Estadisticas Centrum 5o3f7

“Estadística para istración”

Sesiones 1 y 2: Descripción de Datos

“Antes del inicio de la guerra se prevé que se podrá conquistar la victoria, eso se debe a los repetidos y minuciosos cálculos, a las apreciaciones y planificaciones que se hacen en el templo…” Sun Tzu

“Nosotros confiamos en Dios. Todos los demás deben usar datos”

W.E.Deming

?

Población

Estadística – Definición •

Diferentes significados según la persona que la analice.

•

Ideas comunes : Observación y Estudio de determinadas características de los DATOS recolectados.

•

Definición formal :

Teoremas, métodos, técnicas y herramientas que nos permiten: 1) Recolectar, seleccionar y clasificar datos. 2) Analizar e Interpretar los datos. 3) Deducir y Evaluar conclusiones en base a datos muestrales. •

¿Porqué este Análisis ? TOMA DE DECISIONES

Estadística – Definición RECOLECTAR

ORGANIZAR

Es una ciencia que abarca técnicas que nos permiten:

ANALIZAR

INTERPRETAR

DATOS

TOMA DE DECISIONES

Estadística Resumir

Numéricas

Distribuc. Frecuencias Med. Tend. Central Dispersión

Gráficas

Histogramas Polígonos Curvas Barras Pastel

Descriptiva Presentar Estadística

Inferencial

Tabla de Distribución

Edad

Diagrama Circular

N°Trabajadores

30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49

6 12 8 2

12 10 8

Diagrama de Barras

6 4

2 0

9 30-34

35-39

40-44

45-49

Estadística Resumir

Numéricas

Distribuc. Frecuencias Med. Tend. Central Dispersión

Gráficas

Histogramas Polígonos Curvas Barras Pastel

Supuestos

Probabilidad Dist. Normal Dist. Normal Std. T Student Poisson Chi Cuadrado

Descriptiva Presentar Estadística

Plantear Inferencial

Probar

Distribución Normal de Probabilidad 0.0214

0.1359

0.3413

0.3413

Media 0.683 0.955

0.997

0.1359

0.0214

Población Estadística Consta de datos que son características medidas o descritas de ciertos objetos, que llamamos Unidades Elementales. • Población Conjunto de todos los posibles individuos, personas, objetos o mediciones de interés.

• Muestra Subconjunto, una parte o parte de una población de interés.

Población Estadística Registro de una característica elementos del marco poblacional. Tiene tantos poblacional.

datos

como

EN

elementos

TODOS

el

los

marco

Habrán tantas poblaciones como características que se deseen registrar en un marco poblacional.

MARCO POBLACIONAL (1200 Trabajadores de una Empresa)

Característica Edad

Peso

Exper. laboral

Estado Civil

(años)

Registro de la Población Caract. P1 (1200 datos)

Población P2

Población P3

(1200 datos)

(1200 datos)

...

Población Pn (1200 datos)

Marco Muestral Subconjunto del marco poblacional. Comprende los elementos o estratos del marco poblacional (es representativo). En contraste con el marco poblacional es más conveniente porque se obtienen los datos en menor tiempo y reduciendo los costos. Ejemplo : 75 trabajadores de una empresa.

Marco Poblacional

Técnicas

1200 trabajadores de la empresa

de muestreo

Marco Muestral 75 trabajadores de la empresa

Característica Edad

Registro de la POBLACIÓN Caract.

P1

Peso

Exper.Lab.

POBLACIÓN

P2

Estado civil

POBLACIÓN

P3

POBLACIÓN

...

Pn

Muestra

Registro de una característica en todos los elementos del marco muestral. Tiene tantos datos como elementos el marco muestral. Habrán tantas muestras como características se deseen registrar en un marco muestral.

Técnicas

Marco Poblacional 1200 trabajadores de la empresa

Marco Muestral

de muestreo

75 trabajadores de la empresa

Característica Edad

Peso

Exper.Lab.

Estado civil

Edad

Peso

MUESTRA

MUESTRA

m1 75 datos

Registro de la POBLACIÓN Caract.

P1

POBLACIÓN

P2

POBLACIÓN

P3

POBLACIÓN

...

Pn

m2

Exper.Lab.

MUESTRA

m3

Estado civil

MUESTRA

mn

Parámetro y Estimador Parámetro: Valor representativo de una población. Se simboliza por letras griegas. Sólo hay un parámetro en cada población. 

