Distribucion Normal 5r536s
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DISTRIBUCION NORMAL c c cc INTRODUCCIÓN: c c c c cc c c cc c cc c c c
c c ccc c c c cc c c GUASSIANAcc c c c c c c c c c c c c c c cc
c cc c ccccccc cc
c c c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c cccc!cc c c"#cc$c%&''() &(*+,cc - c . c /#c
c %&((()&0**,c c c c c c c c c c c 1c c #c c c c c !c c 2c c c "campana de Gauss"cc c c c c c c c c c c c c
ccc
c c c c ccµccɷcc.c cc c cc c cccc c c
ccccccccccccccccccccccå Donde:
ccccccc$c. 1c
ɷ= c µ= X= 3 cc c ccccc ccc c% c&,c
c Figura 1. Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva c
" c cc c c cX c c c cc µcc!c€cc c ccXc4cN (µ , ɷ)c c
c cc cccc c5 c&c 5c
c ccc c c c c c cc
ccc
c c c cc ccc cc c c cc c c c c ccaracterísticas:ccc ®c c c2cc ccc
ccc
cc ®c c c c c c c cc cc-c c c cc)c Ücc6Üc c ®c
®c ®c
®c
c cc5 cc c c c c ccc cc&c 5 c cc cc
ccµcc72c cc ccc c8 c c cc c*9:cc c ccc c ccc c*9:cc c c cc c cc c c!cc ccc c cc 8cc c c c cc
c cc%ɷ,cc. cc cɷc c c c c cc c c 5 c c c c c c c c c c 8c c c c c c c c c c c 9;*cc 5c c 8 c c ;*:c c cc c c ccc c c%µ -1.96ɷ ; µ + 1.96ɷ,c ccc c c c c c c
c c c c cµc c %ɷc Figura 2,cc c c c c c c c c c c c c c c c µc c c c !cc c c c c#! cc-ccc c c cc c cc cc c cc. cc c c ccɷc c c c c cccc ccc c c c c cc<c c =cc cc c c c c c c c c c c c c c c c c
Figura 2. $jemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.
c
ccccccccccccccc
ccccccccccccccccccccccccccccccccccc
%,c cc> c cc cccccccccc%,ccccc> c cc c c > c cc ccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c
c
c
.c c cc c2 ccc8 c c2c c c c c c c cc cc2c cc c cc
ccc
c!cc >cc c c c c !c c cdistribución normal estándarc c cc c ccc9cc!c&cc" c c8 c cc
c c c ccc c$c. 1 5 ccc cccc c cRc c c c ccN (µ , ɷ)c c ccc cZcc cdistribución normal estándarc c c cc c c c
m
ccccccccccccc$c.2
Donde: X= $l valor de cualquier observación o medición en particular µ= $s la media de la distribución ɷ= $s la deviación estándar de la distribución <c cc?c8 c c cccc c c cc@cc ccc c cc c cc<c!c c c !c c c c c c c ?c c c c c c c c c 9c c c c cc&cc OBS. La probabilidad de que ocurra un evento se encuentra con tablas y el valor de Z calculado. $jm 1:
5 c c c
c c c c c c c c c
c c c c c c c c8c c c cc c09cAcc c c cc&9cAccB- c c c c c cc c c c c c!cc c c
cc&99cACc >c c Rc c c c c c c c c c c c c c c
c c c N(80,10)cc 7c
c c c c c c c c c
!c c c cAPÉNDIC$ D %57">D7D."c"-D ">"c"cE7c 5 E.DE7cFc"c"c5.E E$D"c&Gcc 5>D.DE c > c "c c 7 c "c #c -c (G9,c c c c c c c cc.c cc c c c
c c2 c c c c 2c c $c. 1ccc c m
c
c
-cc !c#c cc" c c c c c c c c  Â
 !c
.c cc c c c c c cc&c c c c Oc  !  !c
5 c 2 c c c c c c c c c c AP$NDIC$ D _57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gc c 5>D.DE c > c "c c 7 c "c #c -c (G9,c
c c c ! "#$$!cc -c cc c c cc c c c c cc c cc c ccc&99c Acc cc&H9;((G499GG0c cc8cc cGI:c >cc c cc c cc c c cc c
c cc'9cc &99cAc  % Â
% Â ! !c
>c cFigura 1cc4)Gcc4Gc c c c
 ! !  !  !c
-c c cc c c c ! "#$$!ccc-c c c c c c c c cc c c c ccc c c c c  c c c c c c cc 7c c #c c c c
cc c c c cc c  !  !  ! "#$$! "!!c
/ c c c c c c c c c c !c c c c c'9cc&99cAc cc9;((G)99GG049;*++c cc8cc c;*:c LA R$GLA $MPÍRICA >c c c c c c c c 8c c c c c ®c %$cJc7,cc8c c'0c:cc c c ®c %$cJcG7,cc8c c;*:cc cc c ®c %$cJcI7,cc c c c cc
c
Figura 2. Distribución de las observaciones ccc c cc cc
c cc c c ccc cc2cc c LA APROXIMACIÓN D$ LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL " c c c c c c
