“Estadística para istración”
Sesiones 1 y 2: Descripción de Datos
“Antes del inicio de la guerra se prevé que se podrá conquistar la victoria, eso se debe a los repetidos y minuciosos cálculos, a las apreciaciones y planificaciones que se hacen en el templo…” Sun Tzu
“Nosotros confiamos en Dios. Todos los demás deben usar datos”
W.E.Deming
?
Población
Estadística – Definición •
Diferentes significados según la persona que la analice.
•
Ideas comunes : Observación y Estudio de determinadas características de los DATOS recolectados.
•
Definición formal :
Teoremas, métodos, técnicas y herramientas que nos permiten: 1) Recolectar, seleccionar y clasificar datos. 2) Analizar e Interpretar los datos. 3) Deducir y Evaluar conclusiones en base a datos muestrales. •
¿Porqué este Análisis ? TOMA DE DECISIONES
Estadística – Definición RECOLECTAR
ORGANIZAR
Es una ciencia que abarca técnicas que nos permiten:
ANALIZAR
INTERPRETAR
DATOS
TOMA DE DECISIONES
Estadística Resumir
Numéricas
Distribuc. Frecuencias Med. Tend. Central Dispersión
Gráficas
Histogramas Polígonos Curvas Barras Pastel
Descriptiva Presentar Estadística
Inferencial
Tabla de Distribución
Edad
Diagrama Circular
N°Trabajadores
30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49
6 12 8 2
12 10 8
Diagrama de Barras
6 4
2 0
9 30-34
35-39
40-44
45-49
Estadística Resumir
Numéricas
Distribuc. Frecuencias Med. Tend. Central Dispersión
Gráficas
Histogramas Polígonos Curvas Barras Pastel
Supuestos
Probabilidad Dist. Normal Dist. Normal Std. T Student Poisson Chi Cuadrado
Descriptiva Presentar Estadística
Plantear Inferencial
Probar
Distribución Normal de Probabilidad 0.0214
0.1359
0.3413
0.3413
Media 0.683 0.955
0.997
0.1359
0.0214
Población Estadística Consta de datos que son características medidas o descritas de ciertos objetos, que llamamos Unidades Elementales. • Población Conjunto de todos los posibles individuos, personas, objetos o mediciones de interés.
• Muestra Subconjunto, una parte o parte de una población de interés.
Población Estadística Registro de una característica elementos del marco poblacional. Tiene tantos poblacional.
datos
como
EN
elementos
TODOS
el
los
marco
Habrán tantas poblaciones como características que se deseen registrar en un marco poblacional.
MARCO POBLACIONAL (1200 Trabajadores de una Empresa)
Característica Edad
Peso
Exper. laboral
Estado Civil
(años)
Registro de la Población Caract. P1 (1200 datos)
Población P2
Población P3
(1200 datos)
(1200 datos)
...
Población Pn (1200 datos)
Marco Muestral Subconjunto del marco poblacional. Comprende los elementos o estratos del marco poblacional (es representativo). En contraste con el marco poblacional es más conveniente porque se obtienen los datos en menor tiempo y reduciendo los costos. Ejemplo : 75 trabajadores de una empresa.
Marco Poblacional
Técnicas
1200 trabajadores de la empresa
de muestreo
Marco Muestral 75 trabajadores de la empresa
Característica Edad
Registro de la POBLACIÓN Caract.
P1
Peso
Exper.Lab.
POBLACIÓN
P2
Estado civil
POBLACIÓN
P3
POBLACIÓN
...
Pn
Muestra
Registro de una característica en todos los elementos del marco muestral. Tiene tantos datos como elementos el marco muestral. Habrán tantas muestras como características se deseen registrar en un marco muestral.
Técnicas
Marco Poblacional 1200 trabajadores de la empresa
Marco Muestral
de muestreo
75 trabajadores de la empresa
Característica Edad
Peso
Exper.Lab.
Estado civil
Edad
Peso
MUESTRA
MUESTRA
m1 75 datos
Registro de la POBLACIÓN Caract.
P1
POBLACIÓN
P2
POBLACIÓN
P3
POBLACIÓN
...
Pn
m2
Exper.Lab.
MUESTRA
m3
Estado civil
MUESTRA
mn
Parámetro y Estimador Parámetro: Valor representativo de una población. Se simboliza por letras griegas. Sólo hay un parámetro en cada población.