2  

Media poblacional Varianza poblacional Desviación estándar poblacional Proporción poblacional

Parámetro y Estimador Estimador Valor representativo de una muestra. Se simboliza por letras latinas. Existen tantos estimadores como muestras se extraigan de una población. x Media muestral. s 2 Varianza muestra. s Desviación estándar muestral. p Proporción muestral.

Parámetro y Estimador n1

n2

POBLACIÓN

x1

n3

x2 x3

. .

. .

nm PARÁMETRO

DIFERENTES MUESTRAS OCASIONAN DIFERENTES VALORES DEL ESTIMADOR

xm

Parámetro y Estimador Técnicas de Muestreo

MUESTRA Estimador :

POBLACIÓN

x

Estadística Inferencial

Parámetro : µ -ˆ = Error de muestreo

Escalas de medición ESCALA NOMINAL: Los números son nominativos, sirven para designar. Sólo se puede realizar un conteo (frecuencias). No es factible las operaciones aritméticas. Se analizan a través de la comparación: igualdad y no igualdad. Ejemplo Sexo

1:Masculino

2:Femenino

Escalas de medición ESCALA ORDINAL: Los números representan un orden. No son cuantitativos, sólo simbolizan una posición. Se analizan a través de la desigualdad (mayor o

menor que). Calificación : Lugar :

A,B,C,D 1º , 2º , 3º

A>B 1º > 2º

Escalas de medición ESCALA INTERVALOS: Se utilizan números cardinales.

Se pueden realizar operaciones aritméticas. El cero no indica ausencia de la característica. Ejemplo: Año Hora Temperatura

0 00:00 0ºC

Escalas de medición ESCALA DE RAZONES: Se utilizan números cardinales. Se pueden realizar operaciones aritméticas. El cero indica ausencia de la característica. Ejemplo: Ingreso mensual Nº de hijos Procesos defectuosos

: : :

S/.00. 0 0

Estadística – Tipos de Datos Medidas Datos

Características Descritas

Unidades Elementales Población

Medible

Cuantitativa

Variable

Descrita / NM

Cualitativa

Atributo

Observación

Discreta

# Limitado

Conteo

# Entero

Continua

# Infinito

Medición

Fracción

Variable

Ejercicio Aplicativo

El Gerente de Producción de una empresa manufacturera desea estimar el número promedio diario de piezas que no pasan el control de calidad. Con este fin elige por sorteo 10 días laborales del último mes. En uno de los días elegidos se registraron 32 piezas defectuosos.

En esta situación, identifique: La característica

: Número de piezas defectuosas por día.

La unidad elemental : Un día (laboral). El marco poblacional : Número de días (laborales) que viene funcionando la empresa. La población

: Registro diario de piezas defectuosas en todo el tiempo que viene funcionando la empresa.

El marco muestral

: Diez días laborales (elegidos al azar)

En esta situación, identifique: La muestra

: Registro diario de piezas defectuosas durante los 10 días elegidos al azar.

Tipo de dato

: Variable cuantitativa discreta

Un dato registrado

: 32

La unidad de medida: Piezas El estimador

: Media aritmética muestral

x El parámetro

: Media aritmética poblacional (µ)

¿Qué podemos hacer con los datos? Organizarlos en tablas, gráficos y figuras Identificar características de interés para la gestión. Calcular promedios ( media, mediana, moda y percentiles ) .

Recolección de datos

Calcular su dispersión (varianza, desviación estándar ).

Determinar una ecuación que represente la relación entre ellos (regresión)

Mejorar la Calidad Decisional

Determinar el grado de asociación entre ellos (correlación).

Analizarlos dentro de un horizonte temporal (series cronológicas)

Fases del análisis estadístico Definición Problema Variable / Atributo Definición Población o Muestra Recolección Datos Plan Censal / Muestral Organización y Presentación de Datos Medidas Estadísticas Parámetros/Estimador Inferencia Estadística Estimación/P. Hipótesis Conclusiones / Recomendaciones

Fuentes de Datos A) FUENTES SECUNDARIAS • Datos recolectados anteriormente para cumplir otros

objetivos. • Primera fuente que se debe analizar. • La técnica más utilizada es el fichaje. Ejemplo: Datos publicados en revistas especializadas, tesis, censos y en las hojas de registro anteriores

Fuentes de Datos B) FUENTES PRIMARIAS • Datos recolectados para el trabajo • Se

registran indirecto

bajo

dos

métodos:

directo

e

Métodos y técnicas de recolección de datos A) MÉTODOS DIRECTOS •Responsable registra personalmente la característica. •Comprende 2 técnicas.