c c #c c c c c c ! cc8c c c -c c c c c c c c c c c 4c 9*c c c cc= cc c c
c
4Gccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4*cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4&9c
c
"cc cc c cc c ccc c ccc c c c8c cc c c c cc c c cc c
c c cc c c ccKc4ccc$c. 3ccccLc4cI &c$c. 4c
cc
c
Donde: 4c2cc c ccc c !c c8c ccc cccccccccccccc4c- cc8c%;*:,c cccccccccccccc4c cc c%*:,c 7cc cc c c cc cc c c !c c8cc c c c c c c cc c c c
' & c
c
FACTOR D$ CORR$CCIÓN D$ CONTINUIDAD
5 c c c c c c c c c c c c c c c c c 8 c cc c c c c c c c c c . c c c
c 1)c Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el área por encima de (X ʹ 0,5). 2)c Para la de que más de X sucedan, utilice el área por arriba de (X + 0,5). 3)c Para la de que X o menos ocurran, aplique el área por debajo de (X + 0,5). 4)c Para la de que menos de X sucedan, emplee el área situada por debajo de (X ʹ 0,5). $ $MPLO: 7 c c cc c !c&9c cc c c c c ccc *'c(c c0c c > c c
È%*cMcR c0,cc c c ccccc !c c " 'c
. c cc
( I & "" "c
Obs: /c N c c 2 c c c c c c c Zc c c c c c c c %APÉNDIC$ D 57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gcc 5>D.DE c> c"cc7 c"c#c-c(G9,c  )" " Â
c
" )" / !"! / "*! "%#c " "
7c # c c c c c c cc c c # c c c c c c c 9'&GIc c c c c c
c c c c c c c ccc c cc c cc c c c
$ $RCICIOS $ $RCICIOS R$SU$LTOS Nota: el símbolo Ɍ(Z) se interpreta como buscar en tablas (APÉNDIC$ D) el área a la izquierda del valor de Z que se está manejando. &cc>c c c c c c cc c c c c c ,cc c! cc!c4c&+Ic P(Z < 1.43) = Ɍ( 1.43 ) = 0.9236 ,cc c#cc!c4c)90;c P(Z > -0.89) = 1 - Ɍ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133 ,cc!c4c)G&'cc!c4c)9'*c P( -2.16
< -0.65) = Ɍ( -2.16 ) - Ɍ(-0.65) = 0.2643 ʹ 0.154 = 0.2490 ,cc c! cc!c4c)&I;c P(Z <-1.39) = Ɍ( -1.39 ) = 0.0823 ,cc c#cc!c4c&;'c P(Z > 1.96) = 1 - Ɍ( 1.96) = 1 ʹ 0.9750 = 0.0250 ,cc!c4c)9+0cc!c4c&(+c P( -0.48
< 1.74) = Ɍ( 1.74 ) - Ɍ(-0.48) = 0.9591 ʹ 0.3156 Gc>c c c c ccOc4cI9cc4c'c c ,c-%?QR,4c99+G(c Ɍ( k ) = 0.0427 k = -1.72 ,c-%?SR,4c9G;+'c Ɍ( k ) = 1- 0.2946 = 0.7054 k =0.54 ,c-%)9;IQ?QR,4c9(GI*c Ɍ( k ) = 0.7235 + Ɍ(-0.93 ) = 0.8997 k = 1.28 Ic>c c c@c c ccc&0cc c cG*c c
c
,c-%@Q&*,4c P(X < 15) = Ɍ[(15 - 18)/2.5 ] = Ɍ[-1.20 ] = 0.1151 ,c5 c ccRc c c-%@cQcR,4c9GGI'c Ɍ( Z ) = 0.2236 Z = -0.76 k = Zʍ + ʅ = (-0.76)(2.5) + 18 = 16.10 ,c5 c ccRc c c-%@cScR,4c9&0&+c 1 - Ɍ( Z ) = 0.1814 Ɍ( Z )= 0.8186 Z = 0.91 k = Zʍ + ʅ = (0.91)(2.5) + 18 = 20.28 ,c-%&(Q@QG&,c P(17 < X < 21) = Ɍ[(21 ʹ 18)/2.5 ] - Ɍ[(17 ʹ 18)/2.5 ] = Ɍ[1.20 ] - Ɍ[-0.40 ] = 0.8849 ʹ 0.3446 =0.5404 +c <c c c c c c c c c c c +9c c c
c c c c c c c c c c c c c 7 c c c cc c c c c cc c c c c'Ic c c c cc c cccc c ʅ = 40 y ʍ = 6.3 ,c ccIGc c c P(X > 32) = 1 - Ɍ[(32 ʹ 40)/6.3 ] = 1 - Ɍ[-1.27 ] = 1 ʹ 0.1021 = 0.8979 ,c ccG0c c c P(X <28) = Ɍ[28 ʹ 40)/6.3] = Ɍ[-1.90] = 0.0284 ,c cI(cc+;c c c P(37 < X < 49) = Ɍ[49 ʹ 40)/6.3 ] - Ɍ[(37 ʹ 40)/6.3 ] = Ɍ[1.43 ] - Ɍ[-0.48 ] = 0.9234 ʹ 0.3170 = 0.6065 *c7c c c c #cc c c c c cccG99c c c c7c cccc c c cc c c c cc &*c c c ʅ = 200 y ʍ = 15
c
,c B ccc c cc ccGG+c Cc c P(X > 224) = 1 - Ɍ[(224 ʹ 200)/15 ] = 1 - Ɍ[1.60 ] = 1 ʹ 0.9452 = 0.0548
,c B c c c cc c c ccc&;&ccG9;c Cc c P(191 < X < 209) = Ɍ[209 ʹ 200)/15 ] - Ɍ[(191 ʹ 200)/15 ] = Ɍ[0.60 ] - Ɍ[-0.60 ] = 0.7257 ʹ 0.2743 =0.4514 ,c B c c c cc c c !c ccGI9c cc c
c&999c Cc c
c P(X > 230) = 1 - Ɍ[(230 ʹ 200)/15 ] = 1 - Ɍ[2.00 ] = 1 ʹ 0.9772 = 0.0228 Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23
