura?

Au

6u

II.

1,9 m

1,4 m 1m

Ella les pidió calcular el ángulo α de la figura y la medida de la distancia que une ambas barras en diagonal, para luego comenzar con su rutina. ¿Cuáles son las medidas a las que debe llegar Manuela? 14. –Orlando, ¿me puedes ayudar acá? –Sí, Paulina, ¿qué necesitas? –Necesito afirmar muy bien esta escalera de manera de poder subir por ella sin problemas. Fíjate, la escalera mide 5,4 metros de largo y si coloco uno de los extremos en el borde de la torre a la que quiero llegar, esta forma un ángulo de 40° con el suelo. –¿Cuál es el problema? –Es que cuando comienzo a subir, ella se dobla en el medio y me da mucho susto, se va a romper. –Bueno, necesitamos un soporte paralelo a la torre justo en el medio de la escalera... ¿Cuánto deberá medir?... Calcúlalo tú.

6u A

C

C

I.

72 u 72

1 u

6 u2 u 7 12 1u2 u

C

4u

6u

9u

a. Solo I

III.

4u

b. Solo II

A

Bu

2u

2u

2u

B

B

c. Solo III

e. Solo II y III

d. Solo I y II

2. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 14 cm y la hipotenusa, 50 cm. Entonces, la altura trazada con respecto a la hipotenusa mide: a. 1,34 cm b. 1,52 cm

c. 15,20 cm d. 13,44 cm

e. 16,44 cm

3. En la figura adjunta, ABCD es rombo, entonces la altura h mide: D

8

C

12 h A

B

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8 3 e. Ninguna de las anteriores d.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a las funciones seno y coseno? a. El dominio de seno es R − y el dominio de coseno es solo R+ b. El recorrido de ambas es el intervalo ]−1, 1[ c. Para todo ángulo se cumple que sen α = cos 90 − α

(

)

d. El valor de la función seno es igual al de la función coseno para el ángulo de 30º

e. La función coseno tiene asíntotas mientras que la función seno no las tiene 5. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es siempre cierta? 1 I. sen 30 + cos 30 = 1 + 3 2

(

)

II. cotg 45 − 3 tg 60 = 3 3 + 1 2 III. cosec 45 − sec 30 = 2 − 3 3 a. Solo I y II d. I, II y III b. Solo II y III

e. Ninguna es verdadera

c. Solo I y III

6. El triángulo de la figura es rectángulo y 3 . Entonces, la hipotenusa mide: tg α = 3

7. A una distancia de 45 m de la base de un edificio se observa su techo con un ángulo de 60°. Entonces, la altura de este edificio es: d. 15 3 m

a. 45 m

b. 45 3 m

c. 2 cm

m

8. El ángulo de inclinación de la recta 6 x − 6 y + 1 = 0 es: a. 1°

c. 30°

b. 15°

e. 60°

d. 45°

9. Según la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? a b c = = sen α sen β sen γ I. sen α = cos b a b c = = sen α α =sen tg βb sen γ II. cotg a b c = = sen sen βb sen γ III. sen α =αcosec

3 cm

a b c = = sen α sen β sen γ

a. Solo I

c. Solo I y II

b. Solo II

d. Solo II y III

e. I, II y III

10. El siguiente gráfico corresponde a la función: a. seno d. cosecante b. coseno

e. cotangente

c. tangente y 15 10 –3p –5p/2

b. 3 cm

3

c. 45 m 3

3 cm

a. 2 3 cm

15

e.

UNID AD 4

a. 8 2 3 b. 8 2 c. 4 3

d. 6 cm e.

3 cm 2

–2p –3p/2

–p

–p/2

5

–5

x p/2

p

3p/2

2p 5p/2

3p

–10 –15

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Solucionario de la Unidad Actividades de refuerzo I. 1. 2. 3. 4. 5.

6. 19, 47 7. sec2 α

Dicho cateto 3 cm 6 y 10 cotangente del ángulo

21 5 9. 67, 38 10. seno y coseno

II. 1. h = 77 cm; A = 9 77 cm 3. p2q + pq2 pq ( p + q ) = h2 h2

pq ( p + q )

Como h2 = pq

pq

= p+q =c 4. Sí, los lados son 13 mm, 84 mm y 85 mm. Además, se cumple que 132 + 842 = 852

5. Que dicho resultado no se puede expresar como una potencia quinta de algún número natural. 6. 19, 17 cm

7. a. 44º es el valor del ángulo del vértice C.

b. x = 120; como el otro lado vale 695, se tiene que sen 44 = 0, 695 .

4 65 4 65 ; cos y = ; 65 65 65 cosec y = ; cotg x = 1, 75 7

8. sen x =

9. 2

10. a = 32, 36 y b = 30, 78 11. 37, 32 u

12. 121,84º

1 cosx ⋅ cosx sen x 1 cosx = sen x ⋅ ⋅ cosx sen x

13. sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = sen x ⋅

188

14. y = –2,6 x + 5,2

U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 188

10

=1

–2p –3p/2

–p

–p/2

5

x p/2

p

–5

3p/2

2p

5p/2

3p

–10

2

2. Sí, porque cumple que el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones; d = 4

y

15

8.

6− 3 3

=

15. x = 0 y x = π

III. 1. en 38,89 m

2. De Bernardo: 38 m; de Martín: 32,9 m 3. 0,615 cm 4. La altura

5. Nelda ya que estaba a 4 m de él. 6. de 9 cm

7. Solo si son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo. 8. Que la suma de dos cubos de números naturales sea un cubo perfecto de otro natural. 9. 188,19 m 10. 23,66 m 11. 6,71 m

12. El largo del trayecto mencionado y la razón seno, por ejemplo. 13. Escriba

cateto adyacente hipotenusa cateto adyacente ⇒ hipotenusa = cos 40

cos 40 =

14. Aproximadamente 41º

15. Aproximadamente 40º

IV. 1. d

3. b

5. c

7. e

9. b

2. a

4. d

6. a

8. e

10. a

Ficha de refuerzo 5 12 12 , cos α = , cotg α = 13 13 5 13 13 sec α = , cosec α = 12 5

I. 1. sen α = 2. 37º

2/11/11 17:22:12

3. 56, 90, 106

C

g

II. 1. Para los lados, 7, 24 y 25, los ángulos son: 16, 26; 73, 74 y 90

b

2. 5,91 m 3. 69,44°

(

2. l = 2 r sen 22, 5 3.

1 − sen x ⋅ cos x sen2 x − cos2 x ⋅ (sec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x

Por lo tanto

(sen x + cos x ) (sen x − cos x ) 1 − sen x ⋅ cos x ⋅ (sec x − cosec x ) cos x (sen x + cos x ) seen2 x − sen x ⋅ cos x + cos2 x

(

(sen x + cos x ) (sen x − cos x )

(1 − sen x ⋅ cos x ) (sen x − cos x ) ⋅ (sec x − cosec x ) cos x (1 − sen x ⋅ cos x ) (sen x − cos x ) =

=

 cos x  1 −   sen x 

/ sen x

/ sen x

(sen x − cos x ) sen x (sen x − cos x )

= sen x

4. coseno y secante

II. 1. 79,82 m

)

 2  x + cos2 x − sen x ⋅ cos x  (sen x + co x )  sen   1  

=

=

b

2. Sea ABC un triángulo cualquiera como el de la figura:

B

h h' sen α = fih = b sen α senβ = ⇒ h ' = csenβ b a c b c = = h h' β sen sen b = sen fihα= a sen b senγ = ⇒ h ' = bsenγ a b fia sen b = b sen α ⇒ bsenγ = csenβ a b c b c = fi ⇒ = = sen α sen βb sen γ senβ senγ

)

cateto = 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 − x + 2

 cos x  1 −   sen x  (sen x − cos x )

h’ c

A

4 x3 + 2 x2 − x − 2 x −1 I. 1. q = ,p= , 2 x +3 2 x +3

(1 − sen x ⋅ cos x ) ⋅ = (sec x − cosec x ) cos x

a

a

Actividades de profundización

=

h

UNID AD 4

4. 14, 5

a b c = = sen α sen β sen γ

3. 13,10 y 20,24 km 4. 52,29 m

Evaluación 1 I. 1. V

3. F

5. V

7. V

9. F

2. V

4. V

6. F

8. F

10. F

II. 1. P = 24 5 u y A = 32 5 u2

2. a. Más cerca de la intersección con el eje y a 1,8 unidades versus las 3,2 unidades que lo separan del otro extremo. b. 2,4 unidades. c.

3.

(1, 44 ;1, 92)

d. 53º, aproximadamente.

225

unidades y

514 4. 16 5 y 32 5

5. 4 7 cm y 12 cm 4 7 cm

x

289

514

unidades

12 cm y 144 cm2

189 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 189

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6. 280 850 mm2 7. a. 24 13 b. Es el doble del valor del seno del ángulo en B.

6. El inverso de la razón coseno es secante. El triángulo mencionado no es rectángulo.

9. Son iguales

10.

8. 0,17

10. La hipotenusa mide 104,8 mm y el área solicitada es 911,8 mm2 a

=

b

=

c

7. a. 39° 8. 11°

9. 29°

C

sen α, 69sen sen, 31 γ . 11. αª33 ybβ ª56 

os2 x + sen2 x 1 1 1 = = ⋅ = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x cos x ⋅ sen x cos x sen x

13. No es posible, porque para poder contener dichos puntos, el ángulo de inclinación debiera ser de 71,56°. 14. Proyecciones: 7,95 y 1,05 y los catetos: 8,46 y 3,07 r fir ª2, 95 cm 15. a. tg 15 = 11 2

fi AO = 2, 952 + 112 fi AO = 11, 39 cm

b. 9,76 cm2 (nota: el radio mide 2,95 cm)

III. 1. Sí, porque mide 694 m

2. Juan José ha cometido errores en las mediciones. Las medidas son 7,58 m y 13,77 m. Por tanto, las modelos y los modelos del evento que sufrieron accidentes tienen razón. 4. Las sumas de los cubos de Ivo e Ivonne no resultan cúbicas. Esta imposibilidad está garantizada por el teorema de Fermat. 5. Si el trazo mide 3 cm, la perpendicular medirá 3,22 cm

20 cm

30º

11. 3,19 m

12. a. 47,82°

22,52 cm 62,62º

45 cm

B

b. 28,30 m c. 24,97 m

13. a. 38° aprox. b. El nogal

c. 389,81 m

14. a. El valor de la pendiente es 0,92 y el valor del ángulo de apoyo mencionado es 42,64º. b. El ángulo de apoyo del riel sobre el soporte de 21cm es 47, 36. Por tanto, el valor del ángulo de apoyo del riel sobre el otro soporte es mayor que 47, 36.

15. 58,32 m, se puede realizar el operativo.

IV. 1. D

3. E

5. E

7. C

9. B

2. A

4. E

6. E

8. D

10. B

Evaluación 2 I. 1. cotangente del ángulo 3. triángulo rectángulo 4. 2 n + 1

α ª33, 69 5. cosec a 6. 1,4 

7. 247° y 427° 8. 45°

9. El ángulo de elevación al extremo superior del edificio. 10. Para los ángulos donde se producen las asíntotas, las funciones trigonométricas no están definidas.

3,22 cm 3 cm

U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 190

A

40 cm

2. seno

3. 120 cm2

190

87,38º



2 2 1 1 1 12. cos x + sen x = = ⋅ = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x cos x ⋅ sen x cos x sen x

b. 28,86 km

47°

II. 1. 10 m; 125 m2

2. a. 12 cm y 6 5 cm o 6 cm y 12 2 cm . b. 8 cm y 10 cm o 2 cm y 16 cm.

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4. No, solo sucede con cuadrados perfectos 2 porque n2a2 = ( na ) 5. m m+n 6. sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x

1 sen x cos x ⋅ ⋅ cos x ⋅ cos x cos x sen x =1 =

Pauta de evaluación sugerida para evaluaciones 1 y 2 Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta:

= sen2 x + cos2 x

Puntaje obtenido

Indicador

7. Se ha alejado 342,5 m, aproximadamente

Número de respuestas correctas obtenidas en el ítem I (verdadero y falso o completación).

10. a. 5,4 aprox.

Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem II (asigne 2 puntos a cada uno)

8. (0,6)

9. 4,25 u aprox.

b. y = –0,9 x + 7,2

11. 172,82°

12. 56,31° y 33,69°

13. 57,32 m y 20,86 m

15. 107,02° y 72,98° 2. 1 m

3. a. 46,86 m

Total

10 30 30 10

80

Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: b. 39,05 m

4. 153, 104 y 185

Número de problemas correctamente desarrollados en ítem III (asigne 2 puntos a cada uno)

Número de alternativas correctas en ítem IV (asigne 1 punto a cada una)

14. 9,95 y 4,64

III. 1. 0,9 y 1,6 m

Puntaje total

UNID AD 4

3. 9 y 16 mm.

Porcentaje =

Puntaje obtenido ⋅ 100 80

Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede usar las tablas que se encuentran en la Unidad 1 de esta guía didáctica.

5. Forman tríos pitagóricos 6. 27,5° aprox.

7. 63,43° 8. 18 m

9. 108,43º; 104,04º y 104,04º. 10. 16,26º

11. 168, 63 km de Estación A y 133,83 km de Estación B.

12. 667,36 m

13. α ≈ 63, 43° y d ≈ 1, 12m 14. 1, 73 m aprox.

15. α = 155, 56 ;12, 08 m

IV. 1. E

3. A

5. D

7. B

9. C

2. D

4. C

6. A

8. D

10. C

191 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 191

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Bibliografía y detalle de links de la Unidad http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm Esta página contiene un breve recorrido de la trigonometría desde hace más de 3 000 años, transitando en las grandes culturas de la Antigüedad, los aportes en Medievo y concluyendo en las contribuciones de Napier y Newton (s XVII) y Euler (s XVIII). Presenta un link a la página principal “Trigonometría” y de allí algunos para el estudio interactivo de seno, coseno y tangente. Esta página está en el sitio web DAV – Departamento de Aprendizaje Visual, cuyo objetivo es vincular los recursos de la Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nacional, y las necesidades de soluciones en nuevas tecnologías aplicadas a la educación de toda la comunidad educativa.

http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/ rep030402massa.pdf Este documento, descargable e imprimible, se titula “La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de la Trigonometría: El Teorema de Pitágoras”. Involucra también un interesante desarrollo geométrico en la subsección: Los “Elementos” de Euclides. Ideas trigonométricas. Finalmente, el documento concluye que el uso de casos históricos es uno de los recursos que se puede utilizar para mejorar la motivación, transmisión y adquisición de los contenidos matemáticos en general. Las autoras son “miembras del Grupo de Historia de las Matemáticas”. Una de ellas es la coordinadora, quien pertenece al Dpto. Matemàtica Aplicada I. Universitat Politècnica de Catalunya.

http://www.publicatuslibros.com/file/Biblioteca/Libros/ Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_Historia_y_Didactica_ de__la_Trigonometria.pdf Bajo el título de “Historia y Didáctica de la Trigonometría”, este documento pdf descargable e imprimible incluye una breve historia de la trigonometría y se dedica a tratar los objetivos, metodología, actividades, etc., es decir, los aspectos didácticos para tener en cuenta en la enseñanza de la Trigonometría. El autor es Francisco Luis Flores Gil. Licenciado en Matemáticas. Universidad de Sevilla. (2001). Al final del documento se encuentra su experiencia docente y otras de tipo profesional. El sitio web que alberga este pdf es: www.publicatuslibros.com. Pertenece a Íttakus, sociedad para la información, S.L. España.

http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20 Pitagoras.xls También, esta hoja Excel es descargable y se llama ”Teorema de Pitágoras”. Usando precisamente este teorema, permite calcular la hipotenusa o bien alguno de los catetos.

El sitio donde se encuentra este material pertenece al sector Matemática, que es un portal chileno educativo esencialmente matemático.

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/ Aquí Ud. tiene un acercamiento temático a través de los links de Historia y Biografías. Esta página presenta a través de link Ayuda, Bibliografía y Enlaces Exteriores a otras direcciones web, referentes a Historia de las matemáticas. Esta página es del sitio web a cargo de ITE: Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación. Gobierno de España.

http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm Esta página completa le presenta una Historia de las matemáticas. Ud. puede revisar aquí, especialmente contexto, en “Las Matemáticas en Europa”. Está página se ubica en www. soko. com.ar , que es un sitio dedicado a difundir educación. Este sitio proporciona links para matemática, física, química y videos educativos, entre otros recursos.

http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_ p163.html), que permite dibujar triángulos con sus elementos secundarios e ir modificando los triángulos moviendo un vértice y ver cómo se mueven los elementos secundarios.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/ matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm Es una página completa dedicada al estudio de los poliedros a través de actividades que incluyen figuras coloreadas, y algunos poliedros para construir. De fácil y comprensible lectura, al final presenta un link de ACTIVIDADES FINALES, consistentes en preguntas y problemas del tema. Esta página está a cargo de A. Molina, J.Ma. Fernández y J.M. Barragán. Integrantes del departamento didáctico de Matemática del I.E.S. Arroyo de la Miel. Benalmádena (Málaga). España.

http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html La particularidad de esta página es que presenta una animación interactiva que permite plegar, desplegar y rotar distintos objetos, entre ellos, algunos poliedros. También hay links para interactuar de similar manera con otros tipos de cuerpos, como poliedros ortogonales etc. Dentro de una categoría, la figura debe seleccionarse previamente en un despliegue que se efectúa al lado del botón de Pausa. Este ultimo permite detenerla, luego cliquear y arrastrarla para hacerla rotar. La página está en inglés, pero para operar con la animación no debiera presentar alguna dificultad idiomática. Es un trabajo de investigación de François Labelle bajo la dirección de la profesora Sue Whitesides. School of Computer Science, McGill University.

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Aquí, usted podrá encontrar la manera de obtener el área y el volumen de algunos poliedros regulares. Se incluye una tabla con las fórmulas respectivas.

http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html Este lugar, con el título de “Los sólidos platónicos”, se inicia con poliedros regulares y una tabla que resume la propiedades de algunos de ellos. Sobre la figura que encabeza cada columna, se puede interactuar para hacer rotar el poliedro respectivo, a diversas velocidades y distintas direcciones. Así se le puede apreciar mejor. Posteriormente se continúa con los poliedros regulares y los griegos antiguos; los poliedros regulares con Johannes Kepler, etc. Luego hay una animación

interactiva, con instrucciones para operar con poliedros inscriptos. Finaliza con los poliedros regulares y con Maurits Cornelis Escher. El trabajo de esta página está a cargo del Grupo de Historia de la Filosofía de la Academia de Ciencias Luventicus. Rosario. Argentina.

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx ?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a028-6a13e6329d3f&ID=137573 Este es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo.

UNID AD 4

http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html

Bibliografía temática • Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2006). Trigonometría y Geometría analítica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 2ª ed. • Mercado, C. (1984). Geometría. Curso de Matemática Elemental, Tomos III y IV. Santiago: Editorial Universitaria. 5ª ed. • (1984). Curso de Matemáticas Elementales, Tomo II. Santiago: Editorial Universitaria. 9ª ed. • (1981). Test Matemática: problemas para PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago: Editorial Universitaria. 16ª ed.

• Swokowsky, E. y Cole, J. (2001). Trigonometría. México DF.: International Thomson Editores. 9ª ed. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed. • Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México DF.: Pearson. Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.

Sitios web sugeridos Otros sitios que puede visitar en relación con esta unidad.

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=teorema de Euclides&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=Trios pitagoricos&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=teorema de Fermat&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx? &ID=136020&q=trigonometría&site=educarchile • Cada uno de estos links lo llevará a una página de Educarchile, que es un portal de la educación, y que contiene, a la vez, una selección de links a sitios web que abordan el tema de esta unidad. Algunos de éstos incluyen ejercicios resueltos y/o propuestos.

Propuesta de actualización de conocimientos para el docente http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos y matemáticas, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word, pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc.

http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes.asp?categoria=704 En el buscador que presenta la página, usted puede ir por la materia que desee actualizar. El sitio web que la alberga, es un portal para investigadores y profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Además, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que se encuentran en este link.

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Unidad 5

Probabilidades... un paso más

Presentación de la Unidad Las probabilidades han jugado un papel importante en la vida de las personas desde hace muchos años. Es usual usar términos relacionados con este ámbito de la matemática a diario, es más probable esto que lo otro, tengo pocas o muchas posibilidades de realizar algo, etc. En esta unidad se quiere abordar el tema de las probabilidades haciendo énfasis en la diferencia entre la probabilidad experimental y la probabilidad que teóricamente se puede calcular. Por otro lado, en la vida cotidiana, que un evento suceda depende de varios factores, es decir, aquella probabilidad estará condicionada por otros acontecimientos. Desde este punto de vista se abordará en esta unidad también el tema de las probabilidades condicionadas. Se ha querido en esta unidad presentar, a los alumnos y alumnas, la probabilidad a través de los conocimientos que ellos ya tienen de esta, mediante un cómic. Así, se dirá que algo probable es algo que puede suceder, pero que no es seguro. También se ha hecho énfasis en la relación entre probabilidades y estadística a través de la campana de Gauss del cómic. Es conveniente ubicar históricamente a los jóvenes, por lo que aquí se presentan algunos links con los que puede complementar la introducción a la unidad. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20LMayer.pdf

El cómic al inicio de la unidad acentúa la idea de que “Lo probable no es lo que necesariamente ocurrirá”. Puede ser nuevamente usado durante el transcurso de la unidad. Puede utilizarse buscando respuestas a preguntas como, ¿Qué puede pasar? ¿Qué debiera pasar? En segundo medio se abordan las probabilidades teóricamente a través de la regla de Laplace. Para retomar el tema de probabilidades es necesario volver sobre estos conceptos y recordarlos, de manera que ellos sean naturales para los alumnos y alumnas y se puedan abordar nuevos contenidos relacionados a este. Es por esto que se ha querido tratar este tema en los conocimientos previos. Aquí se presenta la idea de probabilidad: ¿Qué se entiende por probabilidad? Según el diccionario de la Real Academia Española, probabilidad es: “Cualidad de probable, que puede suceder”; por lo tanto, diremos que la probabilidad de que ocurra algo es la posibilidad de que esto suceda. Obsérvese que se destacan palabras y expresiones como: “cualidad”,“cualidad de probable”, y que se emparentan con la expresión “posibilidad”,“posibilidad de que algo suceda”. Lo interesante del cálculo de probabilidades es que “cuantifica esta cualidad de probable”. Además, se incluye en esta revisión de conocimientos previos un resumen de los contenidos relacionados con probabilidad y regla de Laplace y algunos ejercicios resueltos. Finalmente, se

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propone una actividad para realizar en grupo diferentes ejercicios. Recuerde que también se presenta una evaluación de proceso de manera que cada alumno y alumna pueda revisar si los conceptos se han aprendido bien y aplicado de manera correcta en la resolución de ejercicios y problemas.

