Capitulo Iii. Fisica Ii. Estatica De Fluidos 4w3l2x

CAPITULOIII ESTÁTICADE FLUIDOS

La figura muestra la construcción de una presa para almacenar agua, allí se observa las inmensas fuerzas de presión ejercidas por el agua

Estática de Fluidos

Física General II

Optaciano L. Vásquez García

3.1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Y DEFINICIONES La mecánica de fluidos es una ciencia que se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento y/o en reposo y los efectos que ellos producen sobre los entornos que lo rodean los que pueden ser superficies sólidas u otros fluidos. Esta ciencia se ramifica en varias especialidades tales como aerodinámica, hidráulica, ingeniería naval, dinámica de gases y procesos de flujo. Tiene relación con la estática, cinemática y dinámica de los fluidos, ya que el movimiento de un fluido se produce debido al desequilibrio de las fuerzas que actúan sobre él. Para dar base al análisis se aplica los principios y leyes tales como: leyes de Newton del movimiento, leyes de la termodinámica, principio de conservación de masa, principio de conservación de la energía, entre otros. En el estudio del movimiento de los fluidos, las propiedades más importantes y utilizadas son la viscosidad y la densidad. Por otro lado también es necesario observar el efecto de la tensión superficial así como las propiedades de tensión de vapor.

3.1.1 Definición de Fluido Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente siempre que esté sometida a un esfuerzo cortante, sin importar que tan pequeño sea. En contraste un sólido experimenta un desplazamiento definido cuando se somete a un esfuerzo cortante. La figura 3.1 muestra éste efecto, en la figura 3.1a, el bloque sólido cambia su forma hasta un determinado grado de rectangular abcd a ab’c’d cuando se le aplica una esfuerzo cortante τ. En contraste si este elemento fuera un fluido ver figura 3.1b, no existirá un Δα fijo ni aun para un esfuerzo cortante infinitesimal. En lugar de esto persiste una deformación continua siempre que se aplique esfuerzo cortante τ.

(a) Figura 3.1

(b)

(a) Sólido sometido a una fuerza cortante, (b) Fluido sometido a una fuerza cortante.

Según las formas físicas de existencia de la materia los fluidos pueden ser líquidos (figura b) y gaseosos (figura c). Los fluidos líquidos tienen volumen definido pero no una forma definida por el contrario, los gases no tienen volumen ni forma definida.

Los fluidos líquidos son incompresibles debido a que presentan cambios pequeños en su densidad a pesar de estar sometidos a grandes presiones. Por otro lado los fluidos gaseosos son altamente compresibles es decir no pueden considerarse constante.

3.1.2 El fluido como medio continuo Se sabe que todos los fluidos están compuestos por moléculas las que se encuentran en movimiento aleatorio, estas moléculas están muy separadas en los gases mientras que están próximas en los líquidos. La

154


Física General II


distancia entre moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Debido al continuo movimiento molecular la densidad no tiene un significado preciso, pues el número de moléculas en un volumen cualquiera está cambiando continuamente. Este efecto cobra importancia si el volumen unidad es mucho mayor que el cubo de espaciamiento molecular. Si la unidad de volumen es demasiado grande es probable que haya una variación en la distribución global de partículas. Esta situación se observa en figura 3.2, en donde la densidad (  hay un volumen encima de

 m

V ), aparece en función del volumen escogido, de ella puede apreciarse que

V * por debajo del cual las variaciones moleculares tienen importancia, análogamente por

V * las variaciones microscópicas también es importante. Entonces la densidad se expresa 

 m 

lim *  V 

(3.1)

V V

Donde el volumen

Figura 3.2.

V * es igual a 10-9 mm3 para todos los fluidos.

Variación de la densidad con el volumen escogido.

Por otro lado debido a que los problemas ingenieriles estén relacionados con dimensiones físicas mucho mayores quo el volumen V la densidad puede considerarse como una función puntual y las propiedades del fluido pueden considerarse como variables continuas. Un fluido con estas características se le llama Medio Continuo. En estas condiciones la densidad se escribe *

m    x, y, z , t   lim    V  V   V  *

  x, y , z , t  

dm dV

(3.2)

Las unidades de la densidad en el SI es el Kg/m3 y en el sistema C.G.S es el gr/cm3. En la tabla I se representa la densidad para diferentes sustancias a presión y temperatura normales.

Tabla I.