,c Bc cc c c cG*:cc c c c = Cc c P25 K = 25 Área = 0.25 Ɍ( Z ) = 0.25 Z = -0.67 x = Zʍ + ʅ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88 'c<ccc c c cc
c cc c
cc
ccc ccc c c 5 c c c c c c c c c G+c c c c c c c I0c c7 c c c cc c cc c c c c c ʅ = 24 y ʍ = 3.8 ,c B c c c cc c c cc c cTc#Cc c P(X > 30) = 1 - Ɍ[(30 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[1.58 ] = 1 ʹ 0.9428 = 0.0572 ,c 7c cccc c;99ccc c ccc
c cc c0+*ccB c cc c c cc c Cc c P(X > 15) = 1 - Ɍ[(15 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[-2.37 ] = 1 ʹ 0.0089 = 0.9911 ,c 7c cc
c cc c0I*ccc cc c cc ccc0*9cc;99ccB c c c cc cc cCc
c
c P(X > 25) = 1 - Ɍ[(25 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[0.26 ] = 1 ʹ 0.6038 = 0.3962
,c 5 c c c c c c c c c c c c &*:c c c c c c c 1 - Ɍ( Z ) = 0.15 Ɍ( Z )= 0.85 Z = 1.04 x = Zʍ + ʅ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94 ,c 5 c c cc c cc c c c cc c cTc#c c Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3C2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925 (ccccccccc =c c&9c= cc c c cc c = c 5 c c !c c c c c c c c c c c c7c c cc !c cI:cc c c c cBc c cc
c cc c!Cc7 c c c cc cc c c c c c ʅ = 10 y ʍ = 2 P3 Área = 0.03 Ɍ( Z ) = 0.03 Z = -1.88 x = Zʍ + ʅ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24 0c c =c c c
c c c c c c U&*;9c c #c c c c ccU&*9c7c c c c c8ccc cc
cc cc c8c c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 ,c B c c c c c c cc U&I(*c c U&'GGc c c #Cc c P(13.75 < X < 16.22) = Ɍ[16.22 ʹ 15.90)/1.5 ] - Ɍ[(13.75 ʹ 15.90)/1.5 ] = Ɍ[0.21 ] - Ɍ[- 1.43] = 0.5845 ʹ 0.0759 = 0.5086 ,c Bc c*:c c cc c cc#cc c c ccc cCc
c
c P95 Área = 0.95 Ɍ( Z ) = 0.95 Z = 1.645 x = Zʍ + ʅ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37 ;cc cc cccccc c c c cc c c c &9999c R c c c c c c c c c &99c R c c c c c c c c c c *9c R c c c c c c c ,c B3 c c c c c 8c &9&*9c R c c c cc cc ccCc c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 unidades = 50 e= + 25 P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 ʹ Ɍ[ (10175 ʹ 10000)/100] = 1 - Ɍ[1.75] = 1 ʹ 0.9599 = 0.0401 ,c 7c c c cc c c cc cc cc c ;099c c &9G99c R c c c c c B c c c ! c c c c Cc c Proporción de descarte = 1 ʹ P(9800 < X < 10200)
P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)
= Ɍ[ (10225 ʹ 10000)/100] - Ɍ[ (9775 ʹ 10000)/100]
= Ɍ[2.25] - Ɍ[-2.25] = 0.9878 ʹ 0.0122 = 0.9756
Proporción de descarte = 1 ʹ 0.9756 = 0.0244
&9c c .Dc c '99c c c c c c c 8c c c cc ccc&&*cc c c cc&Gc7c c c c c.Dcc
c
c c ;*c B c c c c c #! c c c c c c
c c Cc c P(X < 95) = Ɍ[(95 ʹ 115)/12]= Ɍ[-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29 &&c<c c cc ccc09c c c cc&+9 c
: @
4
+
a)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p(75 ч x ч 90) z
c z
O "$c4c9('&&c ) )
( "*%4c9I*;+c ) )
c %(*cMc8cMc;9,c4c9('&&cHc9I*;+c4c0.4017 b)c Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ч 75)c
( "*% c9I*;+c ) ) %8cMc(*,c4c0.3594
z
c)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p(55 ч x ч 70)
c
z
c z c
c
( "$c4c9GI0;c ) ) "$#499I0(c ) )
%**cMc8cMc(9,c4c9GI0;cHc99I'(4c0.2022c c c c &Gc c ccc c ccc c cc cc>VcNc / c 7 c c c c c c c c U(9999c c c c ccUG9999c5 c=c cc c cc c B. c c c cc c c c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccc c ccccccccccccccc4
Ö ,
-$, , " !, !,
c c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccccccc c cccccccccccccccc4