2
Media poblacional Varianza poblacional Desviación estándar poblacional Proporción poblacional
Parámetro y Estimador Estimador Valor representativo de una muestra. Se simboliza por letras latinas. Existen tantos estimadores como muestras se extraigan de una población. x Media muestral. s 2 Varianza muestra. s Desviación estándar muestral. p Proporción muestral.
Parámetro y Estimador n1
n2
POBLACIÓN
x1
n3
x2 x3
. .
. .
nm PARÁMETRO
DIFERENTES MUESTRAS OCASIONAN DIFERENTES VALORES DEL ESTIMADOR
xm
Parámetro y Estimador Técnicas de Muestreo
MUESTRA Estimador :
POBLACIÓN
x
Estadística Inferencial
Parámetro : µ -ˆ = Error de muestreo
Escalas de medición ESCALA NOMINAL: Los números son nominativos, sirven para designar. Sólo se puede realizar un conteo (frecuencias). No es factible las operaciones aritméticas. Se analizan a través de la comparación: igualdad y no igualdad. Ejemplo Sexo
1:Masculino
2:Femenino
Escalas de medición ESCALA ORDINAL: Los números representan un orden. No son cuantitativos, sólo simbolizan una posición. Se analizan a través de la desigualdad (mayor o
menor que). Calificación : Lugar :
A,B,C,D 1º , 2º , 3º
A>B 1º > 2º
Escalas de medición ESCALA INTERVALOS: Se utilizan números cardinales.
Se pueden realizar operaciones aritméticas. El cero no indica ausencia de la característica. Ejemplo: Año Hora Temperatura
0 00:00 0ºC
Escalas de medición ESCALA DE RAZONES: Se utilizan números cardinales. Se pueden realizar operaciones aritméticas. El cero indica ausencia de la característica. Ejemplo: Ingreso mensual Nº de hijos Procesos defectuosos
: : :
S/.00. 0 0
Estadística – Tipos de Datos Medidas Datos
Características Descritas
Unidades Elementales Población
Medible
Cuantitativa
Variable
Descrita / NM
Cualitativa
Atributo
Observación
Discreta
# Limitado
Conteo
# Entero
Continua
# Infinito
Medición
Fracción
Variable
Ejercicio Aplicativo
El Gerente de Producción de una empresa manufacturera desea estimar el número promedio diario de piezas que no pasan el control de calidad. Con este fin elige por sorteo 10 días laborales del último mes. En uno de los días elegidos se registraron 32 piezas defectuosos.
En esta situación, identifique: La característica
: Número de piezas defectuosas por día.
La unidad elemental : Un día (laboral). El marco poblacional : Número de días (laborales) que viene funcionando la empresa. La población
: Registro diario de piezas defectuosas en todo el tiempo que viene funcionando la empresa.
El marco muestral
: Diez días laborales (elegidos al azar)
En esta situación, identifique: La muestra
: Registro diario de piezas defectuosas durante los 10 días elegidos al azar.
Tipo de dato
: Variable cuantitativa discreta
Un dato registrado
: 32
La unidad de medida: Piezas El estimador
: Media aritmética muestral
x El parámetro
: Media aritmética poblacional (µ)
¿Qué podemos hacer con los datos? Organizarlos en tablas, gráficos y figuras Identificar características de interés para la gestión. Calcular promedios ( media, mediana, moda y percentiles ) .
Recolección de datos
Calcular su dispersión (varianza, desviación estándar ).
Determinar una ecuación que represente la relación entre ellos (regresión)
Mejorar la Calidad Decisional
Determinar el grado de asociación entre ellos (correlación).
Analizarlos dentro de un horizonte temporal (series cronológicas)
Fases del análisis estadístico Definición Problema Variable / Atributo Definición Población o Muestra Recolección Datos Plan Censal / Muestral Organización y Presentación de Datos Medidas Estadísticas Parámetros/Estimador Inferencia Estadística Estimación/P. Hipótesis Conclusiones / Recomendaciones
Fuentes de Datos A) FUENTES SECUNDARIAS • Datos recolectados anteriormente para cumplir otros
objetivos. • Primera fuente que se debe analizar. • La técnica más utilizada es el fichaje. Ejemplo: Datos publicados en revistas especializadas, tesis, censos y en las hojas de registro anteriores
Fuentes de Datos B) FUENTES PRIMARIAS • Datos recolectados para el trabajo • Se
registran indirecto
bajo
dos
métodos:
directo
e
Métodos y técnicas de recolección de datos A) MÉTODOS DIRECTOS •Responsable registra personalmente la característica. •Comprende 2 técnicas.