El mapa conceptual de la unidad es el siguiente: Probabilidad

Probabilidad experimental Ley de los grandes números

Variable aleatoria Frecuencia de una variable aleatoria

UNID AD 5

Es fundamental revisar esta evaluación de proceso de modo que ningún estudiante comience la unidad sin los conocimientos necesarios.

Cálculo de probabilidades y aplicación a problemas cotidianos

Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación para la unidad.

Objetivos Fundamentales de la Unidad • Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. • Analizar información cuantitativa presente en los medios de comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades. • Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. • Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. • Percibir la Matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.

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Planificación de la Unidad Unidad 5

“Probabilidades... un paso más” CMO

Variable aleatoria.

Tiempo de duración Aprendizajes esperados

21 horas pedagógicas.

Indicadores de evaluación

Reconocer variables aleatorias.

Reconoce una variable aleatoria.

Interpretarlas de acuerdo a los contextos en que se presentan.

Interpreta los resultados de una variable aleatoria dependiendo del contexto de la situación definida. Simula experimentos e interpreta sus resultados.

Relación entre frecuencia de una variable aleatoria y probabilidad.

Relacionar la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso.

Relaciona la frecuencia relativa de una variable aleatoria con la probabilidad de ocurrencia de esta. Interpreta correctamente gráficos y tablas en relación con la información entregada sobre variables aleatorias. Reconoce la probabilidad establecida a partir de la frecuencia relativa como una probabilidad experimental. Simula experimentos e interpreta sus resultados.

Ley de los grandes números.

Conocer empíricamente la ley de los grandes números.

Reconoce la ley de los grandes números como una aproximación de la probabilidad experimental a la teórica. Simula experimentos e interpreta sus resultados.

Sucesos equiprobables y no equiprobables.

Distinguir entre sucesos equiprobables Distingue sucesos equiprobables de y no equiprobables. aquellos que no lo son.

Cálculo de probabilidades en forma teórica.

Calcular probabilidades teóricas usando fórmula de Laplace, utilizando datos de gráficos y tablas u otros.

Calcula probabilidades teóricas utilizando regla de Laplace a partir de tablas y gráficos.

Cálculo de probabilidades mediante principio multiplicativo para sucesos independientes.

Calcular probabilidades usando principio multiplicativo para sucesos independientes.

Calcula probabilidades usando principio multiplicativo para sucesos independientes.

Probabilidad condicionada.

Resolver problemas que involucran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas.

Reconoce sucesos dependientes. Calcula probabilidades condicionadas (con sucesos dependientes).

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Desarrollo de la Unidad a) Introduciendo la unidad

• Marta tiene prueba de filosofía, ella ha estudiado, pero no está segura de sus conocimientos. Ha conversado con un compañero y saben que la profesora hará su prueba de alternativas. Marta ha decidido que en las preguntas que no sabe o en las que no esté segura de la respuesta, va a contestar al azar. Su compañero le ha dicho que ese es un pésimo plan pues la profesora hace descuentos por las preguntas mal contestadas, como en la PSU.¿Podría anticipar Marta cuál será la probabilidad de obtener una nota sobre 4?

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Algunas de las situaciones que usted puede presentar como introducción a la unidad son las siguientes:

• Mauricio fue con sus papás al casino como regalo de su cumpleaños número 18. Ellos comieron en un restaurante que tenía una excelente promoción y luego jugaron en el tragamonedas los $5 000 que le habían regalado. Como Mauricio estaba interesado en conocer los otros juegos fueron a la mesa donde se jugaba ruleta. Allí observó por un buen tiempo que de cada 4 tiradas, en 3 de ellas salía un número par. Le dijo a su papá que en las próximas cuatro tiradas el apostaría a par, si pudiera, y le aseguró de ganaría. Para jugar un rato, el papá le dijo que no apostarían, pero que él le regalaría $10000 si eso era verdad. Pasaron las cuatro tiradas y en 3 de ellas salió impar, ¿en qué falló y por qué falló el razonamiento de Mauricio?

b) Preparando cada tema

A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso.

Variable aleatoria... ¿qué es? (Página 296 del Texto del Estudiante) OFT


• Interés por conocer la realidad a través de la matemática.

• Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas.

• Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo.

• Discernimiento de resultados en

Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en niveles 4 y 5):

• Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas.

• Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella.

situaciones cotidianas.

• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora y simuladores computacionales).

• Trabajo grupal.

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En esta sección se presenta el concepto de variable aleatoria. Una variable aleatoria es una magnitud susceptible de variar azarosamente. Es decir, es una variable cuyo valor está determinado por el resultado de un experimento aleatorio. Es necesario dar varios ejemplos de la vida cotidiana y no tan comunes, distinguiendo claramente experimento aleatorio, el espacio muestral, el suceso. Por ejemplo: • “Lanzar un dado y anotar el número que aparece” Experimento: lanzar un dado. Variable aleatoria: número que aparece. Espacio muestral formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. • “Lanzar tres monedas, y ver número de caras que aparecen” Experimento: lanzar tres monedas. Variable aleatoria: número de caras que aparecen. Espacio muestral formado por 0,1, 2, 3.

Otros ejemplos que pueden considerarse son:

• El número de minutos que tienes que esperar el bus en el paradero más próximo a tu casa para ir a tu colegio un día de semana. • El número de llamadas que recibe el 133 durante un día cualquiera del año • El número de veces que debes lanzar un dado para obtener un número 3.

Es posible que un experimento aleatorio pueda tener asociadas varias variables aleatorias. Por ejemplo, lanzar tres veces un dado puede tener como variables aleatorias a: el número que aparece al sumar las pintas; el número de pares que aparece en los tres lanzamientos, la distancia entre las monedas que están alejadas, etc. Para puntualizar mejor estos conceptos, se sugieren las siguientes actividades. • Buscar siete ejemplos de variables aleatorias de la vida cotidiana. • Proponer cinco posibles juegos con tres dados, definiendo las variables aleatorias involucradas. • Lanzar diez veces tres monedas y medir la distancia entre las que aparecen más cercanas. En el lanzamiento de dados y/o monedas varias veces, se supone que cada lanzamiento está dado en las mismas condiciones, y que son independientes entre sí. Esto debiera asegurar mínimamente la validez del lanzamiento. Es por esto, y más allá del número de veces en que sea necesario repetir un lanzamiento, se usa el simulador de lanzamientos. Algunos sitios donde puede encontrar simuladores de dados, monedas y ruletas son: http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/Prob/Index.html http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php

También se pueden generar números aleatorios usando la función ALEATORIO de Microsoft Excel, o bien la misma de OpenOffice.org Calc. Este último es un recurso gratuito que se puede descargar de http://es.openoffice.org/programa/index.html

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Veamos cómo se puede utilizar Excel para generar números aleatorios:

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Abrir una hoja de de Microsoft Excel

Digitar en la barra: =ALEATORIO(1;10) y luego presionar ENTER, aparecerá un número. Se ha elegido (1;10), pensando en que trabajaremos con los 10 primeros números naturales. Usted puede elegir el rango que más le convenga.

Hacer un barrido de celdas, de manera horizontal o vertical, según sea su preferencia.

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De esta manera usted obtendrá un conjunto aleatorio de números comprendido entre 1 y 10

Otros conceptos que en esta sección se abordan son los de frecuencia relativa, sucesos equiprobables y la idea de probabilidad experimental. Con respecto a la frecuencia relativa, podemos decir que cumple varias funciones. Por ejemplo, por su carácter relacional, mide la presencia de un dato dentro del “todo” formado por los datos, a través de una razón; además, el peso gravitatorio de esta presencia en comparación con los otros. Esto se cuantifica mejor al referirnos a la frecuencia relativa porcentual. También, y de manera implícita, explica la existencia de ese dato. Lo anteriormente expuesto se verá reflejado en la relación que se establecerá entre los conceptos de la frecuencia relativa, la posibilidad y la probabilidad, diciendo: “La frecuencia relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este” En la página 299, dice: “Llamamos sucesos equiprobables a los que tienen igual posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, serán no equiprobables los que, por alguna razón, no tienen la misma posibilidad de ocurrir”. Es relevante reflexionar sobre la importancia que tienen los sucesos equiprobables, pues nos dan una característica de regularidad o no de los sucesos al espacio muestral. Por ejemplo, si al lanzar al azar un dado, la probabilidad de que un número sea igual que cualquiera otro nos está dando una regularidad de la manera como debemos sospechar un resultado. No así cuando el dado está la trucado o cargado. Cuando todos los sucesos de un espacio muestral son equiprobables, permite usar la regla de Laplace más holgadamente. De esta manera, aceptamos como sucesos equiprobables la aparición de cualquier número en el lanzamiento de un dado. En un segundo momento, podemos decir que la probabilidad de que aparezca un número par será igual a la probabilidad que aparezca un número impar en el lanzamiento de un dado normal. Pero no es necesariamente así cuando los sucesos no son equiprobables y menos aún si no se conocen, por lo menos, las relaciones numéricas entre sus probabilidades. Esto es, por ejemplo, cuando la probabilidad de que aparezca un número impar es un 70 % de la probabilidad que aparezca un par.

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Ahora bien, cuando realizamos experimentos, como lanzar un dado o una moneda, la probabilidad que obtenemos se llama probabilidad experimental. Y más operacionalmente, la frecuencia relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este.

Con respecto al número de lanzamientos que se deben efectuar: ¿Cuál es el número suficiente o cuál es el número mínimo, si es que existe, de lanzamientos que se deben efectuar para que la probabilidad experimental sea muy próxima a la probabilidad teórica? La respuesta no es tan clara. La probabilidad teórica nace de una reflexión intelectual, la abstracción de una realidad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda no trucada, nada impide pensar que la aparición de una cara esté privilegiada con respecto a la aparición de un sello. Y por esto, las posibilidades son las mismas, lo que se traducirá en que estos sucesos serán el equiprobable. Sin embargo, la probabilidad experimental está determinada por el carácter aleatorio del experimento.

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En este sentido y en contraste con lo estudiado anteriormente, debemos establecer algunas observaciones:

Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, tras la repetición de un cierto número de veces, puede aparecer que “salir cara” tiene mayor frecuencia que “salir sello”. La probabilidad experimental de la primera, es mayor que la segunda, y puede tomarse como referencia para decir, simplemente, que la aparición de una cara, y la aparición de un sello, no constituyen sucesos equiprobables. Aunque la probabilidad teórica diga lo contrario. Note que se abordan los contenidos a partir de experimentos que los alumnos pueden realizar. Es importante que realicen algunos experimentos para que se acerquen a la idea de probabilidad experimental. Primero lo harán sin simuladores y luego los usarán. Queremos destacar que a través del relato los alumnos van intuyendo los conceptos, mediante sus observaciones en los lanzamientos de monedas y de dados, aún con un dado cargado, y van intuyendo también sin darse cuenta, la ley de los grandes números, que se desarrolla en la siguiente subsección de la unidad. Note, por último, que las definiciones anteriores están formuladas en sentido de la posibilidad y no de la probabilidad de ocurrencia del suceso aludido.

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Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan? (Página 306 del Texto del Estudiante) OFT



• Interés por demostrar regularidades conocidas. Valoración de las demostraciones lógicas.


• Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo.

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en nivel 6):

• Verifica, haciendo uso de recursos

digitales, la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos.

• Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella.

• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, simuladores computacionales).

• Trabajo grupal. En esta sección se relaciona la probabilidad experimental con la probabilidad teórica, mediante la ley de los grandes números. Esta dice que el valor de la probabilidad experimental (que se obtiene de realizar un determinado experimento una cierta cantidad de veces) tiende al valor de la probabilidad teórica de dicho evento, mientras más veces se repita este. Detengámonos en algunas consideraciones acerca de este tema: • Todas las repeticiones pueden y deben efectuarse en iguales condiciones. Esto es, por ejemplo, que el lanzamiento sucesivo de un dado no debe sentirse afectado por algún daño físico, forma de lanzamiento, u otro factor que altere la calidad del lanzamiento. • El resultado de una repetición no debe influir en los resultados de las siguientes, ni tampoco haber sido influida por las anteriores. • Siempre debe haber un resultado. • Ninguno de los resultados posibles debe producirse fuera del espacio muestral. Ahora bien, la ley de los grandes números hace fe de algunos supuestos convenientes de puntualizar. • El experimento puede ser repetible una innumerable cantidad de veces, siempre en la mismas condiciones. • Supone la existencia de un cierto valor fijo y que proviene de la probabilidad teórica. Entonces cabe la pregunta si siempre es posible conocer esta información proveniente de esta probabilidad. Más aún, ¿qué ocurre cuando no se puede conocer de antemano la probabilidad teórica? ¿O cuando el espacio muestral no se puede determinar con claridad o es infinito? En estos casos se debe trabajar con funciones de probabilidad, como aquellas que se usan en variables continuas, lo que supone un manejo matemático más avanzado. Afortunadamente trabajamos aquí con espacios muestrales de fácil manejo.

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• La probabilidad experimental tiende al valor de la probabilidad teórica a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento. Ahora bien, a través de las repeticiones de un experimento se va encontrando una regularidad en la distribución de los resultados, y esto sugiere, que lo aleatorio, va perdiendo su carácter de “caótico” en sus resultados. En esta sección también se establecerá la relación entre frecuencia

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relativa y probabilidad debido a que la probabilidad se calcularía casos favorables como P = . casos totales Así, podemos notar que esto no es más que la razón que representa la frecuencia relativa de una variable. Se sugiere que sean sus alumnos y alumnas los que lleguen a estas conclusiones. Con una buena guía ellos podrán relacionar los conceptos deseados. Se presentan ejercicios propuestos para ser trabajados en forma individual y grupal y, como siempre, una evaluación de proceso al final de la sección. Recuerde que debe motivar a sus alumnos y alumnas para que esta sea contestada responsablemente. Se ha trabajado en esta sección utilizando tablas de datos reales extraídos de páginas como las de la ONU, INE, etc. Es importante que los alumnos tengan a datos reales e información sobre temas de actualidad. Se sugiere, entonces, el uso de tablas y gráficos para el cálculo de probabilidades. Un ejemplo de uso de gráficos podría ser el siguiente: (extraído del INE, http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_economicas/ turismo/cifras/cifras2009.php)

7 580 Magallanes y Antártica

403 Aisén

8 890 Los Lagos

Los Ríos

La Araucanía

Biobío

603 3 098 2 720 3 011 Maule

574 O ’Higgins

9 683 Valparaíso

Coquimbo

1100 1672 Atacama

8962 Antofagasta

Tarapacá

2966 3297

Metropolitana de Santiago

66 023

Arica y Parinacota

Nº de personas

Turistas extranjeros por región en Octubre 2009

Región

Se podría calcular, entonces, la probabilidad de que si un extranjero ingresa a nuestro país, se dirija a la región del Maule:

nº extranjeros en regiÛn región del Maule n∞ n∞total de extranjeross nº 603 ⇒ P ( Maule ) = ≈ 0, 005 ⇒ P ( Maule ) ≈ 0, 5 % 120582 ⇒ P ( Maule ) =

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Se presentan, al final de la sección, como es habitual, ejercicios y problemas de planteo para ser trabajados individual y grupalmente. Así como una evaluación de proceso para que los alumnos y alumnas puedan chequear su aprendizaje hasta esta parte de la unidad. Recuerde que, tanto en esta sección como en la anterior, se privilegia el cálculo de probabilidad en forma experimental por sobre la teórica. Haga énfasis en esto con sus estudiantes. No se está emitiendo juicio de valor alguno sobre una u otra, solo se quiere mostrar ambas y establecer su uso en situaciones cotidianas. Frecuentemente la probabilidad es un tema que, si bien a los alumnos y alumnas les interesa, no es de fácil para ellos en cuanto a la obtención de resultados. A la falta de elementos de conteo se suma la dificultad de comprensión lectora, además la sensación de incertidumbre que acompaña al tema de las probabilidades y la sensación de los estudiantes de que los problemas no se parecen entre sí. Para ayudarlos en este sentido se requiere de mucha ejercitación y acompañar a los alumnos en la lectura y análisis de cada situación. Le presentamos algunos links con ejercicios de probabilidades que usted puede usar como material complementario: http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/evaluacion.html

Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades (Página 314 del Texto del Estudiante) OFT




• Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo.

• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora).

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7):

• Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.

• Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones.

• Trabajo grupal. Se trabaja en esta sección definiendo algunos conceptos fundamentales y su relación con la probabilidad. Algunos de ellos ya se han abordado en 2º medio, pero es importante que se manejen y se recuerden antes de avanzar a la próxima sección de la unidad. Ellos son: suceso imposible, suceso seguro, sucesos independientes, probabilidad del complemento de un suceso. Entonces, podemos decir que, • Si P es la probabilidad de que un evento o suceso ocurra, entonces tendremos que, 0 ≤ P ≤ 1, o bien 0 % ≤ P ≤ 100%.

• Al suceso de probabilidad cero lo llamaremos suceso imposible y al suceso de probabilidad 1 lo llamaremos suceso seguro. Nótese como las palabras “nunca” y “siempre” toman una participación cuantificada en calcular probabilidades.

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• Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la ocurrencia del otro. Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos depende de lo que haya ocurrido con el otro. En relación con esto, que un suceso dependa de otro, en el contexto de lo contemplado en un experimento, indica que su intimidad de ocurrencia no es tan libre o azarosa, sino que está supeditada a la existencia y ocurrencia del otro suceso. Por el contrario, los sucesos son independientes cuando sus existencias y ocurrencias libres y azarosamente se mantienen sin influencia del uno por el otro.

• Los sucesos dependientes o independientes no siempre lo son, al igual que un suceso seguro y el otro nulo, no siempre lo son, sino que dependen del experimento, pero también del espacio muestral asociado a este experimento. Se sugiere dar ejemplos, destacando que simplemente aplicar fórmulas es inútil si no se relaciona con una reflexión ad hoc.

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• Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso, entonces 1 – p es la probabilidad de que no ocurra.

Se abordan estos conceptos a través de ejemplos. Ejemplifique con su curso tanto como sea necesario. En este sentido, se proponen los ejercicios del final de la sección, que tienen por objetivo consolidar estos conceptos. En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar, analizar, relacionar, resolver problemas.

Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos? (Página 320 del Texto del Estudiante) OFT





• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora).

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7):

• Resuelve problemas acerca del cálculo

de probabilidades usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.


• Trabajo grupal. En esta sección de la unidad se comienza a trabajar con probabilidad teórica en relación a sucesos independientes. Para ello, se utilizan los diagramas de árbol y se escriben espacios muestrales para facilitar la comprensión de los distintos problemas y situaciones. Recuerde que, para los alumnos y alumnas, no siempre es fácil “contar” las distintas situaciones que se pueden producir en un problema determinado. Detengámonos en algunos puntos importantes: a. El primer ejemplo trata de la probabilidad de que una persona escoja azarosamente una ruta para ir de una ciudad (ciudad 1) a otra (ciudad 3), pasando obligadamente por una tercera (ciudad 2)

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que está en medio de ambas. Esta ruta está formada por dos caminos sucesivos que son elegidos, cada uno de ellos, en una gama de tres (de ciudad 1 a ciudad 2) y cuatro caminos (de ciudad 2 a ciudad 3) posibles.

La formación y la presentación del espacio muestral también se puede efectuar a través de la siguiente tabla: Camino para ir de la ciudad 2 a la ciudad 3 Camino para ir de la ciudad 1 a la ciudad 2

D

E

F

G

A

A-D

A-E

A-F

A-G

B

B-D

B-E

B-F

B-G

C

C-D

C-E

C-F

C-G

Y la probabilidad de que la persona haya escogido, sin preferencia 1 alguna, el camino C – F, es . Esta es la aplicación de la regla de 12 Laplace. Pero, también podemos llegar hasta mismo resultado usando directamente probabilidades. Así, la probabilidad de escoger alguna

de las filas que representan al camino A, al camino B y al camino C, es 1 la misma, es decir, . De igual manera, la probabilidad de escoger 3 1 alguna de las columnas que representan a los caminos D, E, F y G, es . 4 Como la forma de elección para ir de la ciudad 1 a la ciudad 3 exige la elección sucesiva de dos caminos posibles para establecer una ruta, la probabilidad de elección mencionada también depende de las probabilidades de esas elecciones sucesivas de los dos caminos. Pues bien, al igual como se trabaja en los temas de proporcionalidad, cuando una variable z depende de otras dos variables independientes

x e y, la fórmula que las relaciona es z = K ⋅ x ⋅ y , la probabilidad de la elección de una ruta determinada depende del producto de cada una de las probabilidades de los caminos que constituyen dicha ruta. El mérito que tiene este ordenamiento en filas y columnas de los sucesos elementales es que más adelante puede usarse este mismo problema pero con preguntas relacionadas con la probabilidad condicionada, facilitando así, mediante la selección de una fila o una columna, el desarrollo y las respuestas a ellas. Ahora bien, cabe la pregunta si la probabilidad de regresar de la ciudad 3 a la ciudad 1, pasando obligadamente por la ciudad 2, sin alterar el número de los caminos, es igual a la obtenida anteriormente. La respuesta es inmediata, pues de los ordenamientos deben ser mirados simplemente al revés y se aplica nuevamente la regla de Laplace.