cccccccccccccccc4
Ö ,
-$, , " !, !,
ã ,
-$, , "! !, !,
c
c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccc ccccccccccccccc4
c
ã ,
-$, , "! !, !,
!c c c c &Ic5c c c c 5 c < c c c c c c c G*9999c # c c c c c c c c c c c c c G+Ic c 5 c c c c c c c c c : @
4
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c c
c FRc c c c
c c c I0Ic c 7 c c c
c c c c c c c c c c c FRc c c cc c cc c c c cc(*c c c c c c c c "#$c % c c & % c c c c c ' & c ()c c c cc c cccccccccccccccccccccccccccccc c cccccccccccccccccccc4
¿ -*"* Ö"¿ " $" $"
*c+c*,c c c "#$c % c c& % c c cccc c ccccccccccccccccccccccccccccccccc c 4
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* c+c* , c c
c "#$c % c c& % c c ccc-c c cccc-ccccccccccccccccccccccccccccc c ' -*"* "( "!* $" (" ¿ -*"* Ö"¿ 4 $" (" "
4
-!c+c-!,c c c &+c c c
cc cc cccN#cWcc c c cc cccU&G99cc c c ccUGG*c : @ c
4 (
" c c c c c ccccc c c #c *:c c c c c c
c c8 cB>c cc c c ccCc c c c c c c c
-,! 4 cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc* ( "% !! . ,! *$"! . ,! . ,! / *$"! cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc+c*!*c
c c c
c
c &*c5c G99+c c G99*c c c c c c c c c c c c 5 c< cccUG990Gc7 c c c cc c c c
ccc c cc c cc c c c c ccU+*99c5 c;*:cc c cc c cc cc B3 cCc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc*-
-!,! ',
"%) ), . !,! $,* . !,! . !,! / $,*
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc+c!-c c &'c5 ccc c c cc c cccc c c c c #c c c ! c c c &GG99c c :
@ cc c cc 4 c ( #c c 8c c c c c c c c c c c c c c 0G9c c 5 c c c c c c c c c
c c c c c c c c c c #c B. c c c c c c c #c c c c ;;:c c : !cccCc @ c c "ã' c c c c c c
c
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c c c c c c c GIXc c c c *Xc . c c 2c c c c c c c c c c !c8 ccG&XccG(Xc c
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P=0.5-0.2967=20.88% La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C es de 20,33%
c -%8Q)**X.,c ?4&G*c P=0.5-0.3944=10.56% La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C es de 10,56%. GIc c cc c8c c c c ccc*'cc cc90c c ,c B3 ccc cc c cc cc+Cc c ,c B3 ccc cCc c ,c B3 ccc cc cc7 Cc c c Ä ) Â c
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$ $RCICOS D$ APROXIMACION D$ D$ LA DISTRIBUCION NORMAL A LA BINOMIAL &c 5c c c c c c c c c c 7c c c c !c ;9c c c c cc cc c#cc c cI9cc c >"E7cccc ccccccccccccc4;9c ccccccccccccc4&YIc ccccccccccccc4GYIc
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* * 7" H )")$
La p r o b a b i l i d ad d e q u e probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30
tengan teléfono es del 50% c Gc >cI&c c c c c cc cG9c c c c c*9:cc c c c c c >"E7c 4I&ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc ccccc-4*9:ccccc ccccc34*9:ccccccccccccccccc ccccccccccc
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cccccccccccccccccc
La probabilidad de que 20 productos salgan defectuosos es de 3.97%. Ic <c c !c c c c c c c c Z #c c c c I9:c c
c c c c c c <c c c c c c !c c c c
c c cc*99c c c
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>"E7c cccccccccccc[4c9Ic cccccccccccc4*99c ccccccccccccKc4c*99c8c9Ic4c&*9cc cccccccccccc( ,* c
cccccccccccc( ,!c c ,c c7c#c c !c c8c cc c ccc c cc c&(*ccc cc c c cc c c B7c c c c c c Cc 58 c
c c c Sí, porque existen dos resultados posibles el uno que tienen sobrepeso y el otro que no tienen sobrepeso. c ,c B. c c c c c c &(*c c c c c c c c
Cc