Densidad de algunas sustancias Sustancia Hielo Aluminio Acero Cobre Plata Plomo Oro Platino

ρ (kg/m3).103 0,917 2,7 7,86 8,92 10,5 11,3 19,3 21,4

Sustancia Agua Glicerina Alcohol etílico Benceno Aire Oxigeno

155

ρ (kg/m3).103 1,00 1,26 0,806 0,879 1,29 1,43

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Estos valores cambian ligeramente con la temperatura debido a que el volumen de una sustancia cambia con la temperatura. 3.1.3 Densidad relativa (ρr) La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre la densidad de una sustancia y la densidad de otra sustancia considerada como patrón. Para el caso de los fluidos líquidos la densidad patrón considerada es la del agua a 4ºC en tanto que para los gases e considera la densidad del aire, es decir

r 

 sus w

(3.3)

En donde el subíndice sus se refiere a la sustancia y el subíndice w se refiere al agua. 3.1.4 Peso específico (γ) El peso específico de una sustancia se define como el peso por la unidad de volumen de una sustancia. Esto es

 

W V

(3.4)

Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el sistema británico. Por otro lado, debido a que w = mg = ρVg, la ecuación (4) puede escribirse

 

mg  g V

(3.5)

3.1.5 Presión (p) La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una manifestación normal a la superficie. Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro de una superficie S tal como se ve en la    figura 3.3. Si se divide a la superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es A  An , en donde n , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza que ejercerá el fluido sobre ΔA es Entonces la presión no es más sino la fuerza por unidad de área, esto es

p

F A

 F .

(3.6)

Por otro lado, si se quiere determinar la presión en un punto, los elementos ΔA se hacen cada vez más pequeños, es decir

F A0 A

p  lim

p

dF dA

(3.7)

Las unidades de presión en el SI es el N/m2 unidad conocida como el Pascal 1Pa = 1 N/m2

156

(3.8)


Física General II


Por otro lado existen otras unidades como: dina/cm2; kg/m2; gr/cm2; lb/pie

Figura 3.3

3.1.6

Presión ejercida por un fluido sobre una superficie

Módulo de elasticidad volumétrico (Ev) Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica se define mediante el módulo de elasticidad volumétrico, cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un embolo al que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura 3.4a. Si el cilindro es rígido y contiene un volumen V1 de fluido, la acción de F produce un aumento de la presión del fluido y hace que el volumen disminuya hasta un valor V. Trazando una gráfica presión (p)vs V/V1como se ve en la figura 3.4b, el módulo de elasticidad es la pendiente de la curva en un punto dado. Es decir

EV  

Figura 3.4.

dp

(3.9)

 dV   V  1 

(a) Determinación del módulo del módulo de elasticidad

(b)

Puesto que dV/V, es a dimensional, la unidad de Evson las mismas que de la presión. 3.1.7 Viscosidad (µ) Cuando se observa el movimiento de fluidos se distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero es el flujo laminaraquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tamaños. Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la figura 3.5

157

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Figura 3.5



Deformación de un fluido bajo la acción de una fuerza cortante

La placa superior se mueve con velocidad constante v , por efecto de la fuerza cortante aplicada Ft . El esfuerzo cortante τ, será.

 F 

dF

  lim   A0 A   dA

(3.10)

Donde, ΔA, es el área del elemento de fluido en o con la placa. En un intervalo de tiempo Δt, el elemento se deforma tal como se muestra en la figura. La rapidez de deformación está dada por

   d rapidez de deformación  lim   t 0  t  dt

(3.11)

Por otro lado de la figura 3.5 se observa además que la distancia Δl entre los puntos M y M’ es

l  vt

(3.12)

Para ángulos pequeños la distancia Δlpuede expresarse como

l  y

(3.13)

Igualando las ecuaciones (3.12) y (3.13), resulta

vt  y  v  t y

(3.14)

Llevando al límite ambos lados de la ecuación (3.14), resulta

d dv  dt dy

(3.15)

Si el fluido es newtoniano, el esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación, esto es

 

d dt

 

d dv  dt dy

En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le llama “coeficiente de viscosidad dinámica”

158

(3.16)

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En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada como poise La viscosidad no depende en gran medida de la presión. Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tienen una alta movilidad y generalmente están separadas existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.

3.1.8 Viscosidad cinemática (ν) Se define como la razón entre la viscosidad dinámica y la densidad.



 

(3.17)

3.2 ESTATICA DE FLUIDOS Un fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se analizará la presión y sus variaciones a través del fluido así como se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas. 3.2.1

Presión en un punto Para determinar la presión en un punto interior a un fluido consideremos un elemento de fluido en forma de cuña como se muestra en la figura 3.6. Debido a que la cuña esta en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son perpendiculares a las superficies.

Figura 3.6. Elemento de fluido en forma de cuña Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas y teniendo en cuenta queF = pA, resulta

F

x

 0   p4  12 dydz   p5  12 dydz   0 p5  p 4

F

y

(3.18)

 0  p1  dxdz   p3  dxds  sen  0 p1  p3

159

(3.19)

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F

z


 0  p2  dxdy   p3  dx  ds cos  dW  0 p2  p3  12 dz

(3.20)

Las ecuaciones (3.18) y (3.19), indican que no hay variación de presión en dirección horizontal, mientras que la ecuación (3.20) indica en dirección vertical si hay variación de la presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sin embargo en el límite cuandodz, tiende a cero, la ecuación (3.20) se escribe

p 2  p3

(3.21)

Comparando la ecuación (3.19) y (3.20), se deduce que

p1  p2  p3

(3.22)

La presión en cualquier punto interior a un fluido es independiente de la orientación.