Se puede postular, de una manera más general, que si un suceso 1 se produce de n maneras distintas, un segundo suceso lo hace de m manera distintas, un tercer suceso ocurre de p maneras distintas, etc., todos estos sucesos son independientes entre sí, entonces la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez, o de manera sucesiva, está dada por el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos.

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Es importante también hacer hincapié en varios ejercicios de distintos tipos, que pueden ser una muestra de los casos con los que se pudieran encontrar, y considerar aquí los cambios de espacios muestrales.

Veamos la fórmula para la intersección de tres sucesos independientes A, B y C p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c , con p ( A ) = a ; p ( B ) = b; p ( C ) = c. Primeramente consideremos A ∩ B = M , por tanto, se tiene: p ( M ∩ C ) = p ( M ) ⋅ p (C )

Como A ∩ B = M , entonces p ( ( A ∩ B ) ∩ C ) = ( p ( A ) ⋅ p ( B ) ) ⋅ p ( C ). Eliminando los paréntesis correspondientes y reemplazando por los valores de cada probabilidad, se tiene p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c .

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b. Hemos encontrado una fórmula para la intersección de dos sucesos independientes. Más adelante obtendremos una fórmula para sucesos dependientes.

En la página 323 se hace alusión a un error frecuente, que consiste en encontrar la probabilidad de la unión de eventos independientes, a través de la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. El ejemplo allí desarrollado muestra claramente la forma correcta de encontrar la unión de dos eventos independientes y la manera incorrecta de hacerlo. Para encontrar la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos a la vez se procede de la siguiente manera: Por el teorema de la probabilidad total se tiene que P ( A ∪ B ) + P A ∪ B = 1.

(

)

(

)

De aquí, tenemos que P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B .

Pero ¿qué significa A ∪ B ? Es la negación total de que ocurra siquiera alguno de los dos eventos. Esto es “no debe ocurrir ni A, ni B”. Esto se escribe A ∩ B .

(

)

Por tanto, P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B , que también lo hemos escrito como P ( A o B ) = 1 − P ( no A y no B )

Una forma alternativa para P ( A ∪ B ) se efectúa de la siguiente manera. Debemos considerar tres casos que pueden presentarse en la unión de A con B. No olvidemos aquí que los sucesos pueden ser presentados mediante conjuntos. U representa el universo, pero más específicamente, el espacio muestral.

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Caso 1

A

Caso 2

B

U

B

U

A

A

B

Nótese que nada en común tienen ambos conjuntos. Esto es A ∩ B = ∅ .

A

Caso 3

U

U B

B está completamente contenido en A. A ∩ B esta contenido completamente en A y completamente en B, pero no A ∩ B = B. coincide con ninguno de ellos.

U

A

A

B

El número total de elementos de A ∪ B El número total de elementos de A ∪ B es simplemente la suma del número corresponde al número de elementos de elementos de A con los de B. Esto se de A, # ( A ∪ B ) = # A.+ # B escribe # ( A ∪ B ) = # A + # B.

U B

El número total de elementos de A ∪ B se puede pensar como la reunión directa de todos los de A, con todos los de B, pero descontando una vez el número de elementos que tienen en común, porque de lo contrario, éstos aparecerían dos veces así # ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ).

La fórmula # ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ) es la más general de las tres, pues incluye a las otras dos. Si # ( A ∩ B ) = 0 es la fórmula mencionada, se obtiene el caso 1. Si # ( A ∩ B ) = # B , entonces tenemos el caso 2.

Continuamos ahora asignando #U al número total de elementos presentes en el universo y donde están incluidos ambos conjuntos. Entonces no es difícil seguir los desarrollos:

#( A ∪ B ) = # A + # B − #( A ∩ B ) #( A ∪ B )

# A # B #( A ∩ B ) + − #U #U #U #U p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) =

/ :# U

Así hemos encontrado otra fórmula para encontrar la probabilidad de la unión de los sucesos

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) Nótese que de esta fórmula podemos tener una forma para calcular la probabilidad de la intersección, probabilidad que ya hemos mencionado para sucesos independientes. Además, podemos agregar que esta fórmula es muy usada en el desarrollo del cálculo de probabilidades. Podemos comentar que la obtención de la primera fórmula, aquella que se usa en el libro, nace sobre la base de que la probabilidad de un suceso más la probabilidad del suceso contrario es 1. Y luego la equivalencia entre el complemento de la unión de los sucesos con la intersección de los complementos de cada uno de ellos. Sin embargo,

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Note también que se han incluido en esta sección algunos elementos de combinatoria. Sin definiciones de los conceptos de permutaciones, variaciones y combinaciones, se ha trabajado con ellos en forma intuitiva. Dejaremos el tratamiento formal de esto para el taller de profundización. Al igual que en secciones anteriores se presenta, al final de ella, actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido y una evaluación de proceso para sus estudiantes. En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar, analizar, relacionar, resolver problemas.

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la segunda, aquella que presentamos como alternativa, nace de la cardinalidad, es decir, del número de elementos de la unión de conjuntos, y luego de la aplicación de la regla de Laplace.

Sucesos dependientes... probabilidad condicionada (Página 329 del Texto del Estudiante) OFT



• Análisis de procesos deductivos y establecimiento de relaciones lógicas.


Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en niveles 6 y 7):

• Resuelve problemas aplicando el

cálculo de probabilidad condicional.


• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, programa computacional para graficar).

• Trabajo grupal. Se abordan aquí los sucesos dependientes y la probabilidad de que ocurra uno de ellos, dado que cierta ocurrencia del otro ya ha sucedido. Al igual que en la sección anterior, aquí se resuelven los ejercicios con la ayuda de diagramas de árbol. Siempre un buen esquema ayuda a clarificar lo que se pide y a resolver los ejercicios y problemas. Se define, entonces, el cálculo de una probabilidad condicionada como: Si dos sucesos, A y B, son dependientes, entonces, la probabilidad de que A suceda dado que B ha ocurrido se puede calcular por la P ( A y B) siguiente fórmula: P ( A / B ) = P (B)

Nuevamente, la sugerencia es trabajar con datos de actualidad, incluso puede realizar una encuesta de interés en su curso y trabajar con ella. Por ejemplo, qué prefiere el curso para sortear la forma de evaluación de esta unidad: prueba o trabajo. Si es trabajo: grupal o individual; si es prueba: de alternativas o desarrollo y calcular sobre las preferencias de los alumnos probabilidades como: “que un alumno o alumna seleccionado de una prueba de desarrollo sí había elegido prueba”.

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Recuerde que para que los contenidos de esta sección sean bien aprendidos, los estudiantes, deben tener claro que tienen que fijar su espacio muestral primero según la primera condición establecida y, a partir de este, calcular la probabilidad pedida. Revisemos uno de los ejemplos dados, • En un curso hay 35 alumnos, de ellos 20 son hombres. Hay en el curso 5 mujeres y 8 hombres que tienen pelo rubio y el resto tienen el pelo castaño. Se elige un joven al azar del curso y este es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que tenga el pelo castaño? En el libro su desarrollo fue el siguiente: Si hacemos un diagrama tendremos que:

8 rubios

20 hombres

35 alumnos

12 castaños

5 rubias

15 mujeres

10 castañas

Según nuestro diagrama, el número de personas que tienen el pelo castaño y son hombres es 12 y como debemos restringir nuestro espacio muestral solo a los hombres, entonces tenemos que la probabilidad pedida será, 8 2 P ( rubio si es hombre ) = = = 0, 4 = 40 % 20 5

Observe que, al trabajar con porcentajes, se ha sugerido tomar un total de casos de 100 y calcular las cantidades correspondientes. Esto hace que los cálculos sean más sencillos y que los alumnos no olviden que lo que se debe hacer en realidad es calcular el porcentaje de otro porcentaje. Uno de los ejemplos dados en la unidad se explica de la siguiente manera: Otra manera de abordarlo es: Número de Rubios Número de hombres Número de mujeres Total

8 5

Número de No rubios

Total

12

20

10

15

13

22

35

Número de Rubios

Número de No rubios

Total

8

12

20

Al elegir un alumno al azar y resulta ser hombre. Esto nos hace poner nuestra atención a la reducción inmediata del espacio muestral. En la tabla consiste en considerar:

Número de hombres

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Entonces, ahora la pregunta se reduce a encontrar, en esa restricción del muestral, la probabilidad de que sea rubio. Esto se hace sencillamente aplicando la regla de Laplace. Es decir, 8 P (rubio rubio si si es es hombre hombre) = , es decir de un 40%. 20

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alumnos en total. 8 Esto es 35 . 20 35 8 Pero corresponde numéricamente a la probabilidad de escoger un 35 alumno que “sea rubio y hombre”. 20 En cambio, , numéricamente es la probabilidad de elegir un alumno 35 que “sea hombre”.

UNID AD 5

8 lo podemos mirar como la razón entre 8 hombres rubios de los 35 20 alumnos en total, con respecto a los 20 hombres que hay en los 35

Este es el motivo por el cual aparece el número 35 en el desarrollo al final de la página 329.

Otro ejemplo trabajado en el libro es:

Un informe médico sobre la diabetes señala que del total de la población chilena, el 14% indica no conocer su situación respecto a su padecimiento de esta enfermedad. Del resto, solo el 25% dice estar en tratamiento riguroso de su enfermedad. Isaías, estudiante de medicina de la Universidad de Talca, que debe hacer un trabajo de investigación sobre el tema en su región, toma esta información de referencia, y por ello, necesita calcular la probabilidad de que al escoger una persona al azar, esta no esté en tratamiento dado que no conoce de su enfermedad. (Datos extraídos de http://escuela.med.puc.cl/deptos/ saludpublica/ResultadoENS/CapIV204Diabetes.pdf) Haciendo un esquema de los datos obtenidos tenemos, Población total (100%)

Sabe 86% Sin tratamiento 75%

No sabe 14%

Con tratamiento 25%

Nota que tenemos porcentajes de porcentajes; por lo tanto, debemos tener mucho cuidado al hacer los cálculos, ya que, por ejemplo, las personas sin tratamiento son el 75% del 86%. Entonces podemos tomar un universo de 100 personas para simplificar la situación (recuerda que como los porcentajes son razones, será lo mismo si tomamos un universo mayor):

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Entonces reescribamos el esquema: Población total 100 personas 86 personas saben (86%) 65 personas aproximadamente sin tratamiento (75% de 86)

14 personas no saben (14%)

21 personas aproximadamente con tratamiento (25% de 86)

P ( sin trat ./sabe ) =

P ( sin tratamiento y sabe ) P ( sabe )

65 65 100 65 = 100 = ⋅ = ≈ 0, 76 ≈ 76 % 86 100 86 86 100

Con el mismo objetivo de las secciones anteriores se presentan, al final de ella, actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido, una síntesis de los conceptos más relevantes de la unidad y una evaluación de proceso para sus estudiantes. A modo de resumen, podemos decir que la probabilidad condicionada se produce en sucesos que son dependientes, que su cálculo proviene de la aplicación de la regla de Laplace, donde se ha restringido el espacio muestral, y que equivalentemente este mismo cálculo se puede efectuar usando la fórmula anteriormente escrita. Un trabajo más refinado sobre la fórmula nos puede conducir a: • Obtener una fórmula para encontrar la intersección de sucesos dependientes P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ) • Responder lo siguiente:

Si P ( A / B ) = 0, ¿cómo se interpreta esta dependencia nula? Esto no implica independencia, sino que P ( A ∩ B ) = 0, y esto quiere decir que ambos sucesos no pueden acontecer simultáneamente. Si ocurre uno, no es posible que ocurra el otro al mismo tiempo. Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ) ⋅ P ( B ), los sucesos son independientes Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ), A no depende de B.

Preguntarnos por la relación de condicionalidad cuando la dependencia de los sucesos se invierte, es decir, cuando el suceso dependiente hace depender al otro de él. Específicamente preguntarnos por la fórmula de P ( B / A ) y la vinculación con P ( A / B ).

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Anteriormente se dijo, que P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ).

Análogamente, podemos decir que P ( B ∩ A ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ). Pero tenemos P ( A / B ) ⋅ P ( B ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ), en palabras,

P ( A/ B)

=

P ( A)

. Que nos establece una razón numérica entre las P ( B / A) P ( B ) probabilidades absolutas de dos sucesos dependientes, en relación con las probabilidades de sus dependencias mutuas.

UNID AD 5

P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ). Haciendo la igualación correspondiente

Apliquemos esta última relación al siguiente ejercicio inspirado en el primer ejemplo analizado. Supongamos que el enunciado es el siguiente: “En un curso hay 35 alumnos y alumnas, de los cuales 13 son rubios. Hay 20 hombres, y además la probabilidad de que un hombre sea rubio es de un 40%. Se escoge uno de estos estudiantes al azar, y resulta ser rubio. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?”

Sean A y B sucesos definidos por A: “ser rubio” y B: “ser hombre”. De 20 13 esta manera podemos decir que P ( A ) = y P ( B ) = . Además, 35 35 P ( A / B ) = 0, 40. Efectuando los reemplazos tenemos

13 P ( B / A ) 20 0, 40 = 35 de aquí tenemos que = , y así P ( B / A ) 20 0, 40 13 35 8 20 P ( B / A ) = ⋅ 0, 40. Esto es P ( B / A ) = ; aproximadamente, un 62 %. 13 13 Agregamos finalmente las siguientes fórmulas para redondear el estudio de esta unidad, y que nacen de simples remplazos. Si los sucesos A y B son a. Independientes, entonces p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ) ⋅ p ( B ) b. Dependientes, siendo A dependiente de B, luego p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A / B ) ⋅ p ( B )

Por último, en el siguiente sitio web encontrará algunos ejemplos resueltos: http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf

Observación final al libro En la página 332 terminan los diálogos y las historias de cada uno de los personajes que nos acompañaron en la exposición de las unidades. Muchos de estos diálogos están tomados de la vida real de jóvenes y adultos, al igual que algunos ejercicios desarrollados y problemas propuestos. La interacción entre los personajes intenta traspasar un espíritu de búsqueda, de responsabilidad, de no dejarse abatir frente a las adversidades. Se finaliza con un poema que llama profundamente al perdón. Lo unimos con el compañerismo y la amistad al que alude la profesora que aparece en el párrafo anterior.

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Existe, como siempre al final de esta sección, una evaluación de proceso para ser realizada por los alumnos y alumnas. En el taller de la página 339 del libro se abordan las ordenaciones circulares. Esto puede analizarse mediante polígonos o figuras estrelladas inscritas en una circunferencia. Los vértices corresponden a las posiciones de las personas, y la circunferencia representa a la mesa redonda. Ahora bien, se va variando el número de personas de dos en adelante, dejando fijo uno de estos vértices y construyendo los polígonos o figuras estrelladas correspondientes. Finalmente, se propone una fórmula que permita calcular el número de permutaciones circulares con n elementos. Número de integrantes (n)

Total de ordenamientos posibles

Posibles ubicaciones

C

B

3

A

4

B

A

2=2·1

C

D

C

C

D

B

D

D

B

A

B

A

B

A

C

A

C

B

C

C

B

A

D

A

D

5

Al dejar fijo uno de los vértices, los cuatros restantes permutan entre sí, determinando las maneras de sentarse cinco personas a la mesa.

6

Al dejar fijo uno de los vértices, los cinco restantes permutan entre sí determinando las maneras de sentarse seis personas a la mesa.

n

Al dejar fijo uno de los vértices, los n–1 restantes permutan entre sí determinando las maneras de sentarse n personas a la mesa.

6=3·2·1

20 = 4 · 3 · 2 · 1 120 = 5!

( n − 1)!

Entonces, podemos decir que n personas pueden sentarse alrededor de una mesa circular de ( n − 1)!, con n mayor o igual a dos.

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Errores frecuentes

Contenido

Posible déficit

Sugerencia

Cálculo de probabilidades.

Error al contar casos favorables y casos totales debido al no uso de diagramas de árbol o espacios muestrales.

Probabilidad calculada a partir de frecuencias absolutas.

Trabajar con los estudiantes la interpretación y lectura de tablas de Lectura de tablas y gráficos. una y doble entrada y de gráficos, extrayendo información relevante de ellos.

Probabilidad de sucesos con extracción sin reposición.

No variar el espacio muestral.

Realizar experimentos de extracciones sin reposición en la sala de clases, donde los alumnos puedan experimentar el cambio de espacio muestral. Contrastarlo con aquellas extracciones con reposición.

No ajustar el espacio muestral según la condición impuesta por el suceso independiente.

Por ejemplo, si se quiere calcular la probabilidad de que se escoja una persona con lentes dado que es mujer, se deberá cuidar que el espacio muestral de la probabilidad, de A dado B, sean las personas mujeres y no toda la población. Esto quedará más claro para los jóvenes si hacen un buen esquema con los datos del problema.

Probabilidad condicionada.

Ser enfático en la construcción de los diagramas y los espacios muestrales. A medida que los alumnos y alumnas se sientan seguros y comprueben que ya no se equivocan, pueden ir prescindiendo de ellos.

UNID AD 5

Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos.

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Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad

Ejercicios propuestos en esta Guía

El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.

i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto.

Ejercicios de resumen

ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad.

Se pueden separar en dos partes: la primera corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. Note que se hace siempre énfasis en colocar TODO el desarrollo en la resolución de los ejercicios. La segunda parte son los ítems III y IV, que presentan ejercicios y problemas de aplicación. Luego el ítem V, es una evaluación en base a alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. Por último, al final de la unidad se proponen dos evaluaciones sumativas de todas las unidades.

iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente.

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Actividades de refuerzo

Nº

Probabilidad

1

0,180

4

0,140

2 3 5 6

0,140 0,210

0,150 0,180

Además se dispone de una moneda cargada, cuya probabilidad de cara es la mitad que de la de sello. Se lanzan simultáneamente la moneda y ambos dados. Se leen marca y pintas para formar claves tipo: marca, pinta del dado rojo, pinta del dado negro.

8

a. Estima la probabilidad de que en un día elegido al azar la temperatura no haya superado los 25 ºC.

7

b. ¿Qué rango de temperatura corresponde a la mayor probabilidad de haber ocurrido? Justifica tu respuesta. 3. Usando un simulador, efectúa 1 000 lanzamientos de un dado y completa así la siguiente tabla. Luego responde la siguiente pregunta: ¿Qué es más probable, obtener 15 puntos en total al lanzar 3 veces el dado simulado en tu tabla o lanzar dos veces un dado de ocho caras, no cargado, para obtener también 15 puntos? Nº

Frecuencia

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6

a. ¿Cuál es la probabilidad de la clave S, 5, 6?

b. Escribe tres claves que sean las menos probables con sus correspondientes probabilidades de aparición. No repitas los dígitos finales en tus tres claves

30 ≤ T ≤ 35

25 ≤ T < 30 10

(http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php


4

20 ≤ T < 25

15 ≤ T < 20

10 ≤ T < 15 1


1. Se dispone de un dado rojo y otro negro, cuyas probabilidades, para ambos iguales, se resumen en la tabla a continuación:

Nº de días


II. Resuelve los siguientes ejercicios de probabilidades. Recuerda revisar tus respuestas junto con tu profesor o profesora:

Temperatura Máxima T (ºC)

Horizontales Verticales 1. Sucesos donde la ocurrencia de 1. Suceso cuya uno de ellos no depende de la probabilidad ocurrencia del otro. es uno. 4. Sucesos con la misma probabilidad 2. Suceso cuya de ocurrencia. probabilidad 5. Magnitud que varía azarozamente. es cero. 6. Probabilidad calculada a partir de la 3. Razón entre los realización de un experimento casos favorables azarozo. de ocurrencia de 7. Probabilidad de un suceso que un suceso y los depende de la ocurrencia de otro. casos totales.

2. La siguiente tabla muestra el comportamiento de la temperatura de enero de 2011, en una localidad al interior de la séptima región


d. ¿La clave S, 4, 5 es favorecida en su probabilidad de formación usando estos dados con esta moneda o usando dados y monedas normales?

UNID AD 5

c. ¿Quién tiene más probabilidad de aparecer: C, 3, 4 o C, 4, 3? Justifica tu respuesta.

I. Resuelva el siguiente crucigrama con los conceptos de la unidad de probabilidades:

tienes un simulador de lanzamientos).

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4. Sean A un suceso seguro y B un suceso imposible de un mismo experimento aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que a. ambos ocurran a la vez? b. ocurra cualquiera de ellos? c. no ocurra ni uno, ni el otro? 5. La familia que es mi vecina está formada por los padres y sus cinco hijos y me piden que les saque una foto sentados en una gran banca. ¿Cuál es la probabilidad de que los papás no queden juntos? 6. Se generan números aleatorios de cuatro cifras usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, sabiendo que sus cifras se pueden repetir. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número: a. b. c. d.

de cuatro cifras distintas? que no tenga sus cuatro cifras distintas? que termine en 3 y sus cifras sean distintas? que termine en 5 o 7?