Ejemplo: Registro del tiempo que demora un cliente en un banco

Métodos y técnicas de recolección de datos (a) La observación •

Se registra el dato bajo condiciones normales • Cuando se mide el desempeño, la persona observada no debe saber que es sujeta de observación • Se utiliza una hoja de registro. Ejemplo La observación de la conducta de un comprador en un autoservicio.

Métodos y técnicas de recolección de datos (b) La experimentación

Se registra un dato bajo condiciones provocadas simulando el proceso lo más real posible. Ejemplo: Un mercado prueba para introducir un nuevo producto .

Métodos y técnicas de recolección de datos B) MÉTODOS INDIRECTOS • Se registra la característica a través de preguntas • No se realiza medición •Comprende 2 técnicas.

Ejemplo: se pregunta a un cliente el tiempo que demoró en realizar una gestión en el banco

Métodos y técnicas de recolección de datos (a) La encuesta • Cuestionario de preguntas abiertas o cerradas • Al diseñarla se debe: – Elegir lo temas generales de la encuesta – Decidir forma de aplicarlo: correo, teléfono o personal – Plantear preguntas – Realizar una prueba piloto y hacer revisiones finales Ejemplo: Encuesta para conocer el grado de satisfacción de los clientes de un banco

Métodos y técnicas de recolección de datos (b) La entrevista • Permite recolectar datos o partir de un dialogo • Puede se estructurada o no estructurada

Ejemplo: Entrevista a un Gerente de Producción sobre la aplicación de norma de calidad

Métodos y técnicas de recolección de datos

Fuente

Método

Secundaria

Técnica Fichas

Directo

Observación

Experimentación Primaria

Indirecto

Encuesta

Entrevista

¿Cómo seleccionar la fuente, el método y la técnica?

1. Definir características que interesan registrar. 2. Identificar la fuente de información apropiada para cada característica. 3. Seleccionar la técnica más conveniente.

¿Cómo seleccionar la fuente, el método y la técnica? Ejemplo : En un estudio de investigación de mercados para pañales desechables, interesa conocer ciertas características,

Característica Tasa de natalidad

Fuente Secundaria

Técnica Fichas

Nivel socio económico

Primaria

Encuesta

Textura del producto

Primaria

Entrevista

Obtención de la Información • Encuestas son el último recurso. • Principales fuentes: – Almanaques – Publicaciones periódicas del gobierno – Firmas Financieras – Instituciones de Investigación – Grupos económicos – Periódicos y Revistas especializadas – Base de Datos Computarizadas, Redes.

Estadística descriptiva - Análisis de datos • Distribución de Frecuencias – Agrupamiento de datos en categorías que muestran el número de observaciones en cada categoría. • Medidas de Tendencia Central (Posición) – Aquellas que indican el valor de un punto medio o típico de un grupo de datos. • Medidas de Dispersión – Aquellas que indican como se encuentran esparcidas las observaciones de un grupo de datos.

Tablas y los gráficos Los datos deben organizarse, en tablas y en gráficos para entender mejor su naturaleza. (A) Las Tablas de Distribución Pueden ser simples o cruzadas (a)Tablas simples • Sirven para presentar una sola variable. • Pueden representar datos cualitativos o cuantitativos. • Presentan por lo menos dos columnas: categoría o clase y el número de datos o frecuencia de clase. • Puede incluirse una columna de tasa porcentual.

Tablas y los gráficos

(a)Tablas simples Para datos cualitativos se siguen los pasos siguientes: (1º) Identificar diferentes categorías. (2º) Realizar un conteo. (3º) Elaborar la tabla: titulo, cuerpo y fuente.