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!,*#c
,c , ,)#% ,)c
La probabilidad de que 175 o más de los socios nuevos tengan sobrepeso es de 0,84 % +c c c c
c c # c 8c 7c c ! c c c c c c c c % c c c ,<c ccc c cc cc*:cc c c c =c c c c c c c 2c c 7 c c c c 2c c c =c c c c c '9c c c c c c c cc 2cccc c a.c $ cc'c Cc >"E7cc ccccccccccccc@c4c'c6c9*c4c'*c cccccccccccccKc4cIc cccccccccccccLc4c&';c
c
%, * !"$c "%# F C ")c
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La probabilidad de que cometa algún error en Más de 6 declaraciones es del 1.92 % b.c " c c'c Cc >"E7c ccccccccccccc@c4c'cHc9*c4c**c cccccccccccccKc4cIc cccccccccccccLc4c&';cc c
" * ")#c "%#
F C ,)*%c
" ")*% "#%c
ccccccccccccccccccccLa probabilidad de que cometa algún error de al menos 6 declaraciones es del 9,6 % c.c 58c'c Cc >"E7c ccccccccccccc@c4c'cHc9*c4c**c cccccccccccccKc4cIc cccccccccccccLc4c&';cc
" * ")c "%#
F C ")*%c " ")*%c
%" * !"$c "%#
F C ")c
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") ")*% "!c ccccccccccccccLa probabilidad de que cometa algún error de exactamente 6 declaraciones es del 5 %c c c c c
c c c
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c c c c c c c c
$ $RCICOS PROPU$STOS 5.c <c c c ccc c c c cGcc* a)c B. c c c cccCc
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a=2 b=5 b)c B. c c ccc c Cc
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c 7c c c c c!cB. c c c cc c c ccc UG999c c=cc Cc c c O?>> >>> -%8QG999,c4 N 9 >>> O?>> c B. c c c cc c c c c ccI999Uc c=Cc >>> O>>> -%8SI999,c4 N H >>> O?>> c 5 c c c c c c c c c c c @434$ccc ccc
c
.c c c cc ccc c c#! c .c c cc c c c cc cc c cc 8 cc c cccc c c c .c 5 c cc cc cc .c .c c cc c cc c c c c c 8.c ccc cc c c cc'91c c c c
c*cC ,c B" cc c cc c c c cc**cc'*Cc c 55 y 65, calculados 60±(5) ,c B" cc c cc c c c cc*9cc(9Cc c 50 y 70, calculados 60± (10)
c
c ,c B" cc c cc c c c cc+*cc(*Cc c 45 y 75, calculados 60± (15)
c c c c ;c <c c c c c c c .c 5 c c c c c c cc cccccc ccc c cc;9Ucc
c c c c GGUc $] c c c Zc c c c c c c c =c 5 c c c c c c c c c c(*Uccc c c ccU&99c. c c cc!ccc ccc
c# Cc c c
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7, 6@ c
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7, 4H
&9c<c c cc ccc&GGcc c c ccG*c c a)c Calcule el valor de z relacionado con 14,3
)"* !"! 7, @4 !,
b)c w ué valor de proporción de la población está entre 12.2 y 14,3
6,299 c)c w ué proporción de la población es menor que 10.0??
c
> "
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, z=0.3106
&&cccc c c c c+99c cc c c c&9c c c ,c B. c c c c ccc+&*c cc ccc+99c Cc < >> ,ccc >
c
øalor de área= 0,4332 ,c B. c c c c ccc cccI;*c Cc c OT< >> ,ccc >
c
øalor de área= 0,1915
c ,c B. c c c cc c c c c!cc c c cc c cccI;*c Cc c c &Gc<c c cc ccc09cc c c cc&+c ,c . c c cc c cc(*cc;9c c
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,*cccc
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,c . c c cc c cc(*cc c c A< ?> ,*cc
Area=0.1368
c ,c c. c c cc c cc**cc(9c
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A> ?>
,$)c
"&49+'G*ccccccc"G49G'&&c c
Area Total=0.2014 c &Ic c c c c c c c c c c c c c c >Vc Nc / c 7 c c c c c c c c c U(9999cc c c ccUG9999c c=c cc c c c cB. c c c c c
,c >c cc c cU09999cc Cc c
c
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"&499&;;cccccccc c Área total=0.301 c ,c >c cc c ccU'*999ccU09999cc Cc
c
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Area1=0.0199