7. Glenda está eligiendo tres colores de lanas para tejer franjas tricolores, sin repetir ninguno de ellos. Naturalmente a ella le importan mucho el orden en que deben ir los colores, pero esta vez quiere jugar y los elije al azar. Dispone de 9 colores para hacerlo: rojo, morado, gris, verde, amarillo, café, azul, rosado y naranjo. ¿Cuál es la probabilidad de que forme: a. cualquiera de estas franjas de tres colores, respetando este orden?

• Café – gris - morado • Rojo – verde - amarillo

b. una franja usando solamente gris, blanco y naranja? 8. Un estudio de números aleatorios requiere considerar solo aquellos números de seis cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno cualquiera este sea impar, comience con 6, y su unidad de mil sea 5?

9. Se dispone de 8 puntos no colineales en un plano, a los que se le han nombrado por A, B, C, D, E, F, G y H, donde cada uno de ellos tiene la misma preferencia para formar triángulos. Azarosamente, se ha construido un triángulo. ¿Cuál es la probabilidad de que a. uno de sus vértices sea E?

b. uno de sus lados sea DG ? c. sea el ∆ BCF ? 10. Una dupla de dos jugadores de tenis, A y B, frente a un cierto equipo adversario cometen fallas tanto individualmente como ambos a la vez. El 10% de las fallas las comete solo A, el 13% las comete solo B y un 7 % fallan ambos. Calcula la probabilidad de que en otro partido frente al mismo equipo adversario a. no haya fallas. b. falle solo uno de los dos. c. falle A, sabiendo que ya B falló. 11. Los resultados de una encuesta sobre nivel del dominio inglés en una empresa a lo largo del país se presentan en el siguiente cuadro: Nivel de dominio

SECTOR NORTE 60

Avanzado

40

Intermedio

10

Básico

CENTRO 70 30 40

SUR 20 50 80

Se elige al azar uno de estos aprobados ¿Cuál es la probabilidad de que a. sea del Norte y tenga dominio básico? b. tenga nivel avanzado, dado que vive en el Sur? c. si se sabe que tiene nivel intermedio, provenga del Centro? 12. En un experimento aleatorio, M, N son sucesos independientes tal que P M ∪ N = 0, 20 (probabilidad de que no ocurra M ∪ N ). Hallar P ( M ∪ N ).

(

)

13. La probabilidad de que cuatro ampolletas funcionen al mismo tiempo, en una determinada instalación eléctrica, de manera independiente, es de 0,6561. Si todas tienen la misma probabilidad de funcionar en forma separada, ¿cuánto es este valor?

14. Si la probabilidad de la intersección de dos eventos, M y N, es 0,75 y la probabilidad de N es 0,95. ¿Cuál es P ( M / N )? 15. En la Industria de LCD “X_PLENDID”, el 25%, el 30% y el 40% de la producción total de 10000 unidades las realizan las fábricas A, B y C, respectivamente. Siguiendo el mismo

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Guerrero galáctico 7

50

25

40

Piloto estrella avanzado

Piloto Estrella

100

(última versión)

FIFA 2010

25

Detective III

Pinball Héroes

Nº de Descargas

Juego

1. Pancracio istra un sitio web comercial que se especializa en la venta de juegos. Las estadísticas muestran el número de las descargas promedio durante el periodo agosto - diciembre 2010 de algunos juegos más solicitados:

10

Si esta tendencia se hubiera mantenido en los tres primeros meses del 2011, responde: a. ¿Cuál hubiera sido la probabilidad del juego más preferido? b. ¿Cuáles hubieran sido los juegos equiprobables y el valor de sus probabilidades? c. ¿Qué tan probable hubiera sido que alguien hubiera descargado los tres juegos de las más altas frecuencias de descargas y de una vez? 2. –Por eso me retiré de la otra carrera –dijo Imelda, sonriendo, a la profesora de su nuevo ramo de probabilidades- Porque no me gustaban los experimentos con ratas. –¿Por qué exactamente? –Bueno, sentía que perdía mi tiempo mirando una rata que, colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco, al pulsar uno de ellos obtenía alimentos, al pulsar otro conseguía la salida de la caja y por otro, nada. Después hacer unas mediciones y sacar conclusiones de su comportamiento.

–Bueno, bueno, esto es para que veas que todo en el saber está conectado, cada ciencia sirve a la otra para avanzar... pues bien, ahora responde lo que se pregunta... a. La probabilidad de pulsar cada tecla de cualquiera de esos tres colores, por parte de la rata, no se dice. ¿Qué valor sería el más adecuado asignar a cada color para que las teclas tuvieran la misma posibilidad de ser pulsadas?, ¿cómo se llama a ese tipo de sucesos? b. Si pulsar una tecla no influye en la rata, que azarosamente elija otra determinada tecla para continuar. ¿Cómo se llaman aquellos sucesos que no influyen en la ocurrencia de uno en el otro? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la rata presione, en orden, las teclas roja, blanca y azul? 3. “Lo que me tiene más inquieto, hermanos, es no darle una solución rápida a la delicada intervención quirúrgica de papá. Estuve haciendo mis averiguaciones y supe que Ítalo es el médico más confiable, ya que de cada 10 pacientes que ha intervenido, 8 se han recuperado notablemente.

Por otro lado, me enteré que Ian, el médico de cabecera de tío Blas, también se dedica a este tipo de intervenciones, pero solo 6 de cada 10 intervenidos quedan bien. Ahora bien, puede ser que también podamos a acudir a Ulrike, la doctora alemana. Sé que 7 de cada 10 intervenidos por ella salen en perfectas condiciones. Pero con el resto del equipo médico, porque no los conozco bien. Por eso siento, hermanos, que se está pasando el tiempo, y papá está empeorando. Entonces, ¿qué tan probable es que cualquiera de los tres médicos haga la intervención quirúrgica exitosamente?, ¿qué tan probable es que ninguno de los tres médicos pueda, al mismo tiempo, solucionar esta situación de manera exitosa?”

UNID AD 5

III. Resuelve los siguientes problemas con tu grupo. Revisen sus respuestas con su profesor o profesora:


c. C


b. B

–Porque si bien ahora no estoy en el laboratorio, al mirar esta guía de trabajo que usted nos dio, un ejercicio dice así:“Una rata, colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco, pulsa dos veces las teclas al azar”.


a. A

–¿Y por qué te estabas riendo ahora?


orden de la producción de cada una de ellas, el 3%, 4% y el 5% son LCD defectuosos. Como control de calidad se toma un LCD al azar de la producción total y se le encuentra defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la fábrica:

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Material

b. Como se produjo este resultado de 3-2. ¿Qué tan probable es que haya ocurrido en la forma predicha por Adonio, considerando todos los resultados posibles? 6. Estoy atravesando el canal de Chacao, vuelvo a mi tierra, a Chiloé, después de 40 años de docencia en Matemática y Física. A mi lado va Cory, mi señora, serena contemplando el mar bajo un cielo azul. De repente me desconcentro por las risas de unos pescadores que van cerca de nosotros. Los escucho, uno de ellos dice: “...y me gané casi todos los juegos en ese bar de Puerto Montt. El juego de sacar mayor puntaje al tirar tres dados era muy fácil”. ¡Cuántas veces sorprendí a mis alumnos diciéndoles que en el juego de tirar tres dados y sumar sus pintas era más frecuente que saliera diez, en lugar de nueve! No me lo creían.

Te invitamos a que ayudes a despejar las dudas a Wendy. Responde sus preguntas. 8. “Mi mamá se ubicó a través de Internet con sus compañeras de colegio y vinieron tres de ellas a mi casa. Igual que cuando eran estudiantes, hablaron, cantaron, se rieron... ¡jugaron hasta Bachillerato! He aquí cuando más gritaban:“que stop”, “que cinco puntos”, “que no vale”, “no, porque jibia no se escribe así”, “que eso es trampa”, “que esa letra es muy difícil”,en fin. Aquí te muestro la hoja de mi mamá cuya última fila no la alcanzó a contestar, según ella porque se puso muy nerviosa”.

Américo

A M L

T

C

Nombre

País Argentina

10 Macarena México Luis

10 5

Tobías

5

Titulo de película

Asno

Amanecer

Mono

Anafe 5

Mecha

10

10 Machuca

5 5 10 5 Luxemburgo Lagartija Lonchera La nana Tasmania

10

10

0

10

0

Cornelio

Animal Objeto

Toro

Total

Imagínate la cara de alegría que va a poner Adonio cuando se entere. Ahora responde tú.

7. Wendy es jefa de personal y debe nominar una terna para la propuesta del ascenso funcionario. Este año no es fácil decidir porque hay cinco muy buenos funcionarios e igualmente merecen ser considerados. Ellos son Jeremías, Genaro, Delia, Cidalia y Rogelia. ¡Qué terrible situación! Después de mucho meditarlo, dio una condición a la terna: que incluya a Cidalia en primer lugar. Después pensó, “¿qué tan probable es que acepten por lo menos alguna de las ternas donde incluyo a esta funcionaria en el primer lugar? Y más aún, ¿qué tan posible que acepten la que tengo en este momento en mente? ¡Uf, total, yo solo propongo!”

Letra


a. Sobre el total de cinco goles, ¿qué tan probable es que se haya dado este resultado, considerando todas las posibilidades?



Algo en el relato hace creer que se hizo trampa. ¿Puedes contestar qué es?



4. “Claro, compadrito. Le cuento que ese día en que dejamos de vernos gané jugando todo mi dinero. Tiré dos dados, de esos comunes, y saqué 11 puntos en total, con lo que dejé enloquecidos a los otros jugadores. Entonces ellos, Bencho, Mañungo y Segua, me dijeron que había hecho trampas. Bueno, no vale entonces –les dije–. Tiré de nuevo los dos dados y saqué 13 puntos en total. Tenía el 100 % de probabilidades de ganar. Me dieron el dinero, nada de contentos, y aquí estoy... frente a usted”

5. “Secreto Deportivo vence tres a dos a Deporte Oculto en espectacular partido por la final del Fútbol 2010”, era uno de los titulares de prensa. Adonio había apostado, a sus amigos que Secreto Deportivo ganaría, diciendo incluso, que los dos primeros goles los haría su equipo...


Te desafío a ti, joven estudiante, a decirme las probabilidades de ambos y ver que lo que digo es cierto.

¡Difícil situación, ¿no?! Tú sabes de probabilidades, respóndelas.

40

35

40 5 31 minutos, Tetera la película 30 5 5 10 Crepúsculo 15 5 0 0

10

10

(Nota: las letras las eligieron al azar, se otorgan 5 puntos si hay coincidencia con otra compañera; 10, si no hay coincidencia con nadie; 20 para la única persona que haya llenado el recuadro y 0 si no contesta)

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d. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué haya tenido 20 en la columna de animal y cualquier otro valor distinto a este número en la otras columnas con 0?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera tenido treinta puntos en total?

9. “Y nosotros con María Teresa estábamos temblando antes de entrar al examen de Matemática. Fue un poco difícil, pero de las cinco preguntas que nos hicieron, nos dijeron que respondiéramos solo tres, a nuestra elección y en el orden que quisiéramos, pero que lo hiciéramos lo mejor posible. Y valían 12 puntos cada una de las preguntas. A pesar de todo, ¡aprobé, mamita, aprobé! ¡Y María Teresa también!” ¿A quién no le habrá pasado algo similar? Pero no todos se han preguntado, ¿qué tan probable es que hubiera ocurrido justo esa elección? Bien, te lo preguntamos ahora y esperamos tu respuesta a esta última pregunta. Considera todos los casos posibles. 10. –¡Qué regodeón!, ¡tan linda que es Jackie, y el tonto no se fija en ella! Anda pendiente de esta otra chica de la vuelta, que ni lo toma en cuenta. –¡Ah pero tú lo conoces bien! –Sí, él pretende ser muy exclusivo en sus gustos. Tiene sus preferencias: le gustan de pelo caoba dorado, nariz respingada europea, esbelta, de ojos verdes claros y que cante lírico.

–Oye ¿y qué tan probable es que una mujer que pase por la calle en estos momentos reúna estas características? ¿O qué exista?... –Ja ja, se nota que nos hemos puesto hasta matemáticas para hablar. Ja ja. Pero esto que acabas de conocer es un problema de probabilidades. Basta que digamos que cada característica que se describe constituye un suceso independiente. Entonces responde: ¿qué tan probable es encontrar azarosamente la mujer descrita en el relato? 11. ¿Te acuerdas de Imelda? Aquella alumna a la que no le gustaban los experimentos con ratas. Ya la ayudaste a resolver el problema anterior, de probabilidades, ahora te envía este problema para que lo resuelvas. “Una rata colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco pulsa dos veces las teclas al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la tecla blanca? b. ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o las dos veces la tecla blanca? 12. La fiesta de baile de antifaces organizada por la refinada Penélope Lambar está realizándose en uno de los salones de un lujoso hotel. Ella porta un antifaz dorado y, para el resto de los invitados, ha designado antifaces rojos y negros: Nueve de los rojos los usan damas de las veintitrés invitadas y los trece rojos restantes, los llevan algunos caballeros de los veinticinco invitados. En medio de la fiesta donde están ya todos los invitados, un caballero invita a hacer un brindis en honor a la bella Penélope. Secundando la iniciativa, una dama improvisa magistralmente algunas arias de óperas famosas. Y finalmente, Edgar, único en romper el protocolo, se retira su antifaz por un momento y recita un poema.

UNID AD 5

–¡Ah! Y una de cada cien, que cante lírico.


c. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué haya tenido 20 en la columna de animal?

–¿Y qué más? ¡Ya se me olvidó!


b. ¿Cuál es la probabilidad de que para la letra C las puntuaciones escritas de izquierda a derecha no hayan sido 20, 10 y 5; 10, 20 y 5; ni 0, 10 y 5?

–Claro y una de cada cinco, esbelta; una de cada diez debe tener ojos verde claro y...


a. ¿Cuál es la probabilidad de que para la letra C las puntuaciones escritas de izquierda a derecha hayan sido 20, 20 y 10?

–Bueno, una de cada cien mujeres debe tener el pelo caoba, y creo que una de cada diez debe tener nariz respingada europea... ja, ja.


Imagínate que todas las letras con sus recuadros presentan la misma dificultad para responderla de manera independiente. Conforme a la última fila:

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La velada continúa con música, grata conversación y baile. Una persona invitada, presa de un estado de decepción, es la primera en retirarse lanzando a la salida del hotel su máscara roja. Sin considerar a la bella Penélope, ¿cuál es la probabilidad de que: a. el caballero del brindis porte antifaz negro? b. la dama que improvisa arias tenga antifaz rojo?

c. el color del antifaz de Edgard sea rojo o negro? d. la persona que se ha retirado, presa de un estado de decepción, sea hombre? 13. Ignacio es médico forense y jefe de su unidad, y está revisando las estadísticas de la época señalada en el cuadro en busca de alguna pista para su investigación de casos clínicos. Te invitamos a que analices, al igual que él, los datos, respondiendo las preguntas que abajo se encuentran.

Región de Atacama: total de defunciones por año de ocurrencia, según grupos de causas de muerte. Período 1997 - 2003. Defunciones Clasificación internacional

Grupo de causa de muerte

Año de ocurrencia 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

A00-Y98 A00-A09 A15-A19 A20-B99 C00-C97 D00-D48 D50-D89 E00-E90 F00-F99 G00-G99 H00-H59 H60-H95 I00-I99 J00-J99 K00-K93 L00-L99 M00-M99 N00-N99 000-099 P00-P96 000-099 R00-R99 V01-V98

Total Enfermedades infecciosas intestinales. Tuberculosis. Otras enfermedades infecciosas y parasitarias. Tumores malignos. Tumores in situ, benignos y comportamiento incierto o desconocido. Enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos y ciertos transtornos que afectan el mecanismo de la inmunidad. Enfermedades de las glándulas endocrinas, de la nutrición y metabólicas. Trastornos mentales y del comportamiento. Enfermedades del sistema nervioso. Enfermedades del ojo y sus anexos. Enfermedades del oído y de la apófisis mastoides. Enfermedades del sistema circulatorio. Enfermedades del sistema respiratorio. Enfermedades del sistema digestivo. Enfermedades de la piel y del tejido subcutáneo. Enfermedades del sistema osteomuscular y del tejido conjuntivo. Enfermedades del sistema genitourinario. Embarazo, parto y puerperio. Ciertas afecciones originadas en el período perinatal. Malformaciones congénitas, deformidades y anomalías cromosómicas. Síntomas, signos y hallazgos anormales clínicos y de laboratorio no clasificados en otra parte. Causas externas de morbilidad y de mortalidad.

142 1 107 1 093 1 103 1 138 1 163 1157 1 7 8 5 7 5 1 2 11 4 5 6 7 5 10 23 22 17 13 17 13 29 271 243 244 240 249 277 278 12 11 9 16 10 7 17

4

28

6

27

2

37

5

34

6

51

1

55

11

48

12 19 0 0 263 144 64 4 2

15 11 1 0 288 144 68 4 0

8 15 0 1 271 166 77 8 3

12 16 0 0 294 161 64 3 9

18 16 0 0 300 157 74 3 4

18 24 0 0 319 148 80 1 3

21 26 1 0 303 135 64 1 7

57

56

51

33

40

34

53

26 0 32 15

148

21 0 30 22

126

31 2 25 22

94

30 0 29 28

103

39 0 22 15

105

http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/demografia_y_vitales/estadisticas_vitales/pdf/causas_de_muerte_regiones%202003.PDF

32 1 19 23

102

26 3 17 14

91

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e. ¿Sabiendo que una persona falleció por causas externas de morbilidad y de mortalidad, en qué año es menos probable que haya acontecido? 14. Rolando es un ingeniero especializado en artículos electrónicos de la famosa Industria especializada “Etronik”. Lo han enviado a hacer una demostración, ante un grupo supervisor externo a la industria, de un nuevo aparato electrónico que consta de dos motores, para un primer control de calidad. Él explica minuciosamente las partes y el funcionamiento del aparato. Uno de los supervisores le pregunta acerca de la posibilidad de que fallen los motores. Rolando responde diciendo que la probabilidad de que falle el primero de ellos es de un 20%, de que fallen los dos es de 15 % y que falle solo el segundo es de un 30 %. Los supervisores le piden que encienda el aparato y transcurridos unos segundos, falla el segundo motor, pero igual sigue funcionando. Rolando, preparado para esta situación, continúa dando más explicaciones técnicas hasta que de pronto, falla el primer motor. Entonces, un segundo supervisor le pregunta “¿Qué tan frecuente es que ocurra este tipo de fallas que estamos presenciando?” Otro agrega,“Y si hubiera sido al revés, ¿qué tan probable es que falle el primero y un poco después, el segundo?” El grupo supervisor encontró que el producto no podía pasar este primer control. Rolando, un poco amargado, se preguntó “¿Qué tan probable es que no hubiera ocurrido ninguna falla?” Calcula tú las probabilidades pedidas.

–Nada me explico al respecto, Myriam. Solas, sin equipos, sin nuestros compañeros, sin celulares que funcionen, sin teléfono y para colmo caminos cortados. ¿A qué nos enviaron? ¿A ver llover? –Pero recuerda que nos informaron que en el poblado donde están nuestros compañeros la probabilidad de lluvia es de un 10% más que acá, donde la probabilidad de lluvia es de un 60% en esta época del año. –Sí, y un 35% de que llueva en ambos poblados. Oye, Myriam, sabiendo que acá sigue lloviendo, ¿qué tan probable es que donde están nuestros compañeros también lo esté?

–Buena pregunta, Sonia, y al revés, seguramente alguno de nuestros compañeros dirá si acá llueve, ¿qué tan probable es que llueva también donde Sonia y Myriam estén? –¿O que llueva...? –¡No sigas! Porque es hora de ir a dormir. –¡Sí! Porque mejor es decir ¡Al mal tiempo, buena cara! Ja, ja. Vamos a nuestros dormitorios a descansar. Buenas noches. Te invitamos a que respondas a las tres interrogantes planteadas en la conversación de Sonia y Myriam.


d. ¿Qué es más probable que hubiera ocurrido, una persona fallecida por alguna enfermedad del sistema circulatorio en 1999 u otra fallecida por tumor maligno en el 2003? Justifica tu respuesta.

