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MEDIDAS ESTADISTICAS En numerosas ocasiones, en vez de trabajar con todos los datos, es preferible disponer de una o más medidas descriptivas que resumen los datos de forma cuantitativa. Se trata, de resumir en unos cuantos valores la información más importante y útil contenida en un conjunto de datos, haciendo más fácil la comprensión y la comparación de las diversas características de las poblaciones o muestras. I.

DEFINICIÓN Las medidas estadísticas son medidas de resumen que se calculan a partir de una muestra y que describen ciertos aspectos de una serie o distribución de datos para poder tener un mejor conocimiento de la población

II.

FINALIDAD Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población

III.

ALGUNAS CONSIDERACIONES PARA UNA MEDIDA ESTADISTICA: 1.

Debe definirse de manera objetiva: dos observadores distintos deben llegar al mismo resultado numérico.

2.

Usar todas las observaciones y no algunas de ellas solamente, de manera que si varía alguna observación la medida considerada debe reflejar esta variación.

3.

Tener un significado concreto: la interpretación debe ser inmediata y sencilla.

4.

Ser sencilla de calcular.

5.

Prestarse fácilmente al cálculo algebraico: Lo que permitirá demostraciones más elegantes.

6. Ser poco sensible a las fluctuaciones muestrales. Esta condición es imprescindible en la Estadística Matemática y en la Teoría de Sondeos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son valores que se ubican en la parte central de un conjunto de datos o de una distribución. 

Las medidas de centralización responden a la pregunta. ¿Alrededor de qué

 

valor se agrupan los datos? Estas medidas solo se calculan para variables cuantitativas. EL conocimiento de estas medidas es de gran utilidad tanto en los niveles



de decisión como de ejecución. Las principales medidas de tendencia central son: MUESTRA

POBLACION

Media aritmética simple Media ponderada La Mediana La Moda

X



X

p p

Me Mo

1.1. LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO ( o

Me Mo

´x ):



Es el valor representativo de una población o conjunto de datos



También se llama Esperanza matemática, valor medio o promedio aritmético 

Se obtiene sumando todos los valores de los datos observados y se divide entre el número total de ellos.



Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. 

Existen dos formas de trabajar con los datos: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias.



Fórmulas de cálculo de la media aritmética: POBLACION (N) Datos sin Agrupar

Datos Agrupados* fi

μ=

μ=

∑ Xi N

∑ Xi . fi N

MUESTRA (n)

´x =

´x =

∑ Xi n

∑ Xi . fi n



Ejemplo: Suponga que se han registrado 20 observaciones referentes a los ingresos semanales del jefe de hogar de un determinado distrito. De la información muestral obtenida calcule el promedio: 36 25 41 40 45

55 55 41 31 36

55 55 57 58 43

41 55 37 58 43

Solución: Calculamos el promedio muestral:

n  xi 36  25  ...  58  43 907 .0 x  i 1    45 .35 n 20 20

Interpretación: El salario semanal promedio de los trabajadores es de 45.35 soles

1.2. LA MEDIANA (Me) 

Valor que divide en dos partes iguales un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente



En otras palabras es el valor que ocupa del lugar central.



La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.



Es una medida de tendencia central que divide al total de n observaciones debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamaño, cada una con el 50% de los datos observados. Formulas de cálculo de la mediana: n es impar

n es par

Datos no agrupados Valor que está en la mitad de la serie ordenada

P romedio de los 2 valores centrales

[ ]

n −F j−1 2 Me=LI + c F j−F j −1

Datos Agrupados (TABLAS)

Para datos no agrupados: Para calcular la mediana, los n datos originales 1) Se ordenan en forma ascendente o descendente los datos 2) Se halla el lugar en donde se encuentra la mediana Se presenta dos casos: a) Para un número par de datos: La mediana será el promedio de los dos valores centrales. Ejemplo: Calcular e interpretar la mediana de los ingresos de un grupo de trabajadores Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 860, 1200, 1000, 1000 Solución: 1) Ordenando en forma ascendente Xi: 650, 750, 750, 820, 850, 860, 1000, 1000, 1000, 1200 Me

50%

50%

2) Como n = 10 (par)  se ubica el lugar en donde se encuentra la Me

X n +X n Me=

2

2

2

+1

=

X 5 + X 6 850+ 860 = =855 2 2

3) Interpretación: El 50% de los trabajadores tienen un ingreso inferior de S/. 855, y el otro 50% superior a dicho ingreso.

b) Para un número impar de datos: La mediana será el valor que está ocupando la posición central. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los tiempos de en minutos a 11 Páginas Web cargadas por la tarde en el horario de 14 a 15 horas desde una PC Xi:

2.9, 1.4, 1.2, 3.4, 1.3, 2.5, 1.6, 1.8, 2.3, 1.5, 1.0

Solución: Ordenando los datos en forma ascendente Xi: 1.0, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 2.3, 2.5, 2.9, 3.4. 50%

Me

50%

Me=X n +1 =X 11+1 = X 6=1.6 2

2

Interpretación: El 50% de las páginas Web son cargadas en un tiempo de Inferior a 1.6 minutos y el otro 50% superior a dicho tiempo.

1.3.- LA MODA (Mo) 

Definición: Es el valor que ocurre con más frecuencia



Es especialmente útil para datos de tipos nominal, ordinal y de intervalos



Una distribución puede ser: amodal sino tiene ninguna moda, unimodal si tiene una moda, bimodal si tiene dos modas y multimodal si tiene tres o más modas.

Ejemplo: Calcular e interpretar la mediana de los ingresos de un grupo de trabajadores Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 860, 1200, 1000, 1000 Interpretación: La mayoría de los trabajadores tienen un ingreso de 1000 soles. PROPIEDADES DE LA MODA 

La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).



La moda no es afectada por valores extremos.