=<>>> A>>>>
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Area2=0.0987
Area Total=0.1186
,c >c cc c cU'*999cc Cc
% $ ,!c ! "499;0(c
"c 49+9&Ic Area2=0.0987 $ $RCICOS APLICADDOS AL AR$A $L$CTROM$CANICA
BIBLIOGRAFIA 57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gc c 5>D.DE c > c "c c 7 c"c#
#YYVVV Y Y8) ) #c #YYVVV YY*Y^# c #YYVVV Y YY.&+'Y^ Y^ !Y Y..:G9 : G9:G9*c #YYV 8Y )) Y )c Y$ Y$ 9GY5_5N579(c c c
c c ccc c c c cc c c GUASSIANAcc c c c c c c c c c c c c c c cc
c cc c ccccccc cc
c c c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c cccc!cc c c"#cc$c%&''() &(*+,cc - c . c /#c
c %&((()&0**,c c c c c c c c c c c 1c c #c c c c c !c c 2c c c "campana de Gauss"cc c c c c c c c c c c c c
ccc
c c c c ccµccɷcc.c cc c cc c cccc c c
ccccccccccccccccccccccå Donde:
ccccccc$c. 1c
ɷ= c µ= X= 3 cc c ccccc ccc c% c&,c
c Figura 1. Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva c
" c cc c c cX c c c cc µcc!c€cc c ccXc4cN (µ , ɷ)c c
c cc cccc c5 c&c 5c
c ccc c c c c c cc
ccc
c c c cc ccc cc c c cc c c c c ccaracterísticas:ccc ®c c c2cc ccc
ccc
cc ®c c c c c c c cc cc-c c c cc)c Ücc6Üc c ®c
®c ®c
®c
c cc5 cc c c c c ccc cc&c 5 c cc cc
ccµcc72c cc ccc c8 c c cc c*9:cc c ccc c ccc c*9:cc c c cc c cc c c!cc ccc c cc 8cc c c c cc
c cc%ɷ,cc. cc cɷc c c c c cc c c 5 c c c c c c c c c c 8c c c c c c c c c c c 9;*cc 5c c 8 c c ;*:c c cc c c ccc c c%µ -1.96ɷ ; µ + 1.96ɷ,c ccc c c c c c c
c c c c cµc c %ɷc Figura 2,cc c c c c c c c c c c c c c c c µc c c c !cc c c c c#! cc-ccc c c cc c cc cc c cc. cc c c ccɷc c c c c cccc ccc c c c c cc<c c =cc cc c c c c c c c c c c c c c c c c
Figura 2. $jemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.
c
ccccccccccccccc
ccccccccccccccccccccccccccccccccccc
%,c cc> c cc cccccccccc%,ccccc> c cc c c > c cc ccccccccccccccccccccccccccccccccc c c c
c
c
.c c cc c2 ccc8 c c2c c c c c c c cc cc2c cc c cc
ccc
c!cc >cc c c c c !c c cdistribución normal estándarc c cc c ccc9cc!c&cc" c c8 c cc
c c c ccc c$c. 1 5 ccc cccc c cRc c c c ccN (µ , ɷ)c c ccc cZcc cdistribución normal estándarc c c cc c c c
m
ccccccccccccc$c.2
Donde: X= $l valor de cualquier observación o medición en particular µ= $s la media de la distribución ɷ= $s la deviación estándar de la distribución <c cc?c8 c c cccc c c cc@cc ccc c cc c cc<c!c c c !c c c c c c c ?c c c c c c c c c 9c c c c cc&cc OBS. La probabilidad de que ocurra un evento se encuentra con tablas y el valor de Z calculado. $jm 1:
5 c c c
c c c c c c c c c
c c c c c c c c8c c c cc c09cAcc c c cc&9cAccB- c c c c c cc c c c c c!cc c c
cc&99cACc >c c Rc c c c c c c c c c c c c c c
c c c N(80,10)cc 7c
c c c c c c c c c
!c c c cAPÉNDIC$ D %57">D7D."c"-D ">"c"cE7c 5 E.DE7cFc"c"c5.E E$D"c&Gcc 5>D.DE c > c "c c 7 c "c #c -c (G9,c c c c c c c cc.c cc c c c
c c2 c c c c 2c c $c. 1ccc c m
c
c
-cc !c#c cc" c c c c c c c c  Â
 !c
.c cc c c c c c cc&c c c c Oc  !  !c
5 c 2 c c c c c c c c c c AP$NDIC$ D _57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gc c 5>D.DE c > c "c c 7 c "c #c -c (G9,c
c c c ! "#$$!cc -c cc c c cc c c c c cc c cc c ccc&99c Acc cc&H9;((G499GG0c cc8cc cGI:c >cc c cc c cc c c cc c
c cc'9cc &99cAc  % Â
% Â ! !c
>c cFigura 1cc4)Gcc4Gc c c c
 ! !  !  !c
-c c cc c c c ! "#$$!ccc-c c c c c c c c cc c c c ccc c c c c  c c c c c c cc 7c c #c c c c
cc c c c cc c  !  !  ! "#$$! "!!c