–¿Para qué nos habrán mandado antes acá, tan lejos, a este poblado, si aún no llegan ni nuestros equipos?


c. ¿Cuál es el rango de variación de las probabilidades de las enfermedades del sistema respiratorio? Expresa tu respuesta incluyendo el año.


b. En 1997, según clasificación internacional, ¿cuáles fueron las causas más probables de defunción, las que se inician su código con A o las que inician su código con N? Justifica tu respuesta

15. Myriam y Sonia fueron enviadas a un poblado costero en búsqueda de evidencias de muerte de algunas especies marinas. Ambas forman parte de un equipo de investigación integrado por oceanógrafos, biólogos marinos, entre otros. Ya es medianoche, y en el segundo piso miran hacia el mar. Ven solo una noche oscura, y la lluvia no ha cesado. Para no despertar a la familia que las alberga, conversan en voz baja. Pregunta Myriam a Sonia:


a. ¿En cuál de estos años fue mayor la probabilidad de que una persona haya fallecido por enfermedades al sistema respiratorio? Justifica tu respuesta

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IV. Marca la alternativa correcta: 1. En un dado cargado, la probabilidad de que al tirarlo salga dos es: 1 a. 6 1 b. 2 c. Igual a la probabilidad de que salga un 3. d. Igual a la probabilidad de un cuatro y un cinco a la vez. e. No se puede determinar, pues al estar cargado, ningún número tiene la misma probabilidad. 2. La probabilidad de que al extraer tres monedas de una bolsa que contiene 5 monedas de $5, 5 monedas de $10 y 30 monedas de $100 se obtengan exactamente $115 es: 1 1 d. a. 1 600 120 3 75 b. e. 256 5 928 75 c. 988 3. Si A y B son sucesos independientes y la probabilidad de A es 0,4 y la de B es 0,2, entonces la probabilidad de que A o B sucedan es: a. 0,08 b. 0,48

c. 0,52 d. 0,60

e. 0,92

4. De un total de 100 entrevistados, el 20% de ellos dice preferir las bebidas a los jugos naturales. De aquellos que prefieren los jugos, el 10% prefiere el de frutilla, el 20% de melón y el resto de naranja. Si se escoge un encuestado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera el jugo de frutilla si se sabe que prefiere los jugos? a. 8%

b. 10%

c. 20% d. 40%

e. 60 %

5. En un juego de cartas con naipe inglés se sacan dos cartas al azar. Se extrae la primera, se anota su pinta y número y se vuelve a colocar en la baraja. Luego se extrae la segunda y se procede de igual manera que con la primera. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un rey y un as de la misma pinta? 1 1 d. a. 676 104 1 1 b. e. 2704 169 1 c. 364

6. ¿Cuál(es) de los siguientes sucesos tiene(n) la misma probabilidad de ocurrir? I. Sacar 10 al lanzar dos dados no cargados.

II. Escoger un huevo al azar de la docena que mi mamá tiene en el refrigerador III. Elegir una de todas las posibilidades de ordenar una bandera roja, una azul y una verde. a. Solo I

d. Solo I y III

b. Solo II

e. I, II y III

c. Solo I y II 7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. El valor de la probabilidad experimental de un suceso se acerca al valor de la probabilidad teórica de este a medida que se aumenta el número de veces que se repite el experimento. II. A un suceso imposible no se le puede calcular su probabilidad de ocurrencia debido a que es imposible. III. El valor de la probabilidad de un suceso puede variar en el intervalo ]0, 1[. a. Solo I d. Solo I y III b. Solo II

e. Solo II y III

c. Solo III

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c. 20%

e. 40%

I. La probabilidad de que al escoger un joven al azar este prefiera el pub B es mayor que la probabilidad que prefiera el pub A.

9. La tabla adjunta muestra los resultados del control de calidad de dos artículos, A y B, en una fábrica. Los artículos se clasifican en alta calidad y calidad media. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un artículo al azar este sea de alta calidad, sabiendo que era del tipo B? a. 46% b. 48% Tipo A

d. 54%

Alta calidad

Calidad media

54

46

48

III. La probabilidad que un joven, escogido al azar prefiera el pub A dado que es hombre es, aproximadamente, 21%

e. 100%

52

a. Solo I

d. Solo I y III

b. Solo II

e. I, II y III

c. Solo I y II 60 40 20 0

34

22 A

Preferencia de pubs 46 28

B Pubs

40

36 C

Hombres Mujeres



Nº de personas

B

c. 52%

II. La probabilidad de que al escoger un joven al azar esta sea mujer dado que prefirió en pub C es, aproximadamente, el 70%

UNID AD 5

b. 16, 6 %

d. 30%


a. 10%

10. El siguiente gráfico muestra los resultados de una encuesta que se ha realizado a jóvenes sobre su preferencia al momento de elegir uno de los tres pubs más nombrados de la ciudad. A partir de esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?


8. De los libros que tiene mi papá en la biblioteca, 2 son de Matemática, 4 de Física, 6 de Historia y 8 son novelas. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno al azar, este sea de Historia?

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Material

I. Resuelve los siguientes ejercicios:

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. En una bolsa coloca cuadrados de cartulina: 3 rojos, 4 azules, 2 amarillos y 5 negros. Extrae uno de ellos al azar (sin mirar) y anota el resultado, vuelve a colocar el cuadrado dentro de la bolsa. Haz este experimento 20

veces. Calcula la probabilidad de que salga 2 azul. ¿Coincide con el valor , que representa 7 su probabilidad teórica? Justifica tu respuesta.

2. La probabilidad de que se extraiga un

calcetín rojo desde una cajonera llena de calcetines sueltos (que no forman pares), donde hay calcetines rojos, verdes y morados 2 3 es y la de que se extraiga uno morado es . 9 5 Determina: a. la probabilidad de extraer uno verde.

b. la probabilidad de que si se extrae un calcetín y luego se vuelve a colocar en la cajonera y por último se extrae otro, el primero sea verde y el segundo morado. 3. Dado el siguiente gráfico, que representa las preferencias de un curso, por sexo, respecto a su fiesta de graduación, responde en porcentajes: Fiesta de graduación: ¿con papás o sin ellos? Nº de alumnos

Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable

Ficha de refuerzo

20 15 10 5 0

12

18 8

Hombres

7

Fiesta con papás Fiesta sin papás

Mujeres

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la fiesta se realice sin los papás?

1. Por un terrible accidente, a Heriberto se le ha abierto su pastillero y se han mezclado los remedios que llevaba en su bolso de viaje. Él tenía para sus vacaciones 12 paracetamoles, 15 remedios para la presión, 8 pastillas para la circulación y 20 antialérgicos. Afortunadamente, cada tipo es de un color distinto. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos pastillas al azar la primera sea para la presión y la segunda sea un antialérgico? 2. Maritza ha conseguido un trabajo de verano en un supermercado, donde debe llevar las estadísticas de los productos de la línea de desodorantes para una reconocida marca. Ella debió completar la siguiente tabla, que indica las ventas de tres tipos de desodorantes en una semana y, por tanto, representan las preferencias de las personas. Determina: Tipo de desodorante De bolita Aerosol En barra

Para mujeres

Para hombres

53

12

30 37

75 13

a. la probabilidad de que la próxima persona escoja, al azar, un desodorante de bolita. b. la probabilidad de que una persona escoja, para su uso personal, un desodorante en barra si esta es hombre. c. la probabilidad de que una mujer escoja un desodorante en aerosol o de bolita para ella. 3. A Esteban le encanta jugar scrable, aquel juego de formar palabras. En su último juego presintió que su probabilidad de ganar era muy baja, ya que debía formar una palabra de 3 letras, legibles y con significado conocido, y solo tenía cuatro letras: a, f, e y l. ¿Cuál era la probabilidad de formarla?

b. ¿Cuál es la probabilidad de preguntarle a un hombre y que este opine que la fiesta debe ser con los papás?

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Orlando con una cita inolvidable. Solo hay un problema y es que Orlando es muy austero; por lo tanto, no aceptará ir a todos los lugares que Ingrid tiene planeado. Ella ha calculado 1 que la probabilidad de ir a comer es y de ir 3 2 al cine es . Tal como lo había previsto, 5 Orlando le dice que elija uno o lo otro, o que se queden en su casa escuchando música,

¿cuál es la probabilidad de que Ingrid vaya al cine o a comer? 3. “¡Cuando gane el Kino me compraré todo lo que quiera! –le dijo Leo, enojado, a su papá–. Mañana mismo me compraré uno y ya vas a ver... todo lo que yo quiera”. Su papá pacientemente y no haciendo caso a sus berrinches le preguntó: “¿Cuál es la probabilidad de que lo ganes si supones que solo se imprime una combinación por cartón?” (recuerda que gana el Kino quien acierta 14 números de 25)

4. “Las reglas del concurso de baile son un tanto extrañas –pensaban Teresa y Clemente–. Existen 4 equipos, cada uno de ellos con 6 parejas. Nos han dicho que para la próxima selección de temas escogerán una pareja de cada equipo, pero que no puede ser ni el hombre ni la mujer mejor calificada de los equipos. ¿Cuál es la probabilidad de que nos escojan a nosotros para representar a nuestro equipo?”

6. “Hoy compré mi nuevo auto y el próximo lunes me lo entregan. Como la patente de todos los autos que he comprado han comenzado con K y terminado en 7, me pregunto ahora cuál será la probabilidad de que nuevamente mi patente sea de ese tipo, sabiendo que ahora las patentes están formadas por dos consonantes y cuatro dígitos. Calcúlalo por mí”. 7. Los informes realizados en una clínica con respecto a los enfermos arrojan los siguientes datos: un 45 % de ellos ingresa por problemas respiratorios, un 35 % por problemas estomacales y un 20 % por otras patologías. De los enfermos ingresados, la probabilidad de que sean dados de alta (completamente sanos) es, respectivamente, un 0,6; 0,8 y 0,9, dependiendo de la patología de ingreso. Calcula la probabilidad de que si un enfermo es dado de alta, haya ingresado por una patología estomacal.


celebrar los casi cuatro años de noviazgo con

b. las dos bolitas sean del mismo color.


2. El 14 de febrero se acerca. Ingrid quiere

a. la primera sea roja (de la primera urna) y la segunda sea blanca (de la segunda urna).


1. Pedro y Luisa están haciendo una apuesta. Ellos lanzan una moneda al aire tres veces. Pedro dice que es más probable obtener al menos 2 caras que obtener al menos 1 cara y 1 sello y Luisa dice lo contrario. ¿Cuál de ellos tiene razón y cuáles son estas probabilidades?

5. Se tienen dos urnas con bolitas de colores. La primera contiene 8 rojas, 9 blancas y 3 negras. La segunda contiene 4 blancas, 12 rojas y 4 negras. Calcula la probabilidad de que, al extraer dos bolitas, una de cada urna:


I. Resuelve los siguientes ejercicios y problemas:

UNID AD 5


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Instrumentos de evaluación Mediante esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores, hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta guía como propuesta son: • escalas de apreciación • listas de cotejo • trabajos grupales formativos • actividades individuales o grupales de estudio • evaluaciones sumativas

a. Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las propiedades de las raíces, es: Nombre del estudiante: Curso:

Fecha:

Actividad: Promedio obtenido:

Porcentaje de logro:

Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, de acuerdo con esta escala (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden). A:

He aprendido

B:

Algunos temas aún me cuestan

C:

La mayoría de los temas me cuestan Indicador

A

B

C

¿He aprendido los conceptos de la sección? ¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto con mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?

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b. Listas de cotejo Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es:

UNID AD 5 Realiza las tareas dadas

Aporta al trabajo de su grupo

Realiza los ejercicios propuestos

Alumno

Muy bueno (7,0 - 6,0) Bueno (5,9 - 5,0) Suficiente (4,9 - 4,0) Insuficiente (3,9 - 1,0) Pregunta cuando tiene dudas

MB: B: S: I:

Es capaz de verbalizar los conceptos fundamentales

Escala:

Trabaja bien en clases

Curso:

Abarca Juan Baeza Lorena

También se puede aplicar al trabajo individual. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad.

c. Trabajos grupales formativos Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces los alumnos logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos de manera aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como trabajos grupales y cómo serán evaluadas.

d. Actividades grupales o individuales de estudio Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como preparación para la prueba de unidad. Recuerde que es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún otro tipo de estrategia. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores, como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos, deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus alumnos, solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó.

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e. Coevaluación Entendida como aquella evaluación realizada entre pares de una actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573

Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA:

: INDICADORES

Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2

1

3 4 5

4 = SÍ 8 = NO

2

3

4

Total

1. Ayuda a los integrantes del grupo 2. Cumple con lo que el grupo le encarga 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros

f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos deben calcular. Esta se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas.

De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para que sirvan de apoyo al docente.

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Evaluaciones efectuado 1 000 lanzamientos de una moneda, cuyas frecuencias se presentan en gráfico circular:

1. y son ejemplos de dos sucesos equiprobables 2. La probabilidad de escribir dos vocales seguidas en el computador, sin mirar la pantalla, es 3. Un evento cierto es, por ejemplo,

4. La probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda salga 4 y cara es

5. Si el equipo de fútbol “Mañanitas” tiene probabilidad de ganar igual a 0,1; de empatar igual a , entonces, la probabilidad de perder es

6. y son ejemplos de sucesos dependientes 7. Un suceso imposible tiene probabilidad igual a

8. La probabilidad de un suceso está siempre entre los valores 9. La probabilidad de sacar tres números pares de una urna con números del 1 al 20 al hacer tres extracciones simultáneas y sin reponer los números es 10. La probabilidad de escoger dos compañeros en tu curso de modo que el primero sea hombre y la segunda sea mujer es

II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Usando un simulador, se han efectuado 1 000 lanzamientos de dados, cuyos resultados se presentan en el gráfico de barras. Análogamente, con un simulador se han

Lanzamiento de monedas

0,161

0,169

0,180

0,174

0,190 0,180 0,170 0,160 0,150 0,140

0,154

I. Completa cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda:

Lanzamiento de dados 0,162

Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor o profesora.

1 2 3 4 5 6

0,505

0,495

CARA SELLO

UNID AD 5

Evaluación 1

El experimento consiste en lanzar dos veces el dado consecutivamente y luego la moneda una vez. Se forman los productos de las pintas y se acompaña con C o S según proceda.

a. Ordena de manera descendente los siguientes resultados: 6 S; 24 C; 6 C y 29 S, de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia, indicando en paréntesis el valor encontrado. ¿Qué llama la atención de uno de estos valores respecto del tipo de suceso? b. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de: (20 C / 10 C )?

c. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de que aparezca ya sea 20 C o 10 S?

2. La probabilidad de un dado cargado es proporcional a su pinta. Es decir, P (1) = x ; P ( 2) = 2 x ; P (3) = 3 x etc. Se lanza cuatro veces y se ha formado la secuencia 3 – 5 – 4 – 2. ¿Qué es más probable: que esta secuencia aparezca usando un dado no trucado o este? Justifica tu respuesta.

3. Se consideran todos los números de tres cifras divisibles por 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al azar se encuentre uno de ellos si en la bolsa que los contiene hay: a. solo números de tres cifras que contienen números divisibles por dos y por tres a la vez? b. números comprendidos entre 100 y 999? c. números impares de tres cifras?

4. En una pequeña sala de ventas de automóviles hay siete vehículos, y uno de ellos viene con defectos. Dos personas entran

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a comprar automóviles. ¿Cuál es la probabilidad de que:

porcentaje de probabilidad tienen sus moradores de:

a. los dos primeros que se vendan sean sin defectos?

a. tener uno de los dos servicios?

b. el segundo automóvil comprado no sea defectuoso, sabiendo que el primero comprado no es defectuoso? c. el primero que sea con defecto y el segundo sin defecto d. el segundo automóvil comprado no sea defectuoso, sabiendo que el primero lo es? Ahora bien, ¿qué llama la atención del resultado anterior con respecto al tipo de suceso? 5. Con las letras o, d, c, s, i, r, t, e se pueden formar palabras con o sin sentido en nuestro idioma. Escribe una palabra con sentido. ¿Cuál es la probabilidad de formación de dicha palabra? 6. Supongamos que formamos todos los números posibles de 5 dígitos con las cifras 2; 2; 2; 2; 5; 5; 5; 5. Si tomamos uno de esos números al azar, cuál es la probabilidad de que la suma de sus dígitos sea menor que 20?

7. “Somos siete amigos que hacemos fila para entrar al cine. Al llegar a la ventanilla, nos informan que solo quedan 4 entradas. Uno de nosotros decide retirarse. Así que tenemos que repartirnos azarosamente las entradas. ¿Cuál es la probabilidad de que, por esto, yo no ingrese?” 8. Se generan azarosamente números enteros de cinco cifras con repetición a partir de dos conjuntos posibles: 0, 2, 3, 4, 6, 7 y 2, 4, 5, 7, 8, 9. Responde: a. ¿Tiene la misma probabilidad de ser formado 44 444 a partir de cualquiera de los dos conjunto de números? Justifica tu respuesta. b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar, azarosamente, un número formado a partir del segundo conjunto y que sea múltiplo de 10? ¿Por qué se produce este resultado?

9. Una encuesta realizada en una ciudad pequeña reveló que el 35% de los hogares tienen Internet en su casa, el 31% tienen TV por cable y 20% ambos servicios. Se elige un hogar de los encuestados al azar. ¿Qué

b. no tener ninguno de los dos servicios? c. tener TV por cable si se sabe que tienen Internet? 10. El siguiente cuadro muestra la composición del personal de una empresa PERSONAL PROFESIONALES ISTRATIVOS AUXLIARES Mujeres Hombres

45 40

70 50

35 30

Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea:

a. mujer, sabiendo que es profesional? b. hombre, dado que no es auxiliar? c. profesional o istrativo, dado que no es hombre? 11. Sean A, B y C sucesos, donde B y C son independientes, en un mismo experimento aleatorio, tal que, 2 3 1 P ( A ) = ; P ( B ) = ; P ( C ) = . Encontrar: 3 5 2 a. P ( B ∩ C / A ) b. P ( A / B ∩ C )

12. En un Centro de enseñanza, el 80% del alumnado es de Enseñanza Media y el resto de Enseñanza Básica (7º y 8º). En la redacción de una revista interna participa el 10% de los de Enseñanza Básica (7º y 8º) y el 5% de los de Enseñanza Media. ¿Qué probabilidad existe de elegir a alguien que: a. sea de la redacción, resulte ser de Enseñanza Media? b. no sea de la redacción, sea de Enseñanza Básica (7º y 8º)?

13. Dos dados son lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de un dado sea 5 sabiendo que la suma es 8? 14. Si A y B son sucesos de un experimento aleatorio la P ( A / B ) = P ( A ) a. ¿Cuánto es P ( A ∩ B ) ?

b. Conforme a tu respuesta de a., ¿qué concluyes con respecto a la dependencia o independencia de A y B?

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es ir con su pololo y una amiga con otro amigo que les acompañe. ¿A quiénes invitar? A Ofelia, Oriana e Isa, por un lado, y a Elmo, Ramón y Bartolomé por el otro. Pero al momento de decidir vienen los problemas, porque no todos se llevan bien. Ofelia y Elmo pueden ir sin problemas, pero ¿Ofelia con Ramón o Bartolomé? ¡jamás! Ahora, Oriana con Elmo o Ramón no tienen problemas, pues son muy buenos amigos entre sí, pero ¿Oriana con Bartolomé? ¡Ni pensarlo, terminan peleando siempre! En el caso de Isa, con Elmo no puede ser, porque mutuamente se desagradan, pero ella con Ramón o Bartolomé, ningún problema.

a. menor que 4

b. mayor que 2

c. menor que cuatro, pero mayor que 2

d. no menor que 4, dado que no es mayor que dos

III. Resuelve los siguientes problemas:

1. Dalmiro D, estadístico, va a pasar, junto a su esposa, quince días de vacaciones a un centro de aguas termales de la Región de La Araucanía. Al momento de registrarse, la dueña, Orielle, se da cuenta de que Dalmiro es hijo de Alamiro D, una persona que la orientó en los comienzos de su actual negocio, cuando ella vivía en Puerto Varas, y le pidió cierta ayuda. Ella le expresa que si bien es cierto que la ido bien, la competencia con otros centros es muy fuerte. Entonces él le da algunos consejos básicos:

b. incluya a Ofelia? c. incluya a Isa, pero no a Ramón? d. considere a Oriana y se lleve bien? e. descarte a Oriana? f. incluya a Bartolomé, dado que fue elegida Ofelia?

Noviembre - Diciembre

Septiembre - Octubre

Julio - Agosto

Mayo - Junio

Marzo - Abril

Enero - Febrero

¿Qué hacer?... Le contó a su pololo, y como él los conoce, le dijo que eran ideas suyas, que confiara porque él va a elegir, de entre ellos, la pareja más apropiada. Conforme a la percepción de Karina, y a la elección de su pololo, ¿cuál es la probabilidad que la pareja elegida a. se lleve bien?

“Por eso le digo, Sra. Orielle, que para empezar es bueno tabular los datos como lo estoy haciendo ahora con la información que usted me ha dado: Nº de visitantes Tramo en promedio por mes bimestres

UNID AD 5

15. Una urna contiene nueve bolas numeradas del 1 al 9. Determina la probabilidad de que al extraer al azar una bola esta sea:

g. se lleve bien, sabiendo que incluye a Elmo? 3. –Bueno, compadre, cuénteme qué pasó con sus tres amigos.

30

42

57

51

33

27

– Mire, compadrito, estábamos sentados en la cantina de Doña Tinita, como al mediodía del sábado pasado, y decidimos jugar a los dados de colores, esos de caras cuadradas. Un juego muy fácil. Tiramos cuatro dados iguales, donde cada cara está pintada de un color distinto. Después vemos el color de la cara cuadrada superior; quien tiene más cuadrados del mismo color, gana. Empezamos a apostar dinero, era un juego rápido, hasta que cuando todos llevábamos suficiente dinero acumulado, hago mi tirada y me salen todas las caras azulitas. ¡Esperen! les dije, les apuesto toda mi plata a que puedo tener cinco caras azules en total. Ellos se echaron a reír.