Ejemplo: Registro del tiempo que demora un cliente en un banco
Métodos y técnicas de recolección de datos (a) La observación •
Se registra el dato bajo condiciones normales • Cuando se mide el desempeño, la persona observada no debe saber que es sujeta de observación • Se utiliza una hoja de registro. Ejemplo La observación de la conducta de un comprador en un autoservicio.
Métodos y técnicas de recolección de datos (b) La experimentación
Se registra un dato bajo condiciones provocadas simulando el proceso lo más real posible. Ejemplo: Un mercado prueba para introducir un nuevo producto .
Métodos y técnicas de recolección de datos B) MÉTODOS INDIRECTOS • Se registra la característica a través de preguntas • No se realiza medición •Comprende 2 técnicas.
Ejemplo: se pregunta a un cliente el tiempo que demoró en realizar una gestión en el banco
Métodos y técnicas de recolección de datos (a) La encuesta • Cuestionario de preguntas abiertas o cerradas • Al diseñarla se debe: – Elegir lo temas generales de la encuesta – Decidir forma de aplicarlo: correo, teléfono o personal – Plantear preguntas – Realizar una prueba piloto y hacer revisiones finales Ejemplo: Encuesta para conocer el grado de satisfacción de los clientes de un banco
Métodos y técnicas de recolección de datos (b) La entrevista • Permite recolectar datos o partir de un dialogo • Puede se estructurada o no estructurada
Ejemplo: Entrevista a un Gerente de Producción sobre la aplicación de norma de calidad
Métodos y técnicas de recolección de datos
Fuente
Método
Secundaria
Técnica Fichas
Directo
Observación
Experimentación Primaria
Indirecto
Encuesta
Entrevista
¿Cómo seleccionar la fuente, el método y la técnica?
1. Definir características que interesan registrar. 2. Identificar la fuente de información apropiada para cada característica. 3. Seleccionar la técnica más conveniente.
¿Cómo seleccionar la fuente, el método y la técnica? Ejemplo : En un estudio de investigación de mercados para pañales desechables, interesa conocer ciertas características,
Característica Tasa de natalidad
Fuente Secundaria
Técnica Fichas
Nivel socio económico
Primaria
Encuesta
Textura del producto
Primaria
Entrevista
Obtención de la Información • Encuestas son el último recurso. • Principales fuentes: – Almanaques – Publicaciones periódicas del gobierno – Firmas Financieras – Instituciones de Investigación – Grupos económicos – Periódicos y Revistas especializadas – Base de Datos Computarizadas, Redes.
Estadística descriptiva - Análisis de datos • Distribución de Frecuencias – Agrupamiento de datos en categorías que muestran el número de observaciones en cada categoría. • Medidas de Tendencia Central (Posición) – Aquellas que indican el valor de un punto medio o típico de un grupo de datos. • Medidas de Dispersión – Aquellas que indican como se encuentran esparcidas las observaciones de un grupo de datos.
Tablas y los gráficos Los datos deben organizarse, en tablas y en gráficos para entender mejor su naturaleza. (A) Las Tablas de Distribución Pueden ser simples o cruzadas (a)Tablas simples • Sirven para presentar una sola variable. • Pueden representar datos cualitativos o cuantitativos. • Presentan por lo menos dos columnas: categoría o clase y el número de datos o frecuencia de clase. • Puede incluirse una columna de tasa porcentual.
Tablas y los gráficos
(a)Tablas simples Para datos cualitativos se siguen los pasos siguientes: (1º) Identificar diferentes categorías. (2º) Realizar un conteo. (3º) Elaborar la tabla: titulo, cuerpo y fuente.