/ c c c c c c c c c c !c c c c c'9cc&99cAc cc9;((G)99GG049;*++c cc8cc c;*:c LA R$GLA $MPÍRICA >c c c c c c c c 8c c c c c ®c %$cJc7,cc8c c'0c:cc c c ®c %$cJcG7,cc8c c;*:cc cc c ®c %$cJcI7,cc c c c cc
c
Figura 2. Distribución de las observaciones ccc c cc cc
c cc c c ccc cc2cc c LA APROXIMACIÓN D$ LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL " c c c c c c
c c #c c c c c c ! cc8c c c -c c c c c c c c c c c 4c 9*c c c cc= cc c c
c
4Gccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4*cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4&9c
c
"cc cc c cc c ccc c ccc c c c8c cc c c c cc c c cc c
c c cc c c ccKc4ccc$c. 3ccccLc4cI &c$c. 4c
cc
c
Donde: 4c2cc c ccc c !c c8c ccc cccccccccccccc4c- cc8c%;*:,c cccccccccccccc4c cc c%*:,c 7cc cc c c cc cc c c !c c8cc c c c c c c cc c c c
' & c
c
FACTOR D$ CORR$CCIÓN D$ CONTINUIDAD
5 c c c c c c c c c c c c c c c c c 8 c cc c c c c c c c c c . c c c
c 1)c Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el área por encima de (X ʹ 0,5). 2)c Para la de que más de X sucedan, utilice el área por arriba de (X + 0,5). 3)c Para la de que X o menos ocurran, aplique el área por debajo de (X + 0,5). 4)c Para la de que menos de X sucedan, emplee el área situada por debajo de (X ʹ 0,5). $ $MPLO: 7 c c cc c !c&9c cc c c c c ccc *'c(c c0c c > c c
È%*cMcR c0,cc c c ccccc !c c " 'c
. c cc
( I & "" "c
Obs: /c N c c 2 c c c c c c c Zc c c c c c c c %APÉNDIC$ D 57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gcc 5>D.DE c> c"cc7 c"c#c-c(G9,c  )" " Â
c
" )" / !"! / "*! "%#c " "
7c # c c c c c c cc c c # c c c c c c c 9'&GIc c c c c c
c c c c c c c ccc c cc c cc c c c
$ $RCICIOS $ $RCICIOS R$SU$LTOS Nota: el símbolo Ɍ(Z) se interpreta como buscar en tablas (APÉNDIC$ D) el área a la izquierda del valor de Z que se está manejando. &cc>c c c c c c cc c c c c c ,cc c! cc!c4c&+Ic P(Z < 1.43) = Ɍ( 1.43 ) = 0.9236 ,cc c#cc!c4c)90;c P(Z > -0.89) = 1 - Ɍ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133 ,cc!c4c)G&'cc!c4c)9'*c P( -2.16
c
,c-%@Q&*,4c P(X < 15) = Ɍ[(15 - 18)/2.5 ] = Ɍ[-1.20 ] = 0.1151 ,c5 c ccRc c c-%@cQcR,4c9GGI'c Ɍ( Z ) = 0.2236 Z = -0.76 k = Zʍ + ʅ = (-0.76)(2.5) + 18 = 16.10 ,c5 c ccRc c c-%@cScR,4c9&0&+c 1 - Ɍ( Z ) = 0.1814 Ɍ( Z )= 0.8186 Z = 0.91 k = Zʍ + ʅ = (0.91)(2.5) + 18 = 20.28 ,c-%&(Q@QG&,c P(17 < X < 21) = Ɍ[(21 ʹ 18)/2.5 ] - Ɍ[(17 ʹ 18)/2.5 ] = Ɍ[1.20 ] - Ɍ[-0.40 ] = 0.8849 ʹ 0.3446 =0.5404 +c <c c c c c c c c c c c +9c c c
c c c c c c c c c c c c c 7 c c c cc c c c c cc c c c c'Ic c c c cc c cccc c ʅ = 40 y ʍ = 6.3 ,c ccIGc c c P(X > 32) = 1 - Ɍ[(32 ʹ 40)/6.3 ] = 1 - Ɍ[-1.27 ] = 1 ʹ 0.1021 = 0.8979 ,c ccG0c c c P(X <28) = Ɍ[28 ʹ 40)/6.3] = Ɍ[-1.90] = 0.0284 ,c cI(cc+;c c c P(37 < X < 49) = Ɍ[49 ʹ 40)/6.3 ] - Ɍ[(37 ʹ 40)/6.3 ] = Ɍ[1.43 ] - Ɍ[-0.48 ] = 0.9234 ʹ 0.3170 = 0.6065 *c7c c c c #cc c c c c cccG99c c c c7c cccc c c cc c c c cc &*c c c ʅ = 200 y ʍ = 15
c
,c B ccc c cc ccGG+c Cc c P(X > 224) = 1 - Ɍ[(224 ʹ 200)/15 ] = 1 - Ɍ[1.60 ] = 1 ʹ 0.9452 = 0.0548
,c B c c c cc c c ccc&;&ccG9;c Cc c P(191 < X < 209) = Ɍ[209 ʹ 200)/15 ] - Ɍ[(191 ʹ 200)/15 ] = Ɍ[0.60 ] - Ɍ[-0.60 ] = 0.7257 ʹ 0.2743 =0.4514 ,c B c c c cc c c !c ccGI9c cc c
c&999c Cc c
c P(X > 230) = 1 - Ɍ[(230 ʹ 200)/15 ] = 1 - Ɍ[2.00 ] = 1 ʹ 0.9772 = 0.0228 Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23
,c Bc cc c c cG*:cc c c c = Cc c P25 K = 25 Área = 0.25 Ɍ( Z ) = 0.25 Z = -0.67 x = Zʍ + ʅ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88 'c<ccc c c cc