Accedieron apostando todo también. Junté los dados, con las caras azules hacia arriba y

Ahora, estime usted la probabilidad de que uno de los visitantes haya estado: a. En los tres bimestres de menor concurrencia. b. En los dos bimestres seguidos de mayor afluencia de visitantes” 2. Al participar en el concurso de radio:“Mi pareja ideal”. Karina se ha ganado una cena para cuatro personas, con show bailable, en un lugar muy bello de la ciudad. Además, está feliz porque este evento es para el 14 de febrero, el día de los enamorados. Todo parece bien, pero piensa que lo más adecuado

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formé un gran cuadrado. Ahora cuenten, cuatro cuadrados de los dados y el grande que he formado. Así que vengan para acá con su dinero porque lo he ganado limpiamente. No me creyeron otra vez, pero la evidencia estaba a la vista. ¿Qué le parece mi relato compadrito? ¡Este es su compadre Venancio, pues! a. A pesar de la evidencia de Venancio y conforme a las reglas del juego dadas al comienzo ¿cuál es la probabilidad de que el total de los cuadrados de igual color sea cinco en cuatro dados cargados o no? ¿Por qué? b. ¿Cómo se llaman el evento de la pregunta anterior? c. Escribe un evento seguro considerando los colores de los dados. 4. Ramiro va a hacer una fiesta en el salón comunitario de su villa. Mientras el encargado del recinto conversa algunos detalles para dar la autorización, pregunta: –¿Que tipo de amigas y amigos van ser los invitados? –Bueno la mayoría son jóvenes, algunos chispeantes y sensibles. Veinte en total, incluyéndome. –Ah, jóvenes, chispeantes y... ¿sensibles? –Sí, así le llamo a aquellos que bailan “solo lentos”, son ocho en total. ... –Yo le hablo de otras cosas, Ramiro. De dónde vienen, por ejemplo, o si vendrán en vehículo. Un poco después de dada la autorización, Ramiro pensó que no es mala idea clasificar un poco a los invitados; así se puede programar mejor la música. Entonces hizo el siguiente esquema con el número de amigos correspondientes en cada clasificación. Chispeantes

Creativos 6

1 2

2 4

Sensibles

5 0

Determina la probabilidad de que una de las personas invitadas: a. sea creativa y baile solo lentos. b. sea solo chispeante. c. sabiendo que no es creativa, no baila solo lentos. d. sea sensible, chispeante y creativa. e. sea chispeante, dado que baila lentos. 5. “Ignacio pertenece a un club privado de carreras de caballos y me invitó a la gran final del Premio Equino dorado. Yo fui ilusionada... nos sentamos en una mesa para dos para ver en una pantalla gigante un espectáculo divino y emocionante, la carrera final entre El Mueca sugerente y El Jarana caprichoso. Todos gritan de porcentajes de éxito a favor de uno o el otro. Él me contó que era más seguro apostar a El jarana caprichoso, que tenía una probabilidad de ganar la carrera de 75%, en contra de 70% del otro, por eso aposté a ese caballo. Aquí le interrumpí, le puse mi mano derecha delicadamente sobre su boca y, en voz baja, mirándolo fijamente a sus ojos, le dije, juega a empate, Ignacio, porque en este juego o ganas o pierdes. Entonces bajé mi mano, la posé un segundo sobre la suya y... la carrera empezó...”. Conforme al relato, responde: a. Que gane “El Mueca sugerente” o que gane “El Jarana caprichoso” son suceso de distintas probabilidades de ocurrencia. ¿Cómo se llama a este tipo de sucesos? b. ¿Cómo se llama a aquellos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente? c. ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente gane la carrera “El Mueca sugerente” y pierda “El Jarana caprichoso”? d. Si existiera la posibilidad de un empate, ¿cuál sería su probabilidad? 6. Luzmira, Liberto, Lamberto y Lola tienen que presentar su exposición final sobre los cambios climáticos y deben abarcar cinco aspectos en el orden dado por su profesora de Ciencia, y cada aspecto debe ser explicado por un integrante del grupo. Ella les había advertido que todos deben saber la materia al exponer y que no se extrañaran si hace que pasen los cuatro, o tres, o dos, o solo uno de ellos para explicarla. Sin

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Descubrieron que hay siete órdenes distintos en la presentación que definitivamente no les favorecen.“Bueno, dijo Lola, si ya sabemos esto, ¿qué tan probable es que no aparezcan estos órdenes? De todas maneras, es mejor que nos propongamos dominar toda la materia”. ¿Cuál es la probabilidad aducida por Lola? Expresa tu respuesta porcentualmente con aproximación a la décima.

7. Al regreso del paseo, en el verano de 1991, nos quedamos aislados por la crecida del río. La noche estaba estrellada, pero oscura. No había nada ni nadie en ese campo. Al rato, un hombre fornido bajó de su camioneta, se acercó a mi vehículo y me pidió una linterna.

Empezó a dirigirse con señales de luces cortas y largas hacia un punto luminoso en las faldas de un cerro. Paraba y seguía insistiendo. Minutos más tarde, del otro lado respondieron de similar manera. ¡Calma me dijeron mis dos amigos, está ayudándonos con sus claves!, es código Morse. El hombre me devolvió la linterna y nos dijo, que ya venía la ayuda y se alejó. Llegó la ayuda, pero nunca supimos quién fue”. El código Morse es un método según el cual cada letra o número es transmitido de forma individual con un código consistente en rayas y puntos. Así se pueden formar mensajes. Hoy es perfectamente utilizable cuando hay condiciones atmosféricas adversas, que no permiten el empleo de otros medios. Por ejemplo, la siguiente secuencia quiere decir “Hola”, donde los / , // son separadores de cada letra y el orden de . y - importa. //.... / --- / .-.. / .- // Halla la probabilidad de formar letras de cuatro símbolos a. con igual número de . y b. con tres . y una c. que contenga de uno a tres .

8. A puerta cerrada y tras acaloradas discusiones, los del directorio de TV logran aprobar el orden en que deben ir los dos cantantes, el humorista y las dos coreografías para el día de apertura de un festival de la canción, dejando fijas las dos competencias, la folclórica y la internacional 2012, que será transmitido a todo el país y también por señal internacional. Por supuesto que nadie iba con el ánimo de discutir las treinta maneras de las posibles ordenaciones.

La primera de las propuestas sin distinguir nombres es cantante: coreografía, humorista, coreografía, cantante y la otra es coreografía, cantante, humorista, cantante, coreografía. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija:

UNID AD 5

embargo, ella lo determinaría al momento de la exposición. Esto no los dejó conformes y están analizando lo peor que les puede ocurrir para la mencionada exposición. Confiesan que todos no dominan completamente la materia. Por ejemplo, no les conviene el siguiente orden: Luzmira, Liberto, Lola y Lamberto.

a. Ninguna de estas dos propuestas b. Una en la que se tenga un cantante al final de la presentación c. Una en la que se tengan los cantantes en tercer y quinto lugar de la presentación Lee atentamente y luego responde las preguntas 9 y 10. –¡Alto ahí!, ¡levanten las manos de inmediato! –nos gritaron mientras, caminábamos hacia ellos los siete sobrevivientes del último ataque aéreo por parte del enemigo –Somos del poblado vecino. Soy Rafael N, ingeniero aeronáutico, con mi mujer, Natalia, mis tres hijos, más dos de mis colaboradores. Aquí tengo mi autorización estatal... 9. Una vez en la base conversan... –Sus radares no son tan seguros. –No es verdad, el ingeniero jefe nos garantiza que nuestros radares, independientes entre sí, actualmente detectan en un 90%, 93% y 96% algún avión del enemigo. Aunque ya resistimos el último ataque... –Ustedes siguen confiados... ¡Yo no lo haría, Señor! En cualquier momento puede haber un ataque y sus radares están fallando. ¡Hay vidas humanas en peligro! Sus radares han sido intervenidos por alguien que está en esta base, están funcionando intencionadamente mal. –¿Está insinuando que entre nosotros alguien está traicionándonos, espiando, trabajando para el enemigo?... ¿alguien descomponiendo radares?... ¡Mucha imaginación don Rafael N!

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A las 3:58 un avión explorador del enemigo ronda los cielos de la base. 10 minutos más tarde comienza un bombardeo enemigo. ¡Ataque sorpresa! Supongamos que los radares no fueron intervenidos y el rendimiento es el mencionado. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión explorador no haya sido detectado por ninguno de los radares? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión haya sido detectado por cualquiera de los radares? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión haya sido detectado solo por el de mayor rendimiento? 10. Una hora después cesa el fuego, hubo mucha pérdida de las instalaciones y algunas bajas. Luego, terminada una reunión extraordinaria, el encargado de la base se acerca a Rafael e irónicamente le comenta: –Al parecer, los hechos confirman su teoría del supuesto espía... –La guerra no es un juego, señor. Las vidas perdidas no se recuperan. Si hoy mis hijos están aterrorizados por nuestras atrocidades, mañana, junto a los suyos, nos juzgarán por nuestras acciones... El encargado de la base, golpeado entre otras cosas por estas palabras, decide nombrar una comisión de cinco de las siete personas de su confianza para investigar la situación. Determina la probabilidad de que en la comisión esté presente: a. la persona de más confianza del encargado. b. el supuesto traidor. c. la persona de más confianza y el supuesto traidor, que no son la misma persona. 11. –¡He pasado la vergüenza del siglo con Tino! Era nuestra tercera salida como novios y decidimos ir al cine. Alcanzamos a sacar las entradas, él corrió a comprar una bolsita de caramelos con surtido de tres sabores: naranja, limón y guinda en la dulcería del costado de la caja. La película recién estaba empezando, nos acomodamos. Como a la media hora del inicio, silenciosamente, le pedí

que me pasara un caramelo y me dio uno de guinda; en seguida, se le cayó uno a suelo que no recogió, tomó otro echándolo a su boca. Súbitamente, me tomó la mano, me la apretó y saltó de su asiento, expulsando violentamente de su boca el caramelo. Este fue a dar como proyectil a la cara de otra joven que también estaba con su novio. Hubo una mala interpretación del hecho por parte de los afectados, se produjo un escándalo y tuvimos que abandonar el cine en medio de las pifias. Discutimos afuera y todo porque a él no le gusta el de sabor a naranja. –¡Uf, amiga! ¡Qué pena! ¿Qué dulces compraron? –Unos nuevos. Venían 10 de naranja, 5 de limón y 3 de guinda. Una reacción inesperada y sobredimensionada para la ocasión, por decir lo menos. Pero:

a. ¿Con qué probabilidad se produjo este acontecimiento si el caramelo que cayó fuera de limón? b. Teniendo en cuenta que el primer caramelo fue de guinda y el último de naranja, ¿cuál de las tres secuencias posibles de sabores de los caramelos extraídos del paquete hubiera sido la menos probable de ocurrir? indica su valor. 12. Andrés acaba de dar la PSU y está esperando sus puntajes. Desea entrar a ingeniería y ha estado averiguando en varias universidades los requisitos para ingresar. Entre tantas búsquedas, se encontró con un informe que decía que en una de sus preferidas, el 20% de los alumnos estudian arte, el 30% ciencia y el 50% ingeniería. Ahora bien, los que terminan la carrera de arte son un 5 %; 10% la de ciencia y el 20% la de ingeniería. Si tomara un alumno al azar ¿qué tan probable será que a. haya terminado su carrera y sea de ingeniería? b. sabiendo que es de ingeniería, haya acabado su carrera? c. sea de ingeniería si ha acabado su carrera?

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13. Angélica y su grupo están haciendo un trabajo de investigación para su colegio y han elegido el tema de los pueblos autóctonos de nuestro país. Con el título de “Conozcamos cada vez más a nuestro pueblos originarios” van a hacer una exposición, que abarque varios aspectos, incluso alguno para usarlo en la clase de Matemática. La fuente de información proviene de “ESTADÍSTICAS SOCIALES DE LOS PUEBLOS INDÍGENAS EN CHILE - CENSO 2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR EL INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN CONVENIO CON EL MINISTERIO DE PLANIFICACIÓN NACIONAL”. Composición de la población indígena por sexo y regiones (n) R.M. 98124 XII. XI. X. IX. 101004 VIII. VII. VI.

49499

4848

3878

26526

III.

2430

2764

3362

II.

11391

I.

24327

52594

27381

4671

9310

IV.

4241

3886

4701

V.

4802

93 330

102946

9528

11839

24762

Mujeres Hombres

http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/ estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_ indigenas_2002_11_09_09.pdf

Ellos dijeron:“la población indígena total es de 692192 habitantes indígenas. Este es nuestro total de referencia para nuestros cálculos”. Responde: ¿cuál es la probabilidad de escoger una persona indígena al azar y que a. sea mujer? b. sea de la I Región y sea hombre? c. sabiendo que es de la IX Región sea mujer?

e. sea de la II o III dado que es mujer? f. siendo hombre, sea de la Región Metropolitana? g. sabiendo que es mujer, pertenezca a alguna de las regiones X, XI o XII? h. dado que proviene de la región donde hay menos población indígena, sea hombre? 14. Antonio asistió a un programa de televisión y durante su desarrollo salió sorteado para pasar a concursar en la sección “la puerta ganadora”. Él tenía la posibilidad de elegir una entre 3 puertas A, B o C para quedarse con lo que había detrás de ella: un departamento amoblado en Viña del Mar. Todas las puertas son igualmente posibles de contener el premio. El animador dijo: –¿Cuál puerta elige usted, Antonio? –La puerta A –¿Respuesta definitiva, Antonio? –Sí, la puerta A

5872

4176

d. que pertenezca a la VI, VII u VIII y sea hombre?

UNID AD 5

d. Por otro lado, ¿qué será más probable: encontrar un alumno que haya terminado sabiendo que es de ciencia o encontrar un alumno que haya terminado sabiendo que es de arte? ¿Por qué?

El animador, que conoce exactamente dónde está el premio le abre la puerta C, donde no está el premio. Entonces le ofrece la opción de cambiar de puerta. Se produce mucha tensión, el público grita a favor o en contra de la puerta A... Entonces, como queremos que Antonio gane, la pregunta va para ti: ¿Debe Antonio aceptar la nueva posibilidad cambiando la puerta A que eligió inicialmente o no? ¿Por qué? Justifica usando probabilidades. 15. Tamara es asistente social y Paula, sicóloga laboral. Ellas atendieron el año 2010 a 800 trabajadores provenientes de tres ciudades, C1, C2 y C3, y que trabajaban en cuatro industrias, I1, I2 ,I3 y I4, según lo indica la tabla adjunta. Ciudad

C1

C2

C3

I1

65

60

25

I4

170

130

100

Industria I2 I3

50 40

30 20

40 70

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Como una forma de iniciar un seguimiento para su trabajo del 2011, eligen al azar uno de estos trabajadores y necesitan responder las siguientes preguntas. Ayúdales a hacerlo y responde tú. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido a. trabaje en I2, sabiendo que él vive en C3?

a. 0,19% b. 0,38%

c. 1,9 % d. 3,8 %

5. Si A y B son sucesos independientes, tales que P ( A ) = 0, 56 y P ( B ) = 0, 21 , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

b. viva en C2, dado que trabaja en I1 o I4?

I. P ( A ∩ B ) = 0, 1176

d. viva en C2 o C3, dado que trabaja en I1 o I3?

a. Solo I

c. Solo III

b. Solo II

d. Solo II y III

c. si se sabe que vive en C1, trabaje en I2 o I4?

IV. Marca la alternativa correcta:

1. La probabilidad de que al lanzar una moneda, tres veces sucesivas, se obtengan dos sellos es: 1 3 5 a. c. e. 8 8 8 4 2 b. d. 8 8

2. La siguiente tabla muestra los resultados de un estudio sobre dos de las enfermedades más comunes en los adultos mayores: diabetes y artrosis. Según los datos en ella, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una persona encuestada esta tenga artrosis si era mujer? 28 28 24 a. c. e. 55 50 55 27 27 d. b. 50 55

Enfermedad Hombre

Diabetes

Artrosis

42

48

56

Mujer

54

3. La probabilidad de que al elegir un alumno de tu colegio este sea hombre o mujer entre 4 y 19 años es: a. 0

b. cualquier número del intervalo ]0, 1[ c. 1 d. 2

e. No se puede determinar, pues faltan datos. 4. Matías tiene una bolsa llena de bolitas de colores. Tiene 10 rojas, 4 verdes, 8 azules, 5 blancas y 7 negras. La probabilidad de que al extraer tres bolitas consecutivamente estas sean verde, negra y blanca, en este orden, es aproximadamente:

e. 38 %

II. P ( no A ) = 0, 44 III. P ( no B ) = 0, 79

e. I, II y III

4 6. Si la frecuencia relativa de un suceso es , se 33 puede afirmar que: I. la probabilidad del suceso es, aproximadamente, 12%

II. el suceso ocurrió 4 veces de un total de 33 que se realizó el experimento

III. la probabilidad es 0,12.

a. Solo I

c. Solo III

b. Solo II

d. Solo I y III

e. I, II y III

7. Juan tiene 4 posibilidades de tomar el ramo de Cálculo; 3, de tomar Estadística y 2, de tomar Geometría el próximo semestre, dependiendo del profesor que lo dicte. Si Juan no tiene preferencia por ningún profesor en particular, la probabilidad de que elija 1 de las posibles combinaciones que puede hacer es: 1 1 1 c. a. e. 6 10 24 1 1 d. b. 12 9

8. La probabilidad de escoger un múltiplo de 5 entre los 100 primeros números naturales es: a. 20 %

b. 15 %

c. 10 % d. 2 %

e. 1%

9. La probabilidad de escoger una bolita gris de la urna de la figura, que contiene bolitas todas del mismo tamaño y peso, es la misma que: a. la probabilidad de escoger una blanca. b. la probabilidad de escoger una negra.

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d. la probabilidad de escoger una negra y una blanca. e. no se puede determinar la probabilidad pedida.

4. ____ Si dos sucesos son dependientes, entonces cada uno de ellos tiene probabilidad 50% de ocurrir.

5. ____ Que mañana sea jueves es un suceso dependiente. 6. ____ Si la probabilidad de que A suceda es 0,4, entonces la probabilidad de que no suceda es 0,6.

7. ____ Si dos sucesos son equiprobables, la probabilidad de que suceda uno o el otro está dada por la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

10. Dado el siguiente gráfico, que muestra los atrasos registrados en un colegio durante el año 2009, si se elige un alumno al azar de los que han llegado atrasados durante el año, ¿cuál es la probabilidad, aproximada al entero, de que sea de segundo ciclo básico (5º a 8º básico)?

122 109 92 120 117 112 149 108 92 138 132

62 7 0 10 3 11 8 16 5 10 7 11 10 15 20

160 140 120 100 80 60 40 20 0

KA KB 1ºA 1ºB 2ºA 2ºB 3ºA 3ºB 4ºA 4ºB 5ºA 5ºB 6ºA 6ºB 7ºA 7ºB 8ºA 8ºB IºA IºB IIºA IIºB IIIºA IIIºB IVºA IVºB

Nº de atrasos

Atrasos 2009

Cursos

a. 20% b. 25%

Evaluación 2

c. 30% d. 35%

e. 40 %

Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor o profesora. I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada afirmación según corresponda: 1. ____ La nota de mi prueba de Matemática es una variable aleatoria. 2. ____ La probabilidad de dos sucesos independientes está dada por el producto de las probabilidades de cada uno de ellos.

UNID AD 5

c. la probabilidad de escoger una negra o una blanca.

8. ____ Si juego al cachipún con un amigo, la probabilidad de ganar es 0,5.

9. ____ La probabilidad de sacar un número par y luego uno impar al lanzar dos dados consecutivamente es la misma que sacar un múltiplo de cuatro y luego un número impar. 10. ___ La probabilidad de que el número de teléfono de mi casa comience con 1 es 0.

II. Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Se dispone de un dado de ocho caras cargado y, en mil lanzamientos, se obtuvo la siguiente distribución de frecuencia: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 Frecuencia 80 130 110 150 135 170 145 80

a. Indica la probabilidad de el(los) número(s) que tiene(n) más baja frecuencia relativa e indica el valor de esta. b. ¿Cuál es la probabilidad del número que se acerca más a su probabilidad teórica, es decir, a aquella de debiera tener en un dado de ocho caras normal? ¿Por qué? c. Encuentra la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 7 en un lanzamiento.

d. Encuentra la probabilidad de obtener un 4 y luego un 7 en dos lanzamientos

e. Encuentra la probabilidad de obtener un total mayor o igual a 4 al sumar las pintas que aparecen en dos lanzamientos.

3. ____ Un suceso cierto tiene la misma probabilidad de ocurrir siempre.

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2/11/11 17:26:45

45

75

95

60

800 ≤ S ≤ 950

650 ≤ S < 800

500 ≤ S < 650

350 ≤ S < 500

200 ≤ S < 350

Sueldos Nº de (miles de trabajadores pesos)

2. En una empresa, la distribución de los sueldos líquidos mensuales de los trabajadores es la siguiente:

25

Estima la probabilidad de que si un trabajador es elegido al azar, a. su sueldo sea de por lo menos $500000.

b. su sueldo sea por lo menos de $350000, pero no los $800000 c. su sueldo sea el menos probable de ser escogido y a qué rango de sueldo corresponde. Justifica tu respuesta.

3. “Tengo tres repisas donde quiero que estén mis libros de cine, los de Matemática y los de Filosofía, cada grupo en una repisa distinta. Los quiero ordenados uno al lado del otro de manera vertical. Sé que tengo 120 maneras posibles de ordenar mis libros de cine y solo 30 de ellas me gustan; de las 24 maneras posibles de ordenar mis libros de Matemática, solo 15 de ellas me gustan y de 6 maneras posibles de ordenar mis libros de Filosofía, solo 1 de ellas me gusta.

¿Cuál es la probabilidad de que al pedirle a una persona que ordene azarosamente cada repisa y conforme a mis preferencias, acierte a. en las tres? b. en cualquiera de ellas? c. solo en las de Cine y Filosofía? d. únicamente en la de Matemáticas?”

4. Sean A y B sucesos, tal que p ( A ) ⋅ p ( B ) = 0

a. ¿Qué puedes decir del valor de p ( A ) o de p ( B )? b. Conforme a lo anterior, ¿qué tipo de suceso es por lo menos uno de los dos?