3.2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática Las variaciones de presión en una determinada dirección se obtienen estudiando las variaciones que la presión experimenta a lo largo de una dirección horizontal y vertical. Para ello consideremos un elemento de fluido de peso dwen forma de paralelepípedo rectangular de lados dx, dy, y dz como se muestra en la figura 3.7. del gráfico se ve que sobre el elemento actúan las fuerzas de presión perpendicularmente a las caras.

Figura 3.7.

Elemento de fluido en forma de paralelepípedo.

Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple.

 Fx

0

p   p x dydz    p x  x dx dydz   0 x   p x 0 x  Fy  0

p y   p y dxdz   p y  dy dxdz  0  y   160

(3.23)

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p y y


0

F

z

(3.24)

0

p   pz  dxdy    pz  z dz   dxdy   dW  0 z   p z   g z

(3.25)

Las ecuaciones (3.23) y (3.24) indican que no existe variación en la presión en la dirección horizontal. Por el contrario la ecuación (3.25) muestra que en la dirección vertical si existe variación en la presión

3.2.2.1. Variación de la presión en un fluido incomprensible Se ha demostrado anteriormente que la presión experimenta variaciones en la dirección vertical, además se ha mostrado que la presión depende de la densidad así como de la aceleración de la gravedad y como la gravedad varía con la altura entonces afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces la ecuación (3.25) se escribe.

dpz    g  constante dz

(3.26)

A partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2las presiones en los puntos z1 y z2, respectivamente, la ecuación (3.26) puede integrarse obteniendo p2

p1 dp z

z

  g z 2 dz 1

p2  p1  g z 2  z1 

(3.27)

Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Figura 3.8, la presión a cualquier profundidad h = z1 – z2 es

p  p0  gh Donde po es la presión atmosférica, h es la profundidad medida a partir de la superficie libre.

Figura3.8Variación de la presión en un fluido incompresible

161

(3.28)


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Usualmente a la presión p se le llama presión absoluta y a la resta de p y po se le llama presión manométrica esto es

p m an  gh

(3.29)

Principio de Pascal. Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece: “Un cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado en un depósito se transmite íntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene”

Prensa Hidráulica- Una de las aplicaciones más importantes del principio de pascal es la prensa hidráulica representada en la figura 3.9a. Consiste en dos cilindros de diferentes diámetros d1y d2 (d1 <<
p

F1 F2 A   F2  2 F1 A1 A2 A1

(30)

Puesto que d1<
(a)

(b)

Figura 3.9(a) La prensa hidráulica utilizada para multiplicar fuerzas, (b) vasos comunicantes 3.2.2.1. Variación de la presión en un fluido Comprensible La variación de la presión en un fluido compresible se puede determinar, también a partir de la ecuación (3.25). Sin embargo, antes de proceder a la integración, es necesario expresar la densidad del fluido en función de cualquiera de las otras variables de la ecuación de estado.En muchos líquidos, la densidad depende muy débilmente de la temperatura. Sin embargo, la presión y la densidad están relacionadas por el módulo de elasticidad volumétrico

EV  

162

dp d 

(3.31)

Física General II



Si este módulo es constante, entonces la densidad es función únicamente de la presión.Por otro lado, en el caso de los gases ideales, la densidad depende de la presión en la forma

 p 

     0  p0 

(3.32)

Sustituyendo la ecuación (3.32) en la ecuación (3.26), resulta

 p  dp     0 g dz  p0  p

p0

 g z dp   0 z dz p p0 0

De donde, se obtiene

p  p0 e

 g  0  z  z0  p0

(3.33)

La ecuación (33) nos da la variación de la presión de un gas con la altura a temperatura constante. Si el gas ideal tiene un gradiente de temperatura expresado por

T  T0  z

(3.34)

Donde To, es la temperatura en un nivel de referencia (z = 0) y β es una constante que para atmósferas normales β = -0,0065 ºC/m hasta la estratosfera. De la ecuación de estado se tiene.



p R T0   z 

(3.35)

Sustituyendo la ecuación (3.35) en la ecuación (3.26), resulta

dp pg  dz RT0  z 

(3.36)

Integrando la ecuación (36), teniendo en cuenta nuevamente que la aceleración de la gravedad es constante, obtenemos p

p0

dp g z gdz   0 p R T0  z 

Finalmente se obtiene

 T0  p  p 0  T   z  0 

g

 R

(3.37)

3.2.3 Presión absoluta y manométrica Los valores de la presión se deben establecer respecto a un nivel de referencia. Si este nivel de referencia es el vacío, las presiones se denominan presiones absolutas, y cuando se toma como origen la presión atmosférica local, la presión se denomina presión manométrica.