Tablas y los gráficos Ejemplo Cuadro 1: Calidad de Servicio Postventa Número de Categoria Clientes Muy Bueno

Tasa Porcentual (%)

5

11,11

Bueno

16

35,55

Aceptable

12

26,67

Malo

8

17,78

Muy Malo

4

8,89

45

100,00

Total

Fuente: Encuesta a los clientes, enero 1998

Tablas y los gráficos (a)Tablas simples

Para datos cuantitativos se construyen las denominadas Distribuciones de Frecuencias. Cuadro 2: Ventas diarias durante el mes de enero (en soles). Ventas

Tasa

(en soles)

Días

porcentual (%)

1000 - 4999

3

10,00

5000 - 8999

7

23,33

9000 - 12999

10

33,33

13000 - 16999

8

26,67

17000 - 20999

2

6,67

Total

30

100,00

Fuente: Departamento de Marketing

Distribución de frecuencias - Definiciones • Intervalo de clase – Número reducido de datos. • Frontera/Límite de clase – Punto medio entre dos extremos de clase consecutivas. • Amplitud de clase – Diferencia entre la frontera superior e inferior de una clase. • Marca de clase – Punto medio entre los extremos/fronteras de una clase. • Frecuencia de clase – Número de variables incluidas en un intervalo de clase.

Distribución de Frecuencias • Pasos 1. Determinar el tipo y número de clases (intervalos). Regla general : 5 - 20 Sturges : # clases = 1 + 3.3 log N 2. Determinar la amplitud de la clase (i) i = (Val. Máx. - Val. Min.) / # clases 3. Establecer el extremo inferior. 4. Determinar las fronteras (limites) 5. Calcular la marca de clase (m) 6. Contar el número de observaciones en cada clase (f).

Ejercicio Tienda BETA Cuentas Pendientes por Cobrar (en Cientos de Nuevos soles) 38 33 77 54 78 60 92 70 73 76 69 83 38 68 39 71 67 51 34 61

31 34 68 49 63 37 95 42 66 95 83 49 76 51 60 58 50 57 48 65

41 92 84 60 46 43 81 88 75 69 78 34 99 87 35 83 86 54 64 64

52 74 41 62 74 51 38 94 64 50 74 78 38 53 79 94 70 46 71 98

59 68 40 59 69 61 60 85 56 55 77 48 94 69 80 66 80 46 65 55

Distribución de Frecuencias • Pasos 1. Determinar el tipo y número de clases (intervalos). Sturges : # clases = 1 + 3.3 log N # de clases= 1 + 3.3 log (100) = 1 + 3.3 * 2 = 7.6 # de clases= 7 2. Determinar la amplitud de la clase (i) i = (Val. Máx. - Val. Min.) / # clases i = (99-31) / 7 = 9.7 i = 10 3. Establecer el extremo inferior. Puede ser 31 o menos. Por facilidad 30

Distribución de Frecuencias • Pasos 4. Determinar las fronteras (limites) Fronteras se expresan con un decimal adicional Frontera inferior de primera clase pto. Medio entre 29 y 30, es decir 29.5 Frontera superior = 29.5 + 10 = 39.5 Extremo superior de la primera clase sería 39. 5. Calcular la marca de clase (m) Pto.medio entre extremos o fronteras (30 + 39) / 2 = 34.5 ó (29.5 + 39.5) / 2 = 34.5 6. Contar el número de observaciones en cada clase (f).

Distribución de Frecuencias

Intervalo Clase

Amplitud (i)

Frontera Inferior (li)

Frontera Superior (ls)

Marca Clase (m)

Frecuencia Absoluta (f)

30 -39

10

29.5

39.5

34.5

12

40 – 49

10

39.5

49.5

44.5

12

50 – 59

10

49.5

59.5

54.5

16

60 – 69

10

59.5

69.5

64.5

23

70 – 79

10

69.5

79.5

74.5

17

80 – 89

10

79.5

89.5

84.5

11

90 – 99

10

89.5

99.5

94.5

9

Distribución de Frecuencias Tabla de Frecuencias de la distribución de Cuentas por Cobrar Tienda BETA Intervalo Clase

Marca Clase

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

30 -39

34.5

12

12

0.12

0.12

40 – 49

44.5

12

24

0.12

0.24

50 – 59

54.5

16

40

0.16

0.40

60 – 69

64.5

23

63

0.23

0.63

70 – 79

74.5

17

80

0.17

0.80

80 – 89

84.5

11

91

0.11

0.91

90 – 99

94.5

10

100

0.09

1.00

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

Tablas y los gráficos (b)Tablas cruzadas • Sirven para representar dos o más variables cualitativas. • En cada celda se puede incluir la frecuencia absoluta y relativa (por fila, columna y total).

Tablas y los gráficos Ejemplo Cuadro 4: Color de Automóvil por Sexo del propietario

Color\Sexo

Masculino Femenino

Total

Rojo

5

12

17

Verde

11

8

19

Azul

15

6

21

Otros

4

2

6

Total

35

25

63

Fuente: Encuesta a conductores, enero 1998.