Tablas y los gráficos Ejemplo Cuadro 1: Calidad de Servicio Postventa Número de Categoria Clientes Muy Bueno
Tasa Porcentual (%)
5
11,11
Bueno
16
35,55
Aceptable
12
26,67
Malo
8
17,78
Muy Malo
4
8,89
45
100,00
Total
Fuente: Encuesta a los clientes, enero 1998
Tablas y los gráficos (a)Tablas simples
Para datos cuantitativos se construyen las denominadas Distribuciones de Frecuencias. Cuadro 2: Ventas diarias durante el mes de enero (en soles). Ventas
Tasa
(en soles)
Días
porcentual (%)
1000 - 4999
3
10,00
5000 - 8999
7
23,33
9000 - 12999
10
33,33
13000 - 16999
8
26,67
17000 - 20999
2
6,67
Total
30
100,00
Fuente: Departamento de Marketing
Distribución de frecuencias - Definiciones • Intervalo de clase – Número reducido de datos. • Frontera/Límite de clase – Punto medio entre dos extremos de clase consecutivas. • Amplitud de clase – Diferencia entre la frontera superior e inferior de una clase. • Marca de clase – Punto medio entre los extremos/fronteras de una clase. • Frecuencia de clase – Número de variables incluidas en un intervalo de clase.
Distribución de Frecuencias • Pasos 1. Determinar el tipo y número de clases (intervalos). Regla general : 5 - 20 Sturges : # clases = 1 + 3.3 log N 2. Determinar la amplitud de la clase (i) i = (Val. Máx. - Val. Min.) / # clases 3. Establecer el extremo inferior. 4. Determinar las fronteras (limites) 5. Calcular la marca de clase (m) 6. Contar el número de observaciones en cada clase (f).
Ejercicio Tienda BETA Cuentas Pendientes por Cobrar (en Cientos de Nuevos soles) 38 33 77 54 78 60 92 70 73 76 69 83 38 68 39 71 67 51 34 61
31 34 68 49 63 37 95 42 66 95 83 49 76 51 60 58 50 57 48 65
41 92 84 60 46 43 81 88 75 69 78 34 99 87 35 83 86 54 64 64
52 74 41 62 74 51 38 94 64 50 74 78 38 53 79 94 70 46 71 98
59 68 40 59 69 61 60 85 56 55 77 48 94 69 80 66 80 46 65 55
Distribución de Frecuencias • Pasos 1. Determinar el tipo y número de clases (intervalos). Sturges : # clases = 1 + 3.3 log N # de clases= 1 + 3.3 log (100) = 1 + 3.3 * 2 = 7.6 # de clases= 7 2. Determinar la amplitud de la clase (i) i = (Val. Máx. - Val. Min.) / # clases i = (99-31) / 7 = 9.7 i = 10 3. Establecer el extremo inferior. Puede ser 31 o menos. Por facilidad 30
Distribución de Frecuencias • Pasos 4. Determinar las fronteras (limites) Fronteras se expresan con un decimal adicional Frontera inferior de primera clase pto. Medio entre 29 y 30, es decir 29.5 Frontera superior = 29.5 + 10 = 39.5 Extremo superior de la primera clase sería 39. 5. Calcular la marca de clase (m) Pto.medio entre extremos o fronteras (30 + 39) / 2 = 34.5 ó (29.5 + 39.5) / 2 = 34.5 6. Contar el número de observaciones en cada clase (f).
Distribución de Frecuencias
Intervalo Clase
Amplitud (i)
Frontera Inferior (li)
Frontera Superior (ls)
Marca Clase (m)
Frecuencia Absoluta (f)
30 -39
10
29.5
39.5
34.5
12
40 – 49
10
39.5
49.5
44.5
12
50 – 59
10
49.5
59.5
54.5
16
60 – 69
10
59.5
69.5
64.5
23
70 – 79
10
69.5
79.5
74.5
17
80 – 89
10
79.5
89.5
84.5
11
90 – 99
10
89.5
99.5
94.5
9
Distribución de Frecuencias Tabla de Frecuencias de la distribución de Cuentas por Cobrar Tienda BETA Intervalo Clase
Marca Clase
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Acumulada
Frecuencia Relativa
Frecuencia Relativa Acumulada
30 -39
34.5
12
12
0.12
0.12
40 – 49
44.5
12
24
0.12
0.24
50 – 59
54.5
16
40
0.16
0.40
60 – 69
64.5
23
63
0.23
0.63
70 – 79
74.5
17
80
0.17
0.80
80 – 89
84.5
11
91
0.11
0.91
90 – 99
94.5
10
100
0.09
1.00
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
Tablas y los gráficos (b)Tablas cruzadas • Sirven para representar dos o más variables cualitativas. • En cada celda se puede incluir la frecuencia absoluta y relativa (por fila, columna y total).
Tablas y los gráficos Ejemplo Cuadro 4: Color de Automóvil por Sexo del propietario
Color\Sexo
Masculino Femenino
Total
Rojo
5
12
17
Verde
11
8
19
Azul
15
6
21
Otros
4
2
6
Total
35
25
63
Fuente: Encuesta a conductores, enero 1998.