163

Física General II



La figura 3.10 muestra los orígenes y las relaciones de las unidades de las escalas más frecuentes. La presión atmosférica normal es la presión medida a nivel del mar, la que se toma el valor de 1 atm ó 760 mm de Hg. Cuando la presión se expresa por la altura de una columna líquida, se refiere a la fuerza por unidad de área en la base de la columna del líquido. La variación de la presión de un líquido con la altura se expresa como:

p  p0  gh

Figura 3.10Relación entre presión absoluta y la presión manométrica

3.2.4 El Barómetro El barómetro es un dispositivo que nos permite medir la presión atmosférica local consiste en un tubo de vidrio cerrado por uno de sus extremos y abierto por el otro, a este tubo se le llena con mercurio y después tapado el extremo abierto se invierte en una cubeta de mercurio, como se muestra en la figura 3.11. El espacio vacío que se forma en la parte superior del tubo contiene únicamente vapor de mercurio, cuya presión a temperaturas ordinarias es muy pequeña de tal manera que se puede despreciar. Si se comienza en éste punto y se aplica la hidrostática se tiene

patm  pvapor , Hg   Hg h  0   Hg h patm   Hg h

Figura 3.11Barómetro de mercurio inventado por Torricelli: (a) diagrama esquemático; (b) barómetro científico; (c) barómetro con escala para la lectura de la presión atmosférica; (d) presión sobre el Hg.

164


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3.2.5 Manómetros Los manómetros son dispositivos que sirven para medir la diferencia de presión. En general existen muchos dispositivos llamados manómetros que nos permiten determinar diferencias de presión positivas o negativas siendo uno de estos el manómetro en U, mostrado en la figura 3.12.

(a)

(b)

Figura 3.12 Manómetro de tubo en U, utilizado para determinar presiones manométricas. Para determina la presión en el punto A, se utiliza la ley fundamental de la hidrostática, esto es, los puntos M y N están a la misma presión entonces

pM  pN  p A   w hw  p0   Hg hHg p A  p0   Hg hHg   w hw p A,man   Hg hHg   w hw Donde γwy γHg son los pesos específicos de los fluidos agua y mercurio, respectivamente Para resolver problemas que involucran manómetros se sigue el procedimiento. 1.

Partir de un menisco cualquiera y exprese la presión en sus respectivas unidades y seguir la continuidad del tubo.

2.

Sumar algebraicamente a esta presión el cambio de presión que aparece en las mismas unidades desde un menisco a otro (más sí el próximo está más abajo y menos sí este más alto).

3.

Continuar así hasta que se alcance el otro extremo del manómetro e igualar la expresión a la presión en aquel punto.

3.2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas Cuando se va a diseñar canales, compuertas, barcos, submarinos y otros, es necesario estudiar las fuerzas que se originan por la acción de la presión sobre superficies sumergidas. Para que queden completamente determinadas estas fuerzas es necesario especificar: la magnitud, dirección y sentido a si como su línea de acción de la fuerza resultante. En esta sección se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies planas y curvas, sumergidas en líquidos.

165

Física General II



3.2.6.1 Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida en un fluido estático incompresible En la figura3.13, se muestra una superficie plana en posición horizontal sumergida en un fluido, entonces ella estará sometida a una presión constante.

Figura 3.13.Fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida La fuerza debida a la presión que actúa sobre el elemento de área

 dA , de la cara superior de la superficie es

  dF   pdAk

(3.38)

 dA es perpendicular a la superficie y dirigido hacia fuera, el signo  menos de la ecuación (3.38) indica que la fuerza dF actúa en contra de la superficie, es decir en dirección  opuesta a dA .  La fuerza resultante FR que actúa sobre toda la placa se puede obtener integrando sobre toda la superficie la Debido a que la dirección positiva de

ecuación (3.39). Esto es

  FR    pdAk

(3.39)

A

Teniendo en cuenta que la presión es una función de la profundidad y está dado por (p = po + ρgh), la ecuación (3.39) se escribe

  FR    p 0  gh dAk

(3.40)

A

Puesto que la superficie se encuentra horizontal todos los puntos de ella están a la misma profundidad h, entonces

  FR   p 0  gh  dAk A

  FR   p 0  gh Ak

166

(3.41)


Física General II


El punto de aplicación de la fuerza resultante (centro de presiones) se determina utilizando el criterio de que.  El momento FR con respecto a los ejes x ó y es igual al momento del conjunto de fuerzas distribuidas respecto al mismo eje x ó y. Siendo el vector de posición de posición de

 dF , respecto al mismo punto, se tiene

  FR con respecto al punto 0 y r el vector de

x C FR   xpdA

(3.42)

A

y C FR   ypdA

(3.43)

A

Reemplazando la magnitud de FRy el valor de la presión a una profundidad h en la ecuación (3.42), tenemos

xC  p0   gh  A   x  p0   gh  dA A

xC 

Siendo

1 xdA A A xC  x

(3.44)

x la distancia al centroide, además

y C  p 0  gh    y  p 0  gh dA A

yC 

1 ydA A A

yC  y Donde

(3.45)

y es la distancia al centroide.