5. En una repisa, hay carpetas similares, numeradas de 1 a 6, y colocadas de manera ordenada. Accidentalmente caen al suelo y el encargado de la oficina las vuelve a colocar en su lugar, pero descuidando el orden en que estaban. ¿Cuál es la probabilidad de que solo las dos primeras estén es el orden inicial y las otras definitivamente desordenadas? 6. Se generan números aleatorios de cuatro cifras usando 0, 1, 2, 3, 4, donde éstos pueden repetirse. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número que: a. contenga solo cifras impares? b. sea par, dado que sus cuatro cifras son distintas? 7. Para un evento formal, Javier debe combinar muy bien su vestimenta. Dispone de tres chaquetas, cuatro pantalones, seis camisas, cinco corbatas, siete pares de calcetines, tres pares de zapatos. Con estas prendas de vestir debe formar una tenida adecuada. Suponiendo que cualquiera de las que elija combinan, encuentra la probabilidad de elegir una tenida donde a. incluya una de sus dos corbatas preferidas, la chaqueta que más le gusta, sus mejores zapatos y aquel pantalón que le queda mejor. Con el resto de las prendas no tiene preferencia alguna. b. no lleve una de las dos chaquetas que menos le gustan, tampoco aquellos calcetines que están un poco viejos, ni esa camisa que le queda un poco apretada. Con el resto de las prendas no tiene preferencia alguna. 8. Se han colocado en una tómbola todos los números de seis cifras que pueden formarse y se decide elegir al azar uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cifras iniciales se repitan y sus dos últimas cifras sean divisibles por 4?

9. Para un campeonato nacional femenino se dispone de cinco atletas de la Ciudad del Este y cuatro de la ciudad del Oeste para formar el equipo regional. El equipo debe estar formado por tres atletas de la Ciudad del Este y dos de la otra ciudad. Determina la probabilidad de que Trinidad, de la ciudad del Oeste, quede junto a su amiga Antonia, que es de la ciudad del Este.

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personas asaltadas habían pedido mayor presencia policial y el 5 % de las personas que no han sido asaltadas pidieron mayor presencia policial. Si un habitante que pertenece a esta municipalidad es escogido al azar y expresa la necesidad de pedir mayor presencia policial, ¿cuál será la probabilidad de que haya sufrido un asalto?

a. atienda reclamos, reparaciones y ventas?

14. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, donde P ( A ) = 0, 72 y P ( B ) = 0, 65 y

b. atienda reclamos? c. atienda reclamos y ventas? d. sabiendo que atiende reparaciones, además atienda reclamos y ventas? 11. La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de personas según dos aspectos por considerar: hábito de fumar y presencia de bronquitis. HÁBITO DE FUMAR FUMA NO FUMA

BRONQUITIS SÍ

NO

150

130

95

125

De acuerdo a la tabla, encierra las alternativas que puedas deducir y anota la cantidad de personas a la que afecta. a. Fume y tenga bronquitis b. No fume ni tenga bronquitis c. Dado que tiene bronquitis, fume d. No fume, dado de que tiene bronquitis e. No tenga bronquitis, dado que fuma f. No fume o tenga bronquitis 12. Un computador tiene cargados dos programas antivirus, A y B, que actúan simultánea e independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A lo detecta con una probabilidad de 0,8 y el programa B lo detecta con una probabilidad de 0,9. Calcula la probabilidad de que: a. un virus sea detectado.

b. un virus sea detectado por el programa A y no por B.

13. Una de las municipalidades recoge cierta información que dice que el 1% de los habitantes de su jurisdicción han sido asaltados. Confrontándola con informaciones anteriores, se tiene que 2 de cada diez de las

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(

)

P A ∩ B = 0, 532. Encuentra:

UNID AD 5

10. El turno habitual de una central telefónica requiere que 5 de los funcionarios atienda exclusivamente reclamos, 7 solo reparaciones y 18 solo ventas. El resto de los cuarenta atienden reclamos, reparaciones y ventas. El supervisor llama al azar a uno de ellos para pedirle una información de su gestión. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. P ( A ∩ B ) b. P ( A / B )

c. ¿Son A y B independientes? ¿Por qué? 15. Sean A y B dos sucesos independientes, asociados a un experimento aleatorio. Además, sea P ( A ) = 0, 4 y P ( A ∪ B ) = 0, 7. ¿Cuál es el valor de P ( B )? (Recuerda que P ( A ∪ B ) = 1 − P ( no A ∩ no B ) )

III. Resuelve los siguientes problemas:

1. Era mi primera semana de práctica como estudiante egresado de Psicología. Atender un centro de rehabilitación de jóvenes por consumo de drogas era una tarea difícil y por eso la elegí. El coordinador del Centro me pasó una encuesta reciente donde decía que de los 110 jóvenes que consumen drogas, 70 eran menores de15 años y el resto de 15 a 21 años. Por otro lado, 7 jóvenes de los 70 mencionados no querían terapia de rehabilitación, y 16 de los que tienen entre 15 y 21 años, tampoco la querían. Iba a continuar leyendo, cuando golpeó a la puerta de la oficina una pareja de jóvenes de 17 años. Uno de ellos venía a una de sus sesiones conmigo, se llamaba Willy. ¿Podrías tú ayudarme a responder estas preguntas y a calcular la probabilidad de que Willy a. tenga menos de quince y no quiera terapia? b. quiera terapia, dado que tiene entre 15 y 21 años?

c. ¿Cómo se llaman los sucesos cuya probabilidad es igual a la de a.?

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Ahora bien, supongamos que tomamos al azar un joven que consume drogas. Indica la probabilidad de que: d. tenga entre 15 y 21 años, ambos inclusive, y quiera terapia. e. tenga menos de 15, y no quiere terapia.

2. El lunes pasado recitó su verso ante el curso. Tenía la tarea de escribir poemas, lo que le dictara el corazón. Ella nos sorprendió declamando: “¿Qué será más fácil: encontrar el amor verdadero o evitar la fría muerte cuando me alcance? ¿Y qué decir de mi amor no correspondido, si a mi risa la congelaste para siempre? ¿Por qué no volver ahora al vientre de mi madre y no haber nacido, dado que me has hechizado eternamente? Y si alguna vez desistes, lanza un perfume amargo sobre mi frente”. Terminó, se produjo un silencio y nadie se atrevió a hablar. Obtuvo la nota máxima. Estima y escribe algunos tipos de sucesos y de probabilidades que has estudiado al meditar sobre lo que te insinúa el texto. Por ejemplo, “encontrar el amor verdadero” es un suceso probable ¿no? Estudia hechos de la vida diaria donde encuentre sucesos posibles, imposibles, probabilidad condicionada, etc. 3. –¡Qué grande era esa roja! ¡Viva Bielsa y la Roja!... ¡qué bien jugaban esos chiquillos! ¿Saben? Les voy a contar un secreto. Yo aconsejé personalmente al entrenador para darle algunas estrategias. –¿Qué? ¿No nos digas que lo conoces? –Claro y a los jugadores también. El siguió mis consejos cuando clasificamos. ¿Por qué creen que fuimos a Sudáfrica?... Por mis consejos. Yo le dije: “Marcelo, mira, con siete delanteros de la misma calidad, selecciona tres para que puedan actuar en los tres frentes de ataque, y así podrás hacer añicos al equipo contrario. No te olvides del orden en que deben ir. Le repetí: no te olvides, “de 7, elegir 3”

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–¿Tú crees que somos tontos? ¿Y cuándo te hizo caso a eso de “de 7, elegir 3”? No tienes idea. Ellos no saben quién eres tú.

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–Lo que pasa es que ustedes tienen envidia de mis conocimientos. Te invitamos a que recuerdes o averigües qué pasó en este último mundial con Chile. Si bien es cierto no sabemos qué ternas le aconsejó nuestro relator, sí podemos conocer la probabilidad que tenía de aparecer una de ellas, no olvidando que: “De siete, eliges tres, respetando el orden”. 4. Dos amigas, sentadas en las graderías de su liceo comentan: –¡Qué suerte tiene Natalie!, le va bien en los estudios, en el amor, goza de buena salud, y fíjate que se ganó $100000 en un juego de azar. –¿Y cómo?

–Es que participó en el “Gana rápido, gana rapidito” –Ah, ese nuevo juego que ganas si tienes exactamente las mismas cifras que el número extraído. –¿Y de cuántas cifras es? –De cinco y se pueden repetir. Además los boletos son todos distintos. –Compremos dos números. Si ganamos, compartimos. –Veamos, mientras no nos transformemos en adictas, está bien. Las amigas compraron los boletos 21769 y 04786. ¿Qué tan probable es que a. hayan ganado con el boleto 21769?

b. hayan ganado con los dos boletos?

c. hayan ganado con cualquiera de los dos boletos? 5. El encargado de ventas de un famoso centro comercial debe elegir una terna de vendedores para ir a una premiación especial dada por un Instituto también famoso. Son tres premios diferentes, y para él, quien merece uno de ellos es Reno, porque es el más antiguo y competente. Pide al resto del personal nombres posibles. Después de ver varias duplas para completar su trío, manda finalmente la lista: Reno, Rommy y Jael. Sin embargo, llega una queja de parte de los otros candidatos posibles, Verónica, Erika y Joel, los que se sienten discriminados. Estas

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Este tipo de conflicto, desgraciadamente, se presenta en algunas empresas. Tú puedes responder: ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el trío donde esté Reno a. Rommy y Jael? b. y dos cualesquiera de los tres integrantes que se sienten discriminados? c. y solo uno de los integrantes que se sienten discriminados? d. Rommy o Jael para uno de los cupos, y Verónica, Erika o Joel por el otro cupo? 6. “Aló, mamá, no puedo ingresar al edificio porque hay un asaltante que puede estar escondido en cualquiera de los departamentos. Por favor, no salgas, cuida a los niños porque se va a hacer un operativo”. Miro desesperado este edificio de cinco pisos con cuatro departamentos por piso. ¿Dónde estará escondido el malhechor? Escucho que es más probable que esté en los pisos superiores. Pienso, en cada piso, los departamentos de los extremos tienen menos posibilidades de que el malandrín se esconda... Mientras se efectúa el operativo, un amigo muy dado al cálculo de probabilidades y que pasaba cerca dijo: “La probabilidad por piso es proporcional al número del piso y, en cada piso los departamentos de los extremos tienen la mitad de probabilidades de ser elegido por el malhechor que los del centro”. Si quieren, calculen. El operativo terminó con éxito. Sin daños ni violencia. El malhechor se entregó. De acuerdo a las pistas del relato, determina la probabilidad donde sea más seguro encontrarlo, indicando el lugar posible. 7. “Se ha detectado un tráfico ilegal de animales exóticos por tres pasos fronterizos cercanos entre sí. Tenemos evidencia de que es una sola banda y por esto tenemos que organizarnos para intervenir y detener, en primera instancia, a los traficantes –explica el prefecto, mientras abre la reunión ante el comisario y los brigadistas competentes del caso–. Mi asistente les explicará la situación mediante el siguiente mapa.

“Por Quebrada Roja ingresan casi el 55% de estos animales y el resto, por Quebrada Amarilla. Ambas van a desembocar a Punta Destino. De los animales que aquí llegan, al 35 % los sacan por Cuesta Tenebrosa; 30 % por el Camino del Norte y 10 % por el Camino del Centro; el resto por el Camino del Sur. Se les dará el mapa geográfico y se reunirán con sus jefes. Buena suerte”. Una de las brigadistas se levanta, pide la palabra y consulta. “Señor, en la ciudad ya hemos detectado a uno de estos animales exóticos que ha sido ingresado por alguna de las rutas descritas. Quisiera que usted me respondiera, ¿qué tan probable es que

UNID AD 5

denuncias dicen que si bien están de acuerdo que Reno lo merece, ellos no fueron considerados para la premiación.

a. haya ingresado por la ruta “Quebrada Amarilla” y “Camino del Centro”? b. sabiendo que ingresó por la “Quebrada Amarilla”, haya seguido por “Camino del Norte”? c. haya ingresado a la región por “Cuesta Tenebrosa”, dado que primeramente atravesó por “Quebrada Roja“? Contesta tú estas preguntas. 8. ¡Alto muchacho, no te muevas un milímetro porque tu imprudencia te ha llevado a este campo minado! Miré de soslayo, sin darme vuelta, aterrorizado... ¿sería la última vez que miraría el desierto florido? Empecé a sudar mientras ellos hacían el rastreo... Sentía que estaba como en un tablero de ajedrez donde tal vez con dos jugadas me salvaría, pero solo con una moriría. Di dos pasos en diagonal y me abrazó el rescatista para llevarme a terreno seguro, junto a mis padres. Mirar el desierto florido en lugar permitido no tiene nada de malo, pero en terreno prohibido, seis de cada diez racimos estallan sin avisar y siete granadas de cada 10 no se hacen esperar para explotar. No te imaginas el inmenso daño que le habrías causado a tu familia si esto hubiera terminado mal. Responde: ¿qué tan probable es que haya estallado un racimo o una granada? 9. Venancio les propuso a los dueños del negocio “Doña Tinita” la idea de vender jugos de tres sabores y pastelitos de cuatro tipos. Así, la semana entre Navidad y Año Nuevo del 2010,

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se llevó a cabo esta idea, con inusitado éxito. Jugo trisabor, con exquisitas mezclas a partir de mango, naranja, maracuyá, pomelo y piña. Además, ricos pasteles chilenitos, merengues pegados y alfajores. Todas las mezclas entre sí fueron igualmente preferidas por el público. Lo mismo ocurrió con los pasteles. Ahora tú, determina la probabilidad de haber elegido: a. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá. b. Un jugo cualquiera que llevara naranja y un chilenito. c. Un jugo que llevara mango-pomelo y un merengue pegado. d. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá o naranja-mango-maracuyá, dado que se ha escogido un alfajor. 10. Arcadio y Honorio pelean, yéndose a las manos, por el supuesto cobro ilegal de un gol en un partido amistoso de futbol en su barrio. El árbitro los separa y les pide una explicación... Arcadio inicia su versión y posteriormente viene la de Honorio. Todo se reduce a que hay un supuesto gol ilegal, tan importante porque si fuera validado, podría permitir que el partido terminara desempatado. El árbitro les explica que no es la idea pelear en un partido amistoso de futbol. Después de tiras y aflojas llegan a un acuerdo. Recuerda que nada justifica la violencia para resolver los pleitos. Por ahora te pedimos que encuentres la probabilidad de que este supuesto gol ilegal y de desempate haya sido el segundo o el quinto en ser convertido. 11. Para el nuevo trabajo que se nos ha encargado en nuestra oficina, Filiberto se da cuenta de que es necesario formar dos comités, uno integrado por dos hombres y otro por dos mujeres. Hay cinco hombres y cinco mujeres posibles e igualmente elegibles. Así, se dispone de Fabricio, Filomena, Remo, Lorena, Félix, Felicinda, Felícito, Alba, Fermín e Isidora. Al consultarles si participarían, no todos aceptaron. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan retirado dos hombres de esta lista? b. Supongamos que se retiraron voluntariamente Remo, Félix y Felicinda.

¿Cuál es la probabilidad de formar la dupla Fabricio y Felícito? c. Determina la probabilidad de formar la dupla Alba e Isidora. 12. “Mira, Belmar, si aplicamos el primer método para desalinizar las aguas del norte, tendremos un 60% de éxito. Por otro lado, con el segundo método, aquel que nos comentaron los expertos, el éxito sería de un 70%. Si agregamos al estudio nuestro método, tendremos un 80% de éxito. Pero no es suficiente porque es el financiamiento. Más aún, debiéramos saber qué tan probable es que fallemos si usamos cualquiera de los tres métodos. Este también es un punto que tenemos que analizar”. Calcula tú esta probabilidad. (Puedes generalizar lo estudiado para dos sucesos, en tres o más sucesos). 13. Melisa y Toribio son expertos en recuperar archivos dañados, borrados accidentalmente o que tengan problemas similares en un computador. Pero les ha tocado un problema no usual, un caso difícil de resolver. Como último recurso, tienen dos posibles tratamientos, A y B, cuyo éxito es de 20% y 30%, respectivamente. Además, la probabilidad de que tengan éxito usando ambos es de un 10% ¿Cuál de las siguientes estrategias debieran utilizar? Justifica, empleando sus probabilidades de éxito I. Aplicar primero el tratamiento B y, luego, aplicar el A. II. Aplicar primero el tratamiento A y, luego, aplicar el B. Lee atentamente y luego responde las preguntas 14 y 15. El meteorólogo dijo, a través de la TV, que la probabilidad de que llueva hoy en Santiago es de 40%. Luego comenzó a explicar algunos gráficos de altas y bajas presiones, y finalmente, señalo que la probabilidad de que baje bruscamente la temperatura con la lluvia presente es de 15% para los habitantes de la Región Metropolitana.

14. “Yo terminé de tomar mi café, mientras escuchaba ese pronóstico. Me levanté para pagar mi desayuno, tomé mi chaqueta y subí a mi camioneta. Llamé a mi casa y le dije a mi esposa que cuidara a los niños, porque no sé

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2/11/11 17:26:50

15. En tanto, en Santiago, su esposa respondió la llamada con los ojos nublados de nostalgia y colgó. Después se alistó para ir a su trabajo, miró el cielo y pensó:“¿qué tan probable es que hoy se mantenga o suba la temperatura, o no llueva?” Responde tú. ¿Cuál es el valor de la probabilidad mencionada? IV. Marca la alternativa correcta:

56 90 11 b. 178

11 180 111 d. 178 c.

e.

112 180

2. Marco va a un club de video a arrendar una película, pero esta vez lo quiere hacer al azar. En la tienda hay 70 películas de acción, 50 de romance, 80 de terror y 60 infantiles. De las películas de acción, el 20% de ellas ya las ha visto; de las de romance ha visto solo el 10%; de las de terror ha visto el 35% y de las infantiles solo ha visto el 5%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La probabilidad de que escoja una

película de terror si se sabe que no la ha 52 visto es . 80 II. La probabilidad de que escoja una

película de acción si se sabe que no la ha 56 . visto es 209 III. La probabilidad de que escoja una película de acción o romance es la misma que la probabilidad de escoger una de terror o infantil. a. Solo I

c. Solo III

b. Solo II

d. Solo I y III

a. el valor de la probabilidad se acerca a 0,125.

b. el valor de la probabilidad sigue siendo 0,122. c. el valor de la probabilidad se acerca a 0,225.

d. el valor de la probabilidad varía, pero no se puede determinar sin hacer el experimento. e. No se puede determinar lo que pasará.

1. En una tómbola se han colocado los números para jugar a la lotería, bolitas numeradas del 1 al 90. La probabilidad de que al extraer dos bolitas en forma consecutiva la primera bolita sea un número impar y la segunda un múltiplo de 8 es: a.

3. Al hacer un experimento lanzando un dado de 8 caras se concluye que la probabilidad experimental de obtener un 6 es 0,122. Si se repite el experimento 100000000 de veces se puede concluir que, para este evento:

e. Solo II y III

UNID AD 5

qué tan probable es que empezara a llover allá y baje la temperatura”. Encendí el motor, me entristecí al escuchar su voz. Cuando llegue a Futrono la volveré a llamar. ¿Cuál es el valor de la probabilidad insinuada en el relato?

4. En el colegio de Ana trabajan 36 profesores que se distribuyen en 2 salas de profesores. En la sala 1 trabajan 16 profesores y en la sala 2, el resto. En la sala 1, el 25% de los profesores son hombres, mientras que en la sala 2 solo el 10% lo es. La probabilidad de que al escoger un profesor al azar este sea mujer si se sabe que fue elegido de la sala 2 es: c. 33, 3 % e. 75 % a. 10 % b. 25 %

d. 60 %

a. 0,10

c. 0,79

5. Si las probabilidades de que dos sucesos independientes, A y B, ocurran son 0,3 y 0,7, respectivamente, entonces la probabilidad de que A o B ocurra es: b. 0,21

d. 0,90

e. 1,00

6. Montserrat debe escoger un día de enero del 2012 para comenzar sus vacaciones, pero este no debe ser ni lunes ni viernes ni tampoco fin de semana. ¿Cuál es la probabilidad de que sus vacaciones comiencen un miércoles si hace esta elección al azar?: 4 18 4 e. c. a. 31 31 13 13 4 d. b. 31 18 7. Se ha encuestado a un grupo de personas para saber las preferencias de los habitantes de una ciudad sobre lugares de esparcimiento de los fines de semana. Los resultados fueron presentados en la tabla adjunta. La probabilidad de que un encuestado haya respondido que su preferencia era el centro comercial o los parques si era mujer es aproximadamente

245 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 245

2/11/11 17:26:54

a. 32% b. 48%

Lugares

Hombres Mujeres

c. 63%

e. 68 %

d. 66%

Centro comercial

Plazas y parques

Visita a familiares

50

100

70

100

40

80

8. La probabilidad de que al formar números de 3 cifras no repetidas con los dígitos 1, 3, 4, 5 y 8 estos sean impares es: a. 5%

b. 10%

c. 20% d. 40%

e. 60 %

9. Noel es un alumno de tercero medio. Él debe elegir su plan electivo de estudio. Para ello debe escoger un ramo de cada grupo de los que se presentan en la siguiente tabla. Ya ha seleccionado Lenguaje del grupo A, entonces, la probabilidad de que escoja Arte del grupo B y Música del grupo C, si hace esta elección al azar, es: 1 1 3 c. a. e. 3 27 3 1 2 d. b. 9 3 Grupo A

Grupo B

Grupo C

Matemática

Física

Química

Biología

Arte

Música

Lenguaje

Filosofía

Historia

10. Sebastián y Juan José están jugando para saber quién pagará las entradas al cine. Sebastián no pagará si gana en los siguientes tres juegos: lanzar una moneda (gana sello), tirar un dado (gana puntaje mayor) y una mano de cachipún. ¿Cuál es la probabilidad de que Sebastián haya ganado si Juan José obtuvo cara, cuatro y piedra? 1 1 1 a. c. e. 6 12 36 1 1 d. b. 9 18

Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2 Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta: Puntaje obtenido

Indicador

Puntaje total

Número de respuestas correctas obtenidas en el ítem I (verdadero y falso o completación) Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem II (asigne 2 puntos a cada una) Número de problemas correctamente desarrollados en ítem III (asigne 2 puntos a cada uno)

Número de alternativas correctas en ítem IV (asigne 1 punto a cada una) Total

10 30 30 10

80

Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula:

Porcentaje =

Puntaje obtenido ⋅ 100 80

Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede usar las tablas de esta guía didáctica.