Tablas y los gráficos B) Los Gráficos Pueden se puntos, líneas, áreas y volúmenes (a)Diagrama de dispersión de puntos (o ploteo) Ventas miles S/.
Gráfico 1: Ventas mensuales (en soles)
Meses
Fuente: Departamento de Marketing
Tablas y los gráficos (b) Diagrama Lineal Gráfico 2: Ventas mensuales (en soles) Ventas 12 miles S/. 10 8 6 4 2 0 Ene
Meses Feb
Mar
Abr
May
Fuente: Departamento de Marketing
Jun
Jul
Tablas y los gráficos (b) Diagrama Lineal Gráfico 3: Número de hijos en edad escolar por trabajador Nº de Trabajadores30
25 20 15 10 Número de hijos (escolares)
5 0 0
1
2
3
Fuente: Departamento de personal
4
5
Tablas y los gráficos (c) Histograma • Son barras verticales presentadas una a continuación de otra (en variables continuas) y o separadas (en variables cualitativas). • Es un gráfico muy utilizado. • El ancho es homogéneo (amplitud de clase). • La altura está en función a la frecuencia de la clase. • Los datos muestrales sirven para decidir sobre la población. • La organización de datos en un histograma permite una mejor compresión de los datos.
Tablas y los gráficos Ejemplo Gráfico 4: Peso de 100 Personas (en Kg.) Número de Personas
25 20 15 10 5 0 29.5
39.5
49.5
59.5
Fuente: Encuesta, enero 1998
69.5
79.5
89.5
99.5
Peso (Kgs)
Tablas y los gráficos Ejemplo Gráfico 5: Marca de bebida gaseosa preferida por universitarios (en %) %
20 15 10 5 0 Coca Cola
Pepsi Cola
Inka Cola
Fanta
Otros
Fuente: Encuesta a Universitarios, enero 1998
Tablas y los gráficos Histogramas a) Normales: El valor medio está al centro, que tiene la mayor frecuencia. Es el más frecuente tiene forma simétrica.
b) Rueda Dentada (Multimodal): Hay varios valores “mayores”.
Tablas y los gráficos c) Sesgo positivo: Forma asimétrica la media está localizada a la izquierda.
d) Cliff: Forma asimétrica la frecuencia disminuye bruscamente a la izquierda.
Tablas y los gráficos e) Planicie: Las clases tienen más o menos la misma frecuencia.
f)Doble Pico (bimodal): Se observa claramente dos valores máximos.
g) Isla: Presenta un pico aislado, además de un histograma general.
Tablas y los gráficos (d)Las barras horizontales Se utilizan para representar variables cualitativas. El ancho y el espacio entre barras debe ser homogéneo. La longitud de la barra es proporcional a la frecuencia Gráfico 6: Asignación del personal por departamento
Departamentos
Personal Producción
Mercadeo Logística Finanzas 0
10
20
30
40
50
60
70
Fuente: Planilla de Pagos. Oficina de Personal
80
90
100
Nº de trabajadores
Tablas y los gráficos (e) EL Polígono de Frecuencias Se construye uniendo los punto medios del lado superior de las barras del histograma Número de Personas 25 20 15 10 5 0 29.5
39.5
49.5
59.5
69.5
Fuente: Encuesta, enero 1998
79.5
89.5
99.5 Peso (Kgs)
Tablas y los gráficos (f) El diagrama circular El circulo se divide en segmentos circulares, de tamaño proporcional a la frecuencia de la categoría Ventas trimestrales: 1997 (en soles)
Fuente: Encuesta, enero 1998
1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.
Tablas y los gráficos (g) Diagrama radar Util para visualizar, por ejemplo, el cumplimiento de metas de ventas por zonas geográficas 100 80 60 40 20 0
Este Oeste Norte Sur
Fuente: Hoja de registro de ventas, enero 1998
Análisis Gráfico • Histograma – Gráfica de barras de una distribución de frecuencias. • Polígono de frecuencias – Gráfica lineal de una distribución de frecuencias (marca). • Curvas – Polígono de frecuencias suavizado (asimetría, curtosis) • Ojiva – Gráfica de una distribución de frecuencias acumulada. • Barras – Gráfica de frecuencias para diferentes categorias de datos. • Pastel – Para ilustrar divisiones de una cantidad total (%).