Las ecuaciones (3.44) y (3.45) indican que la fuerza resultante está dirigida perpendicularmente a la superficie hacia abajo y actúa en el centroide de la placa. 3.2.6.2.

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida en un fluido estático incompresible

Consideremos ahora el caso general de una superficie plana inclinada sumergida como se muestra en la figura 3.14, localizada en un plano inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal. El plano XY contiene a la superficie. Para encontrar la fuerza resultante se divide a la superficie en elementos de área dA. Debido a que el fluido esta en reposo no existe esfuerzos cortantes, entonces la fuerza actuará perpendicularmente a dA. Esto es

  dF   pdAk

(3.46)

Teniendo en cuenta que la presión a una profundidad h es p = po + ρgh, la ecuación (3.46) se escribe





  dF   p0   0 gh dAk De la figura se tiene además que h = y senθ, entonces

167

Física General II







  dF   p0   0 gysen dAk

(3.47)

La fuerza resultante sobre toda la superficie se obtiene integrando la ecuación (3.46), esto es ⃗⃗ 𝐹⃗ = − ∫𝐴(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sen 𝜃) 𝑑𝐴𝑘 ⃗⃗ − ∫ 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐴𝑘 ⃗⃗ 𝐹⃗ = − ∫𝐴 𝑝0 𝑑𝐴𝑘 𝐴 ⃗⃗ − 𝜌𝑔 sen 𝜃 ∫ y 𝑑𝐴𝑘 ⃗⃗ 𝐹⃗ = −𝑝0 𝐴𝑘 𝐴

(3.48)

Teniendo en cuenta la definición de centroide 𝑦𝐶 𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝐴, resulta ⃗⃗ − 𝜌𝑔 𝐴yC sen 𝜃 𝑘 ⃗⃗ 𝐹⃗ = −𝑝0 𝐴𝑘

(3.49)

De la figura 3.14, se observa que ℎ𝐶𝐺 = 𝑦𝐶 𝑠𝑒𝑛𝜃, entonces la ecuación anterior se escribe ⃗⃗ 𝐹⃗ = −(𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 )𝐴𝑘

(3.50)

La magnitud de la fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie es 𝐹 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 )𝐴

(3.51)

Asumiendo que la presión en el centro de gravedad 𝑝𝐶 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 , la ecuación (3.51) se escribe 𝐹 = 𝑝𝐶 𝐴

(3.52)

Figura 3.14.Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada Las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante (Centro de presiones) se determinan utilizando el principio de momentos. El momento de la fuerza resultante con respecto a los ejes x o y es igual al momento de las fuerzas distribuidas respecto a los mismos ejes. La coordenada 𝑦𝐶𝑃 se obtiene tomando momentos con respecto al eje x, esto es 𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = ∫𝐴 𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ) 𝑑𝐴 = 𝑝0 ∫𝐴 𝑦 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ∫𝐴 𝑦 2 𝑑𝐴 𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝0 𝐴𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑥

168

(3.53)

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Donde 𝐼𝑥𝑥 = ∫𝐴 𝑦 2 𝑑𝐴, es el momento de inercia de área respecto al eje x. Utilizando el teorema de Steiner 2 ), el momento de inercia se escribe (𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝐺𝑥 + 𝐴𝑦𝐶𝐺 en esta ecuación 𝐼𝐺𝑥 es el momento de inercia de área respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación (52) se escribe 2 ) 𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝0 𝐴𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃(𝐼𝐺𝑥 + 𝐴𝑦𝐶𝐺

𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = (𝑝0 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝐶𝐺 )𝐴𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥 𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 )𝐴𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥 𝑦𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝𝐶 𝐴𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥 𝑦𝐶𝑃 = 𝑦𝐶𝐺 +

𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥 𝑝𝐶 𝐴

(3.54)*

La coordenada 𝑥𝐶𝑃 se obtiene tomando momentos con respecto al eje y, esto es 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = ∫𝐴 𝑥(𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ) 𝑑𝐴 = 𝑝0 ∫𝐴 𝑥 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ∫𝐴 𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝0 𝐴𝑥𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑦

(3.55)

Donde 𝐼𝑥𝑦 = ∫𝐴 𝑥𝑦 𝑑𝐴, es elproducto de inercia de área. Utilizando el teorema de Steiner, el producto de inercia se escribe (𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝐺𝑥𝑦 + 𝐴𝑥𝐶 𝑦𝐶 ), en esta ecuación 𝐼𝐺𝑥𝑦 es el productode inercia de área respecto a los x e y que pasan por el centro de gravedad de la compuerta. La ecuación (3.55) se escribe 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝0 𝐴𝑥𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃(𝐼𝐺𝑥𝑦 + 𝐴𝑥𝐶𝐺 𝑦𝐶𝐺 ) 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝0 𝐴𝑥𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃𝑥𝐶𝐺 𝑦𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥𝑦 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶𝐺 )𝐴𝑥𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥𝑦 𝑥𝐶𝑃 𝑝𝐶 𝐴 = 𝑝𝐶 𝐴𝑥𝐶𝐺 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥𝑦 𝑥𝐶𝑃 = 𝑥𝐶𝐺 +

𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝐺𝑥𝑦 𝑝𝐶 𝐴

(3.56)*

Las ecuaciones (3.55) y (3.56) indican que el centro de presiones esta mucho más abajo del centroide, tal como lo muestra la figura 3.15.