246 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 246

2/11/11 17:26:57

Solucionario de la Unidad 11. a. 2,5 %

b. 13, 3%

14. 78,9%

b.

12. 0,80

I. Crucigrama:

13. 0,9 15. a.

15 79

III. 1. a. 40% II. 1. a. 0,02

b. Deben terminar en 2, 4 y 5. Por ejemplo: C,

7 ; C, 2, 1 000 49 4 o C, 4, 4 con probabilidad y C, 4, 2 7 500 49 . o C, 2, 2 con probabilidad 7 500 c. Tienen la misma probabilidad debido al principio multiplicativo. 2, 5 o C, 4, 5 con probabilidad

d. De esta manera, la probabilidad es 0,014, con monedas y dados normales es 0, 0138.

2. a. Aproximadamente un 43,33%

b. 25 ≤ T < 30 al tener la frecuencia mayor; entre los otros rangos, también lo es su frecuencia relativa. Por tanto, su probabilidad es la mayor (33, 3 %).

3. ---

4. a. 0% 5.

5 7

120 6. a. 343 223 b. 343 1 7. a. 504 1 8. 225 3 9. a. 8

10. a. 70%

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b. 100%

c. 0 %

120 c. 2 401 2 d. 7 1 b. 180 b.

3 28

b. 23%

c.

1 56

c. 35 %

c. 25 %

24 79

c.

40 79

b. Pinball Héroes y Guerrero Galáctico 7%; 10%

UNID AD 5

Actividades de refuerzo

c. 1,28% 1 2. a. equiprobables 3 b. Independientes 1 c. 27 3. 97,6%; 2,4%.

4. Es imposible obtener 13 al lanzar dos dados comunes; la puntuación máxima es 12; por lo tanto, la probabilidad de haber ganado es 0%.

5. a. 31,25 % 6.

1 25 versus 8 216

7. 20 % y 1,67%

8. a. 015625 61 b. 64 c. 25 % 9. 10 %

10. 0,0000002 1 11. a. 9 12 12. a. 25 9 b. 23

13. a. 1999 con 7,04%

b. 3,125 %

d. 14,0625% 7 e. 64

b.

5 9

c. 100 % d.

12 26

b. Las que se inician con A juntas con un 3,59%, en cambio, para la N, es 2,28% c. Rango varía entre 5,53% y 7,05%

247 2/11/11 17:27:07

d. Más probable que haya sido por enfermedad del sistema circulatorio en el 1999 (15,98%) versus tumor maligno en el 2003, con 24,03%.

e. En 2003 con 7,87%.

14. La probabilidad de que falle el primer motor, dado que falló el segundo es, aprox. 33,33%. La probabilidad de que falle el segundo motor, dado que falló el primero: 75%. La probabilidad de ninguna falla: 50%

15. 58%, 33% y 50%

IV. 1. e

3. c

5. d

7. a

9. b

2. c

4. b

6. c

8. d

10. b

Ficha de refuerzo I. 1. No debiera coincidir porque la calculada es una probabilidad experimental. Sí debiera ser un valor cercano. 2. a.

b.

3. a. 57,7%

b. 60%

II. 1. 10% aprox.

2. a. 27% aprox.

7.

Evaluación 1 I. 1. Salir 1 y salir 2 al lanzar un dado 2. 3,4 %

3. Hoy sea un día de la semana

7 12 3 5. 70 6. Ir al cine y conseguir dinero para ello 4.

7. 0

8. 0 y 1 o 0 % y 100 % 9.

II. 1. a.

2. 3. 4. 5. 6.

248

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Resultado

0,05489754

6S

0,02693691 0

3. 8,3%

I. 1.

Probabilidad

0,05381046

c. 69,17%

1 Pedro: P ( al menos 2 caras ) = , 2 3 Luisa: P ( al menos 1 cara y 1 sello ) = . Luisa 4 tiene razón. 3 5 1 P ( ganar el kino ) = ≈ 0, 000022 % 4 457 400 1 36 2 9 b. a. 25 25 1 230

2 19

10. ---

b. 10,8%


28 73

6C

24 C 29 S

29 S es un evento nulo o imposible

b. 0,00083, aproximadamente

c. 0,0581418

2. La probabilidad de que aparezca en un dado no trucado, pues la probabilidad es 0,00077 versus, 0,00062, que corresponde a la del dado cargado. 1 b. 3. a. 100% c. 0 % 6 4. a. 71 % b. 71 %

c. 14,28 %

d. 100%, el suceso es seguro

1 (palabra “discreto”) 40320 5 6. 6 5.

2/11/11 17:27:13

1 3

5. a. No equiprobables b. Incompatibles

1 8. a. a partir del primer conjunto y que 6 480 1 , que se obtiene es mayor que 7 776 considerando los números del segundo conjunto. Esto se debe a que hay menos

números en total que se pueden formar a partir del primer conjunto, ya que no hay números que se inicien con cero. b. 0%, porque los múltiplos de 10 necesitan terminar en cero. Pero como el segundo conjunto carece de cero, no se puede construir número con dicha terminación. 9. a. 46% 9 10. a. 17

b. 54%

b. 43,9%

2 3 9 b. 47

11. a. 0,3

b.

2 12. a. 3

13. 40%

c. 57,14 % 23 c. 30

b. Ambos son sucesos independientes 7 1 1 15. a. b. c. d. 0 9 3 3 b. 45% III. 1. a. 37,5%

2 c. 9 2 d. 9

2 e. 3 1 f. 3

2 g. 3

3. a. 0%. Porque el juego (experimento) involucra solo contar las caras cuadradas y no formar cuadrados b. Imposibles c. Por ejemplo que, teniendo los cuatro dados, que el total de las caras pintadas coincidentes varíe entre 0 y 4 5 e. 25 % c. 4. a. 20% 9 b. 25% d. 10%

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d. 60 %

6. 99,3% 7. a.

b.

c.

9. a. 0,028 %

b. 97,2%

c. 0,672 %

3 8 3 8. a. 8

1 6 2 b. 5

7 12 1 c. 10

1 si está dentro de las 7 personas de 7 confianza, sino 0 %

10. a.

1 7 1 c. 21 b.

11. a. 5,51%

b. La secuencia guinda-guinda-naranja. 1,23%.

12. a. 10%

14. a. P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

5 2. a. 9 1 b. 3

c. 22,5%

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7.

b. 20 %

c. 71,43 % aprox.

d. El que haya terminado, sabiendo que es de Ciencia (21,43% aprox.), versus el otro (7,14% aprox.)

13. a. 49,59 % b. 3,58%

c. 49,52 %

d. 5,48%

e. 39,96 % f. 26,75 %

g. 17,11 % h. 53,22 %

14. La elección de una puerta no influye ni depende de la elección de otra. Al haberse 1 elegido la puerta A con de la probabilidad, 3 los dos tercios restantes son para las puertas

B o C. Pero como “C no es la puerta ganadora”, es decir, la probabilidad de ser elegida es cero, la única opción es que la probabilidad 2 de la puerta B sea . Así, ante esta nueva 3 1 elección, la puerta A permanece con y la 3

249 2/11/11 17:27:20

2 puerta B con , por tanto es aconsejable que 3 deba cambiar a puerta B. 15. a. IV. 1. c

8 47

2. b

b.

3. c 4. b

19 55

c.

44 65

d.

5 8

5. e

7. e

9. a

6. d

8. a

10. c

Evaluación 2 I. 1. F

3. V

5. V

7. F

9. F

2. V

4. F

6. V

8. F

10. V

12. a. 98 %

13. 3,88% aprox.

14. a. 0,468 b. 0,72

c. Sí, porque P ( A ∩ B ) = 0, 468 = P ( A ) ⋅ P ( B )

15. 0,5

III. 1. a. 0 %. (Wally tiene 17 años) b. 60 %

c. Imposibles

II. 1. a. El 1 y el 8, con el valor 0,08

2. ---

c. 45,5%

4. a. 0,00169%

b. 76,67% aprox.

c. El de rango de sueldo: 800 ≤ S ≤ 950, ya que al tener la frecuencia menor, entre los otros rangos, también lo es su frecuencia relativa. Por tanto, su probabilidad es la menor (8, 3 %) 1 25 5 147 c. d. 3. a. b. 64 64 192 192 4. a. Alguno de ellos debe ser 0

6. a. 2,56%

1 7. a. 90 8. 0,025 9. 5%

10. a. 25%

b. 37,5%

11. a. 30% b. 25%

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3. 0,158 %

c. 0,003386%

2. a. 60%

b. Imposible 1 5. 30

e. 30,43 %

b. 2,87 · 108 %

e. 97,28%

250

d. 21, 81 %

b. El 2, porque siendo su probabilidad de 0,13 en este dado y 0,125 en un dado normal, la diferencia es menor que la de los otros números. d. 2,175%

b. 8 %

20 b. 21

c. 25%

d. 58,82 % aprox.

d. 38,78%

6.

e. 46,43 %

b. 24 %

c. 36 %

d. 24 %

; quinto piso en cualquiera de los dos

departamentos centrales. 7. a. 45 % 8. 42 % 9. a.

1 10

b. 13,5%

b.

10. 40%

11. a. 20 %

b. 60%

c. 61,22%

5. a. 4 %

12. 2,4%

1 5

c.

b.

2 9

1 10

c. 19,25 % d.

1 15

c. 0,01%

13. La probabilidad de la primera forma (I) es 50% y la de la segunda (II) es, aproximadamente, 33,33%. Es decir, la estrategia más exitosa es: “Aplicar primero el tratamiento B y, luego, aplicar el A”. 14. 37,5% 15. 94%

IV. 1. b

3. a

5. c

7. c

9. d

2. b

4. d

6. a

8. e

10. d

f. 72 %

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http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/ Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/ Prob/Index.html

Este documento pdf descargable e imprimible se titula “HISTORIA DE LA PROBABILIDAD”.

Esta página es interactiva y se requiere tener Java instalado. Con título “Probabilidad experimental”,hay tres botones de link que la explican, indican cómo usar el recurso y el beneficio de usarla como actividad lúdico educativa. Se puede programar el tipo de dados y, o ruletas de colores. El lanzamiento es de dos dados y otorga la suma de los números de las caras que aparecen. También agrega el número total de lanzamientos que se lleva de manera acumulada. En el caso de las ruletas, se indica la frecuencia del color y el número total de giros que se lleva de manera acumulada. La página es del sitio web EDUTEKA, el cual es un Portal Educativo gratuito actualizado mensualmente desde Cali, Colombia, por la Fundación Gabriel Piedrahita Uribe.

Contempla el contexto histórico y precursores, el nacimiento y evolución de la teoría de la probabilidad para llegar a la teoría moderna de la Probabilidad. Hay un tratamiento y comentario de la probabilidad de Laplace. Departamento de Matemáticas. Universidad Autónoma de Madrid.

http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html Contiene una breve historia de la Probabilidad. La página contiene links internos de un taller estadístico y otro de Historia. Además, hay links a fichas de biografías, software, enlaces externos, etc. El sitio se llama “Estadística para todos”,cuyo principal objetivo es estimular y extender la educación estadística a los alumnos, profesores y público general.

http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20 LMayer.pdf Este documento pdf descargable e imprimible se titula “El probabilismo ¿ambiente cultural que ayudó a la creación de la probabilidad aleatoria?” El probabilismo corriente dentro de la filosofía moral del cristianismo se desarrolló a partir del siglo XVI. El probabilismo significó la apertura ideológica que Europa necesitó al enfrentar culturas tan lejanas como las americanas o las del Lejano Oriente y permitió la reflexión sobre la incertidumbre y crear los contextos y significados culturales que posteriormente dieron lugar a la probabilidad aleatoria. El trabajo es de Leticia Mayer Célis, Investigadora Titular “A” del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas. Universidad Nacional Autónoma de México

http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de un dado, indicando previamente el número de lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla donde puede destacarse la probabilidad teórica y la probabilidad experimental de cada número. La página muestra otros links para otras simulaciones, videos, apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de Matemáticas”, sitio de apoyo a la actividad docente y estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos interactivos, etc.

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Bibliografía y detalle de links de la unidad

http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de una moneda no cargada, indicando previamente el número de lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla donde puede destacarse la probabilidad teórica y la probabilidad experimental de cara y sello. La página muestra otros links para otras simulaciones, videos, apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de Matemáticas”,sitio de apoyo a la actividad docente y estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos de éstos, interactivos, etc.

http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_ economicas/turismo/cifras/cifras2009.php) En esta página, usted dispone de documento en formato Excel, descargable y reproducible de las “CIFRAS TURÍSTICAS MENSUALES 2009”. El referente es el número de llegada y pernoctación de pasajeros a establecimientos de alojamiento turístico 2009. El portal de la página es INE, el que presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplo demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links internos, sugeridos y externos.

http://escuela.med.puc.cl/deptos/saludpublica/ResultadoENS/ CapIV204Diabetes.pdf) Este documento pdf descargable e imprimible trata del tema de la diabetes de una manera estadística. En las tablas se reportan promedios y prevalencias expandidas, Chile 2003. El estudio es del Departamento de Salud Pública de Facultad de Medicina de la Pontificia

251 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 251

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Universidad Católica de Chile. El sitio web respectivo es de la Escuela de Medicina de dicha Universidad.

http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/combsin_marco.htm Trata de la combinación sin repetición, la define e indica la fórmula respectiva. Esta página es interactiva y dado un máximo de ocho elementos, con una selección que debe indicarse, calcula el total de combinaciones y las escribe todas. Las página principal es para el estudio de Combinatoria, Técnica de recuento, y elaborado por Ildefonso Aranda y Paco Cuenca, profesores de Matemáticas en el I.E.S. Gil de Zático de Torreperogil (Jaén). España.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/ed990516-02.html Después de la presentación se oprime el botón Entrar y aparece la página que trata el tema de Combinatoria. Mediante links internos se selecciona lo que se desea: permutaciones, variaciones, etc. Hay una calculadora especial para combinatoria que permite calcular el total de combinaciones, variaciones, etc., y las escribe todas. Incluye un links para problemas. Las páginas de COMBINATORIA corresponden a un ejercicio práctico de final de curso, realizado para el Curso de educación a distancia Thales-CICA 99: “Extensiones y utilidades de HTML para la enseñanza”,realizado por Adolfo Cid Valle. España. El Proyecto Thales-CICA se propone educación a distancia a través de Internet.

http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php Simulador de lanzamientos de dados.

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T01.pdf Este documento es descargable e imprimible. Permite repasar, da ejemplos y entrega de inmediato alguna pregunta al respecto. Al final hay un cálculo de algunos números combinatorios y factoriales usando las teclas de una calculadora científica. El trabajo es de Javier Pérez Olano y está en el sitio web a cargo de ITE: Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación. Gobierno de España.

http://www.matematicas.profes.net/especiales2.asp?id_ contenido=44295#comb Esta página proporciona varios links a ejercicios, Banco de Recursos, etc. Pertenece a un sitio especializado, profes.net, que otorga variadas herramientas al docente.

http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf Este documento pdf descargable e imprimible, es Test de 100 Preguntas, sobre Probabilidad Combinatoria y Variables Aleatorias unidimensionales. Hay un solucionario donde se incluyen algunos desarrollos explicativos. El autor es M.A. Fiol, Departament de Matemática Aplicada IV. Universitat Politécnica de Catalunya

http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/ evaluacion.html Aquí dispone de una evaluación en línea que consta de cinco preguntas donde debe elegirse la respuesta correcta. Se puede limpiar la zona de respuestas para volver a ser usada nuevamente. Oprimiendo el botón de Respuesta, se obtienen las correctas. Esta página está en el sitio web de Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo Este Portal educativo es un sitio de Internet a través del cual las personas jóvenes y adultas pueden obtener información, recursos de aprendizaje y Servicios de Educación Básica, Formación para el trabajo, Bachillerato, Acreditación de Conocimientos, Orientación Ocupacional y Bolsas de Trabajo. México.

http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf Este documento pdf descargable e imprimible consiste en problemas de probabilidad resueltos y propuestos con resultados. El trabajo es del profesor José Luis Chacón. Matemáticas Discretas. Facultad de Ciencias. Universidad de Los Andes. Venezuela.

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Este es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la Coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en Matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo.

http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/ estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_ indigenas_2002_11_09_09.pdf Este documento pdf descargable e imprimible llamado “ESTADÍSTICAS SOCIALES DE LOS PUEBLOS INDÍGENAS EN CHILE - CENSO 2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR EL INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN CONVENIO CON EL MINISTERIO DE PLANIFICACIÓN NACIONAL” pertenece a INE. Aquí se da cuenta, desde la estadística social, de aquellos aspectos fundamentales que caracterizan la vida en regiones y comunas indígenas del país. La página es del sitio web del portal INE, el que presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplo demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links internos, sugeridos y externos.

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Bibliografía temática • Lipschutz, S. y Lipson, M. (2001). Probabilidad. Bogotá: Mc Graw Hill Interamericana. 2ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed. • Meyer, P. (1998). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México, DF.: Pearson Educación Addison Wesley Longman de México S.A. de C.V. 1ª ed.

• Sullivan M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México DF.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. • Trola, M. (2004). Probabilidad y Estadística. México S.A. de C.V.: Pearson Addison Wesley. 9ª ed.

UNID AD 5

• Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.

Sitios web sugeridos http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos y matemáticas, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word, pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc.

http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes. asp?categoria=704 En el buscador que presenta la página, usted puede ir por la materia que desee actualizar. El sitio web que la alberga es un portal para Investigadores y Profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Además, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que se encuentra en este link.

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Bibliografía temática Raíces y función raíz cuadrada

Desigualdades e inecuaciones

• Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones: Raíces y ecuaciones irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed.

• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones: Cap. 2: Desigualdades”; “Inecuaciones”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed.

• Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Raíces y ecuaciones irracionales” (Caps. 9, 10 y 16); “Función raíz cuadrada” (Cap. 15). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile.5ª ed.

• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Cap. 5: Desigualdades”; “Inecuaciones”. En Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed.

• Sullivan, M. (2006). “Raíces y ecuaciones irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Elbridge V. (1965). “Raíces y ecuaciones irracionales” (Cap. 3); “Función raíz cuadrada” (Cap. 7). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.

Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática • Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones”; “Ecuaciones cuadráticas”; “Función cuadrática y Parábola”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 14); “Función cuadrática y Parábola” (Cap. 13). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Ecuaciones cuadráticas” (Cap. De Repaso R5, Cap. 1); “Función cuadrática y Parábola” (Cap. 4). Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Elbridge V. (1965). “Funciones Lineales y Cuadráticas: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 7); “Función cuadrática y Parábola”. Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed.

• Sullivan, M. (2006). Desigualdades (Cap. 1); Inecuaciones (Cap. 4). En Álgebra y Trigonometría (Séptima edición). México D.F.: Pearson Educación. • Elbridge, V. (1965). “Desigualdades” (Cap. 4); “Inecuaciones” (Cap. 7). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed.

Algo más sobre triángulos rectángulos • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2010). “Geometría: Cap. 3”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Geometría y Trigonometría: Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides” (Cap. 9); “Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo” (Cap. 10); “Otros temas de Trigonometría”. Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Cap. 6 Funciones Trigonométricas”. En Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación.7ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva F. (2006).“Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo”(Cap.1); “Otros temas de Trigonometría” (Cap. 2). Trigonometría y Geometría analítica. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 2ª ed.

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2/11/11 17:27:25

• Elbridge, V. (1965). “Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo” (Caps. 6 y 15); “Otros temas de Trigonometría” (Cap. 6). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed.

Probabilidades... un paso más • Tripla, M. F. (2009). “Variable aleatoria” (Cap. 5); “Probabilidad experimenta” (Cap. 4); “Cálculo de probabilidades”. Estadística. México D. F.: Pearson Education Addison Wesley. 10ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Conteos y Probabilidad” (Cap. 13). Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Estadística y probabilidad” (Cap. 2). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Meyer, P. L. (1998). “Variable aleatoria” (Caps. 1 y 4); “Probabilidad experimental” (Caps. 1 y 2); “Cálculo de probabilidades” (Caps. 1, 2 y 3). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. D. F.: Pearson Educación Addison Wesley Longman. 1ª ed. • Masjuán, G., Arenas, F., Villanueva F. (2008). “Combinatoria” (Cap. 6). Álgebra clásica (intervalo de páginas). Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 1ª ed. • Elbridge, V. (1965). “Análisis Combinatorio y Teorema del Binomio” (Cap. 11). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed.

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Guia Profesor Matematica 3º Medio 5h5c72

Overview 3z723u

More details 2i4a6q

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