Análisis Gráfico Tabla de Frecuencias de la distribución de Cuentas por Cobrar Tienda BETA Intervalo Clase
Marca Clase
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Acumulada
Frecuencia Relativa
Frecuencia Relativa Acumulada
30 -39
34.5
12
12
0.12
0.12
40 – 49
44.5
12
24
0.12
0.24
50 – 59
54.5
16
40
0.16
0.40
60 – 69
64.5
23
63
0.23
0.63
70 – 79
74.5
17
80
0.17
080
80 – 89
84.5
11
91
0.11
0.91
90 – 99
94.5
9
100
0.09
1.00
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
Tienda "BETA" Histograma
Frecuencia 25
20
15
10
5
0 30-39
40-49
50-59
60-69 Frecuencia
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
70-79
80-89
90-99
Clases
Tienda "BETA Poligono de frecuencias
Frecuencia 25
20
15 Frecuencia Frecuencia
10
5
0 34.5
44.5
54.5
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
64.5
74.5
84.5
94.5
Clases
Tienda "BETA" Frecuencia Acumulada
Frecuencia 120
100
80
60
40
20
0 30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99 Clases
Frec. Acum.
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
Tienda "BETA" Frecuencia Relativa
80-89 11%
90-99 9%
30-39 12% 40-49 12%
70-79 17%
50-59 16% 60-69 23%
Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA
Ventas por Estación Tiendas XYZ (en USD) 9000 8000 7000 6000
Golf Tennis Basket Fútbol
5000 4000 3000 2000 1000 0 Primavera
Verano
Otoño
Invierno
Ventas por Estación Tiendas XYZ (en USD)
100% 80% Fútbol Basket Tennis Golf
60% 40% 20% 0% Primavera
Verano
Otoño
Invierno
Empleo de histogramas • Normales – Proceso estable, distrib. simétrica. • Doble pico – Mezcla de datos con diferentes medias. • Islas – Mezcla accidental con otra distribución. • “Cliff” – Final abrupto en una columna alta (eliminar) • Rueda dentada – Amplitudes múltiplos enteros (escala)
• ¿Está el centro de la distribución exactamente en el medio de las especificaciones? • ¿Es la dispersión demasiado grande o pequeña? • ¿Aparece algún dato más allá de las especificaciones? • ¿Hay un espacio amplio para la distribución dentro de las especificaciones?
Diagrama de Pareto Pasos 1. Decidir que elementos se estudiarán y colectar datos. 2. Tabular datos y calcular los #s acumulados. 3. Dibujar los ejes X e Y. 4. Muestre los datos como barras. 5. Dibuje una curva acumulativa. 6. Crear una escala % en eje vertical adicional. 7. Rotular el diagrama. 8. Analizar el diagrama.
Empleo 1. Enfocar el aspecto principal de un problema. 2. Decidir el objetivo y elementos de mejoras. 3. Predecir la efectividad de la mejora. 4. Confeccionar diagramas ordenados por causas. 5. Comprender la efectividad de la mejora. 6. Emplear pérdidas unitarias en lugar de casos o unid. físicas.
Diagrama de Pareto • En la planta de una empresa metal-mecánica se levantó la siguiente información referida a las lesiones sufridas por el personal entre el 1ro. de Enero y 31 de Mayo. Analizar y Concluir Lesiones Enero Febrero Marzo Abril Mayo Esguince de espalda 6 10 10 7 5 Quemadura con acido 1 1 Cortadura de mano 1 4 1 3 2 Esguince de tobillo 1 2 1 Cuerpo extraño en el ojo 2 1 1 Cortadura de pierna 1 1 2 1 1
Ejercicio • Las siguientes cifras muestran las calificaciones de 312 alumnos en pruebas de matemáticas financieras al inicio y al final de un curso de nivelación en. La Dirección de Maestrías necesita comparar las calificaciones con el objeto de ver si hubo un cambio general. • Le encargan que examine los datos y prepare un informe indicando sus conclusiones respecto al curso. Calificación 0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40
Primera Prueba 6 32 71 96 74 31 2 0
Segunda Prueba 5 10 39 60 105 79 13 1
Ejercicio 100
Frecuencia
80
60 Primera Prueba Segunda Prueba
40
20
0 0a5
06 a 10
11 a 15
16 a 20
21 a 25 Calificaciones
26 a 30
31 a 35
36 a 40