Figura 3.15. Localización del centro de presiones 3.2.6.3. Fuerza hidrostática sobre una superficie curva sumergida en fluidos estáticos.

169

Física General II



Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa perpendicularmente, cambia de dirección continuamente, y por consiguiente, el cálculo de la magnitud de la fuerza resultante 𝐹⃗𝑅 y su localización (centro de presiones) es más difícil que para el caso de una superficie plana, pero puede determinarse con facilidad mediante el cálculo de sus componentes horizontal y vertical, respectivamente. Considerelas fuerzas sobre la porción curvada AB mostrada en la figura 3.16a. Sobre cada elemento de superficie dA, se puede calcular la magnitud, la dirección (normal al elemento), y la localización de la fuerza de presión por medio de los principios anteriores, y estas conducirán a la distribución de presión indicada, que se puede reducir a una única fuerza resultante 𝐹⃗𝑅 , de componentes, 𝐹𝐻 y 𝐹𝑉 , según se muestra en la figura 3.16b.

(a) (b) Figura 3.16(a) Vista de una superficie curva AB (b) vista de la distribución de carga sobre AB y las componentes de la fuerza distribuida sobre la superficie curva.

El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura3.17, permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante ejercida por la superficie AB,𝐹𝐻′ y 𝐹𝑉′ , sobre el fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas 𝐹𝐻 y 𝐹𝑉 ,

Figura3.17.Cálculo de las componentes de la fuerza hidrostática sobre una superficie curva Del diagrama de cuerpo libre estático se tiene, ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐵𝐶 − 𝐹𝐻′ = 0

⇒

𝐹𝐻′ = 𝐹𝐵𝐶

(3.57)

∑ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑉′ − 𝐹𝐴𝐶 − 𝑊𝐴𝐵𝐶 = 0 ⇒

𝐹𝑉′ = 𝐹𝐴𝐶 + 𝑊𝐴𝐵𝐶

(3.58)

De la incapacidad del cuerpo libre de fluido de soportar esfuerzos cortantes se desprende que 𝐹𝐻′ debe sercolineal con 𝐹𝐵𝐶 y que 𝐹𝑉′ debe ser colineal con la resultante de 𝐹𝐴𝐶 𝑦𝑊𝐴𝐵𝐶 .

170


Física General II


El análisis anterior reduce el problema a cálculo de la magnitud y de la localización de 𝐹𝐵𝐶 , 𝐹𝐴𝐶 𝑦𝑊𝐴𝐵𝐶 . Para determinar 𝐹𝐵𝐶 y 𝐹𝐴𝐶 se usa los métodos usados para determinar fuerzas sobre placas planas sumergidas, en tanto que 𝑊𝐴𝐵𝐶 es el peso del cuerpo libre del fluido y actúa necesariamente sobre su centro de gravedad.La fuerza resultante sobre un área como la descrita, se puede obtener por la aplicación de los métodos de la sección anterior. Se encontrará que la componente horizontal 𝐹𝐻 pasa por el centroide de la proyección vertical el área, y que la componente vertical pasará a través del centroide de la proyección horizontal del área. Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen las componentes de las fuerzas resultantes producidas por distribuciones de presión sobre superficies curvas. El método puede aprenderse utilizando la figura 3.18, la presión puede variar de cualquier manera desde pA enA hasta pB en B pero la presión sobre cualquier elemento de área dA, es perpendicular a dA. La fuerza diferencial sobre dA es 𝑝𝑑𝐴, y el ángulo θ define la pendiente de dA con relación al conjunto de ejes x e y.

Figura13.8.Determinación de la componente horizontal de la fuerza hidrostática. La componente horizontal de esta fuerza paralela al eje x, es 𝑑𝐹𝐻 = 𝑑𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑝𝑑𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

(3.59)

La fuerza resultante horizontal sobre la superficie se obtiene integrando la ecuación anterior, esto es 𝐹𝐻 = ∫ 𝑑𝐹𝑥 = ∫ 𝑝𝑑𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

(3.60)

De la figura puede observarse que la proyección de dA sobre el plano perpendicular a x es 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴. El elemento de fuerza sobre el área proyectada es𝑝𝑑𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 que tiene también la dirección del eje x. proyectando cada elemento sobre un plano perpendicular a x es equivalente a proyectar toda la superficie como un todo sobre el plan. De aquí que: La componente horizontal de la fuerza debida a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debía a las presiones que se ejercería sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente. Bajo estas consideraciones la ecuación (59) se escribe 𝐹𝐻 = ∫ 𝑝𝑑𝐴𝑦𝑧 = ∫ 𝛾𝑧𝑑𝐴𝑦𝑧 = 𝛾 ∫ 𝑧𝑑𝐴𝑦𝑧 Teniendo en cuenta que 𝑧𝐶𝐺 =