Tablas y los gráficos B) Los Gráficos Pueden se puntos, líneas, áreas y volúmenes (a)Diagrama de dispersión de puntos (o ploteo) Ventas miles S/.

Gráfico 1: Ventas mensuales (en soles)

Meses

Fuente: Departamento de Marketing

Tablas y los gráficos (b) Diagrama Lineal Gráfico 2: Ventas mensuales (en soles) Ventas 12 miles S/. 10 8 6 4 2 0 Ene

Meses Feb

Mar

Abr

May

Fuente: Departamento de Marketing

Jun

Jul

Tablas y los gráficos (b) Diagrama Lineal Gráfico 3: Número de hijos en edad escolar por trabajador Nº de Trabajadores30

25 20 15 10 Número de hijos (escolares)

5 0 0

1

2

3

Fuente: Departamento de personal

4

5

Tablas y los gráficos (c) Histograma • Son barras verticales presentadas una a continuación de otra (en variables continuas) y o separadas (en variables cualitativas). • Es un gráfico muy utilizado. • El ancho es homogéneo (amplitud de clase). • La altura está en función a la frecuencia de la clase. • Los datos muestrales sirven para decidir sobre la población. • La organización de datos en un histograma permite una mejor compresión de los datos.

Tablas y los gráficos Ejemplo Gráfico 4: Peso de 100 Personas (en Kg.) Número de Personas

25 20 15 10 5 0 29.5

39.5

49.5

59.5

Fuente: Encuesta, enero 1998

69.5

79.5

89.5

99.5

Peso (Kgs)

Tablas y los gráficos Ejemplo Gráfico 5: Marca de bebida gaseosa preferida por universitarios (en %) %

20 15 10 5 0 Coca Cola

Pepsi Cola

Inka Cola

Fanta

Otros

Fuente: Encuesta a Universitarios, enero 1998

Tablas y los gráficos Histogramas a) Normales: El valor medio está al centro, que tiene la mayor frecuencia. Es el más frecuente tiene forma simétrica.

b) Rueda Dentada (Multimodal): Hay varios valores “mayores”.

Tablas y los gráficos c) Sesgo positivo: Forma asimétrica la media está localizada a la izquierda.

d) Cliff: Forma asimétrica la frecuencia disminuye bruscamente a la izquierda.

Tablas y los gráficos e) Planicie: Las clases tienen más o menos la misma frecuencia.

f)Doble Pico (bimodal): Se observa claramente dos valores máximos.

g) Isla: Presenta un pico aislado, además de un histograma general.

Tablas y los gráficos (d)Las barras horizontales Se utilizan para representar variables cualitativas. El ancho y el espacio entre barras debe ser homogéneo. La longitud de la barra es proporcional a la frecuencia Gráfico 6: Asignación del personal por departamento

Departamentos

Personal Producción

Mercadeo Logística Finanzas 0

10

20

30

40

50

60

70

Fuente: Planilla de Pagos. Oficina de Personal

80

90

100

Nº de trabajadores

Tablas y los gráficos (e) EL Polígono de Frecuencias Se construye uniendo los punto medios del lado superior de las barras del histograma Número de Personas 25 20 15 10 5 0 29.5

39.5

49.5

59.5

69.5

Fuente: Encuesta, enero 1998

79.5

89.5

99.5 Peso (Kgs)

Tablas y los gráficos (f) El diagrama circular El circulo se divide en segmentos circulares, de tamaño proporcional a la frecuencia de la categoría Ventas trimestrales: 1997 (en soles)

Fuente: Encuesta, enero 1998

1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

Tablas y los gráficos (g) Diagrama radar Util para visualizar, por ejemplo, el cumplimiento de metas de ventas por zonas geográficas 100 80 60 40 20 0

Este Oeste Norte Sur

Fuente: Hoja de registro de ventas, enero 1998

Análisis Gráfico • Histograma – Gráfica de barras de una distribución de frecuencias. • Polígono de frecuencias – Gráfica lineal de una distribución de frecuencias (marca). • Curvas – Polígono de frecuencias suavizado (asimetría, curtosis) • Ojiva – Gráfica de una distribución de frecuencias acumulada. • Barras – Gráfica de frecuencias para diferentes categorias de datos. • Pastel – Para ilustrar divisiones de una cantidad total (%).