c cc c
cc
ccc ccc c c 5 c c c c c c c c c G+c c c c c c c I0c c7 c c c cc c cc c c c c c ʅ = 24 y ʍ = 3.8 ,c B c c c cc c c cc c cTc#Cc c P(X > 30) = 1 - Ɍ[(30 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[1.58 ] = 1 ʹ 0.9428 = 0.0572 ,c 7c cccc c;99ccc c ccc
c cc c0+*ccB c cc c c cc c Cc c P(X > 15) = 1 - Ɍ[(15 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[-2.37 ] = 1 ʹ 0.0089 = 0.9911 ,c 7c cc
c cc c0I*ccc cc c cc ccc0*9cc;99ccB c c c cc cc cCc
c
c P(X > 25) = 1 - Ɍ[(25 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[0.26 ] = 1 ʹ 0.6038 = 0.3962
,c 5 c c c c c c c c c c c c &*:c c c c c c c 1 - Ɍ( Z ) = 0.15 Ɍ( Z )= 0.85 Z = 1.04 x = Zʍ + ʅ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94 ,c 5 c c cc c cc c c c cc c cTc#c c Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3C2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925 (ccccccccc =c c&9c= cc c c cc c = c 5 c c !c c c c c c c c c c c c7c c cc !c cI:cc c c c cBc c cc
c cc c!Cc7 c c c cc cc c c c c c ʅ = 10 y ʍ = 2 P3 Área = 0.03 Ɍ( Z ) = 0.03 Z = -1.88 x = Zʍ + ʅ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24 0c c =c c c
c c c c c c U&*;9c c #c c c c ccU&*9c7c c c c c8ccc cc
cc cc c8c c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 ,c B c c c c c c cc U&I(*c c U&'GGc c c #Cc c P(13.75 < X < 16.22) = Ɍ[16.22 ʹ 15.90)/1.5 ] - Ɍ[(13.75 ʹ 15.90)/1.5 ] = Ɍ[0.21 ] - Ɍ[- 1.43] = 0.5845 ʹ 0.0759 = 0.5086 ,c Bc c*:c c cc c cc#cc c c ccc cCc
c
c P95 Área = 0.95 Ɍ( Z ) = 0.95 Z = 1.645 x = Zʍ + ʅ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37 ;cc cc cccccc c c c cc c c c &9999c R c c c c c c c c c &99c R c c c c c c c c c c *9c R c c c c c c c ,c B3 c c c c c 8c &9&*9c R c c c cc cc ccCc c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 unidades = 50 e= + 25 P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 ʹ Ɍ[ (10175 ʹ 10000)/100] = 1 - Ɍ[1.75] = 1 ʹ 0.9599 = 0.0401 ,c 7c c c cc c c cc cc cc c ;099c c &9G99c R c c c c c B c c c ! c c c c Cc c Proporción de descarte = 1 ʹ P(9800 < X < 10200)
P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)
= Ɍ[ (10225 ʹ 10000)/100] - Ɍ[ (9775 ʹ 10000)/100]
= Ɍ[2.25] - Ɍ[-2.25] = 0.9878 ʹ 0.0122 = 0.9756
Proporción de descarte = 1 ʹ 0.9756 = 0.0244
&9c c .Dc c '99c c c c c c c 8c c c cc ccc&&*cc c c cc&Gc7c c c c c.Dcc
c
c c ;*c B c c c c c #! c c c c c c
c c Cc c P(X < 95) = Ɍ[(95 ʹ 115)/12]= Ɍ[-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29 &&c<c c cc ccc09c c c cc&+9 c
: @
4
+
a)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p(75 ч x ч 90) z
c z
O "$c4c9('&&c ) )
( "*%4c9I*;+c ) )
c %(*cMc8cMc;9,c4c9('&&cHc9I*;+c4c0.4017 b)c Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ч 75)c
( "*% c9I*;+c ) ) %8cMc(*,c4c0.3594
z
c)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p(55 ч x ч 70)
c
z
c z c
c
( "$c4c9GI0;c ) ) "$#499I0(c ) )
%**cMc8cMc(9,c4c9GI0;cHc99I'(4c0.2022c c c c &Gc c ccc c ccc c cc cc>VcNc / c 7 c c c c c c c c U(9999c c c c ccUG9999c5 c=c cc c cc c B. c c c cc c c c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccc c ccccccccccccccc4
Ö ,
-$, , " !, !,
c c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccccccc c cccccccccccccccc4
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c
c cc c c c cc c ccccccccccccccccccccccccccccc ccccccccccccccc4
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