1 𝐴𝑧

(3.61)

∫ 𝑧𝑑𝐴𝑦𝑧 , la ecuación (60) se escribe 𝐹𝐻 = 𝛾𝑧𝐶𝐺 𝐴𝑦𝑧,𝑝𝑟𝑜𝑦

171

(3.62)

Física General II



Para encontrar la línea de acción de la componente horizontal de la fuerza que actúa sobre la superficie curva, se usa el teorema de momentos, eso es 𝑧𝐶 𝐹𝐻 = ∫ 𝛾𝑧𝑑𝐴𝑦𝑧 𝑧𝐶 =

1 𝐹𝐻

∫ 𝛾𝑧𝑑𝐴𝑦𝑧

(3.63)

La componente vertical de la fuerza, paralela al eje z, es 𝑑𝐹𝑉 = 𝑑𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑝𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

(3.64)

Sumando las componentes según el eje z de las fuerzas sobre la superficie curva se obtiene 𝐹𝑉 = ∫ 𝑑𝐹𝑉 = ∫ 𝑝𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

(3.65)

De la figura3.19, se observa que la proyección de dA sobre el plano perpendicular a z es 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝐴, con lo que la ec. (64) se escribe 𝐹𝑉 = ∫ 𝑝𝑑𝐴𝑥𝑦 = ∫ 𝛾ℎ𝑑𝐴𝑥𝑦

(3.66)

Pero ℎ𝑑𝐴𝑥𝑦 es el volumen de fluido situado verticalmente por encima del elemento de área, entonces 𝐹𝑉 = 𝛾 ∫ 𝑑𝑉 = 𝛾𝑉

(3.67)

Por lo tanto:La componente vertical debida a las presiones sobre una superficie curva es igual al peso del fluido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendida hasta la superficie libre. La línea de acción de la componente vertical se determina igualando los momentos de las componentes diferencias verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, esto es 𝑥𝐶 𝐹𝑉 = 𝛾 ∫ 𝑥𝑑𝑉

(3.68)

Donde 𝑥𝐶 , es la distancia desde el eje y a la línea de acción de 𝐹𝑉 , al remplazar la ecuación (66) en la ecuación (67), resulta 1

𝑥𝐶 = ∫ 𝑥𝑑𝑉 𝑉

(3.69)

Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del volumen de fluido real imaginario que se extiende por encima de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria.

Figura 3.19. Determinación de la componente vertical de la fuerza hidrostática

172


Física General II

3.3


BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACION. 3.3.1

Flotación. Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de boyantez o empuje se enuncian: 1°

Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación (empuje) verticalmente hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

2°

Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso.

Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la Figura 3.20.

Figura 3.20. Cuerpo cerrado, sumergido completamente en un fluido

La superficie de cuerpo se ha dividido en dos partes una superior AUB y la inferior AMB, mediante una curva, dibujada en línea de trazos. La fuerza de flotación o empuje sobe el cuerpo sumergido es la diferencia entre la componente vertical debida a la presión sobre la parte inferior AMB y la componente vertical de la fuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Esto es 𝑑𝐹𝐵 = 𝑑𝐹𝑉′ − 𝑑𝐹𝑉 𝑑𝐹𝐵 = 𝑝′ 𝑑𝐴 − 𝑝𝑑𝐴 𝑑𝐹𝐵 = (𝑝0 + 𝛾ℎ2 )𝑑𝐴 − (𝑝0 + 𝛾ℎ1 )𝑑𝐴 𝑑𝐹𝐵 = 𝛾(ℎ2 − ℎ1 )𝑑𝐴 𝑑𝐹𝐵 = 𝛾ℎ𝑑𝐴 Teniendo en cuenta que ℎ𝑑𝐴 = 𝑑𝑉, es el volumen del elemento diferencial, se tiene

173

(3.70)

Física General II



𝑑𝐹𝐵 = 𝛾𝑑𝑉 Al integrar la ecuación anterior resulta 𝐹𝑉 = ∫ 𝑑𝐹𝑉 = ∫ 𝛾𝑑𝑉 FV = γV

(3.71)

Donde γ, es el peso específico del líquido considerado en este caso constante y V es el volumen del cuerpo sumergido. Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación se toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un eje conveniente y se iguala al momento de la resultante con respecto al mismo eje, esto es 𝑦𝐶 𝐹𝑉 = ∫ 𝛾𝑦𝑑𝑉 Al remplazar la ecuación (3.71) en la ecuación anterior resulta 1

𝑦𝐶 = ∫ 𝑦𝑑𝑉 𝑉

(3.72)

En esta ecuación 𝑦𝐶 , es la distancia del eje a la línea de acción de la fuerza de flotación, que en este caso es la distancia del eje al centroide del volumen; por tanto. La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a través del centroide del volumen de fluido desplazado. Esto es válido tanto como para cuerpos sumergidos así como para cuerpos que flotan en fluidos. Al centroide se le da el nombre de centro de flotación. Esta información acerca de la magnitud la línea de acción de las fuerzas de flotación se conoce como primer principio de flotación de Arquímedes, ya que fue él quien lo descubrió en el año 220 antes de Cristo. Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota,tal como se muestra en la figura3.21, la fuerza de flotación viene expresada en la forma 𝐹𝑉 = 𝛾𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜

(3.73)

Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje 𝐹𝑉 , por tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso. Eso es 𝑊 = 𝛾𝑉𝑆 Donde:𝛾,es el peso específico del fluido desalojado y 𝑉𝑆 el volumen sumergido (volumen ABCD).