Análisis Gráfico Tabla de Frecuencias de la distribución de Cuentas por Cobrar Tienda BETA Intervalo Clase

Marca Clase

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa Acumulada

30 -39

34.5

12

12

0.12

0.12

40 – 49

44.5

12

24

0.12

0.24

50 – 59

54.5

16

40

0.16

0.40

60 – 69

64.5

23

63

0.23

0.63

70 – 79

74.5

17

80

0.17

080

80 – 89

84.5

11

91

0.11

0.91

90 – 99

94.5

9

100

0.09

1.00

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

Tienda "BETA" Histograma

Frecuencia 25

20

15

10

5

0 30-39

40-49

50-59

60-69 Frecuencia

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

70-79

80-89

90-99

Clases

Tienda "BETA Poligono de frecuencias

Frecuencia 25

20

15 Frecuencia Frecuencia

10

5

0 34.5

44.5

54.5

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

64.5

74.5

84.5

94.5

Clases

Tienda "BETA" Frecuencia Acumulada

Frecuencia 120

100

80

60

40

20

0 30-39

40-49

50-59

60-69

70-79

80-89

90-99 Clases

Frec. Acum.

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

Tienda "BETA" Frecuencia Relativa

80-89 11%

90-99 9%

30-39 12% 40-49 12%

70-79 17%

50-59 16% 60-69 23%

Fuente: Dpto. Contabilidad Tienda BETA

Ventas por Estación Tiendas XYZ (en USD) 9000 8000 7000 6000

Golf Tennis Basket Fútbol

5000 4000 3000 2000 1000 0 Primavera

Verano

Otoño

Invierno

Ventas por Estación Tiendas XYZ (en USD)

100% 80% Fútbol Basket Tennis Golf

60% 40% 20% 0% Primavera

Verano

Otoño

Invierno

Empleo de histogramas • Normales – Proceso estable, distrib. simétrica. • Doble pico – Mezcla de datos con diferentes medias. • Islas – Mezcla accidental con otra distribución. • “Cliff” – Final abrupto en una columna alta (eliminar) • Rueda dentada – Amplitudes múltiplos enteros (escala)

• ¿Está el centro de la distribución exactamente en el medio de las especificaciones? • ¿Es la dispersión demasiado grande o pequeña? • ¿Aparece algún dato más allá de las especificaciones? • ¿Hay un espacio amplio para la distribución dentro de las especificaciones?

Diagrama de Pareto Pasos 1. Decidir que elementos se estudiarán y colectar datos. 2. Tabular datos y calcular los #s acumulados. 3. Dibujar los ejes X e Y. 4. Muestre los datos como barras. 5. Dibuje una curva acumulativa. 6. Crear una escala % en eje vertical adicional. 7. Rotular el diagrama. 8. Analizar el diagrama.

Empleo 1. Enfocar el aspecto principal de un problema. 2. Decidir el objetivo y elementos de mejoras. 3. Predecir la efectividad de la mejora. 4. Confeccionar diagramas ordenados por causas. 5. Comprender la efectividad de la mejora. 6. Emplear pérdidas unitarias en lugar de casos o unid. físicas.

Diagrama de Pareto • En la planta de una empresa metal-mecánica se levantó la siguiente información referida a las lesiones sufridas por el personal entre el 1ro. de Enero y 31 de Mayo. Analizar y Concluir Lesiones Enero Febrero Marzo Abril Mayo Esguince de espalda 6 10 10 7 5 Quemadura con acido 1 1 Cortadura de mano 1 4 1 3 2 Esguince de tobillo 1 2 1 Cuerpo extraño en el ojo 2 1 1 Cortadura de pierna 1 1 2 1 1

Ejercicio • Las siguientes cifras muestran las calificaciones de 312 alumnos en pruebas de matemáticas financieras al inicio y al final de un curso de nivelación en. La Dirección de Maestrías necesita comparar las calificaciones con el objeto de ver si hubo un cambio general. • Le encargan que examine los datos y prepare un informe indicando sus conclusiones respecto al curso. Calificación 0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Primera Prueba 6 32 71 96 74 31 2 0

Segunda Prueba 5 10 39 60 105 79 13 1

Ejercicio 100

Frecuencia

80

60 Primera Prueba Segunda Prueba

40

20

0 0a5

06 a 10

11 a 15

16 a 20

21 a 25 Calificaciones

26 a 30

31 a 35

36 a 40