Fig. 21.Cuerpo sumergido parcialmente en un fluido líquido

174

(3.74)

Física General II



Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra e la figura 3.22, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de sección recta dA, es 𝑑𝐹𝐵 = (𝑝2 − 𝑝1 )𝑑𝐴 𝑑𝐹𝐵 = [(𝛾1 𝐻 + 𝛾2 ℎ2 ) − 𝛾1 (𝐻 − ℎ1 )]𝑑𝐴 𝑑𝐹𝐵 = (𝛾2 ℎ2 + 𝛾1 ℎ1 )

(3.75)

Donde 𝛾2 y 𝛾1 son los pesos específicos de los fluidos denso y menos denso respectivamente. Al integrar la ecuación anterior resulta 𝐹𝐵 = 𝛾2 ∫ ℎ2 𝑑𝐴 + 𝛾1 ∫ ℎ1 𝑑𝐴 𝐹𝐵 = 𝛾2 𝑉2 + 𝛾1 𝑉1

(3.76)

Figura3.22.Cuerpo flotando en la interface de dos líquidos inmiscibles Para ubicar la fuerza de flotación se toma momentos respecto a un eje convenientemente elegido esto es 𝑦𝐶 𝐹𝑉 = 𝛾1 ∫ 𝑦1 𝑑𝑉1 + 𝛾2 ∫ 𝑦2 𝑑𝑉2 𝑦𝐶 =

3.3.2

𝛾1 𝑦𝐶1 𝑉1 +𝛾2 𝑦𝐶2 𝑉2 𝛾2 𝑉2 +𝛾1 𝑉1

(3.77)

Estabilidad de cuerpos sumergidos La estabilidad puede demostrarse evaluando la estabilidad vertical de un cuerpo flotante. Si el cuerpo se eleva una distancia pequeña, la fuerza de flotación disminuye y el peso del cuerpo regresa a éste último a su posición original. Por otro lado, si un cuerpo flotante se hunde un poco, la fuerza de flotación aumenta y regresa al cuerpo a su posición original. Esto indica que un cuerpo flotante tiene estabilidad vertical porque una desviación pequeña respecto a su posición de equilibrio da lugar a una fuerza de restauración Consideremos ahora la estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido mostrado en la figura 3.23 en la parte (a) el centro de gravedad G del cuerpo está arriba del centro de flotación C del volumen desplazado, y una rotación angular pequeña produce un momento que continuará impulsando la rotación; por tanto, el cuerpo es inestable y se vuelca. Si el centro de gravedad está por debajo del centro de flotación como en la parte (c) una rotación angular pequeña produce un momento restaurador y el cuerpo en este caso es estable. En la parte (b) se observa la estabilidad neutral en el que el centro de gravedad coincide con el centro de flotación. Esta situación se observa en aquellos casos en donde la densidad es constante en todos los puntos del cuerpo sumergido.

175

Física General II



Figura 3.23Estabilidad de un cuerpo sumergido: (a) inestable; (b) neutral; (c) estable Ahora se considera la estabilidad rotacional del cuerpo flotante. Si el centro de gravedad está por debajo del centro de flotación, el cuerpo es siempre estable (ver figura 3.23c. Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura 3.24a. Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido desplazado se mueve a un nuevo punto C’, que se muestra en la figura 3.24b. Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto de intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza de flotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, el cuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo es inestable.

Figura 3.24Estabilidad de un cuerpo flotante: (a) posición de equilibrio; (b) posición girada. Para determinar una relación cuantitativa de GM utilicemos la figura 3.25. Para esto determinemos la coordenada x del centro de flotación del fluido desplazado 𝑥̅ . Esto puede hacerse considerando que el volumen es igual a la suma del volumen de fluido original más el volumen de la cuña cuya área transversal es DOE, menos la sección en forma de cuña restada que tiene área de sección transversal AOB. Para ubicar el centro de flotación del volumen compuesto, tomamos momentos como sigue

xV  x0V0  x1V1  x2V2

(3.78)

Donde V0 es el volumen original por debajo de la línea de flotación, V 1 es el área DOE multiplicada por su longitud y V2 es el área AOB multiplicada por la longitud. Se supone que la sección transversal es uniforme de modo que la longitud l es constante. La cantidad 𝑥̅0 es la coordenada x del centro de flotación, es cero. La mejor manera de representar los dos términos restantes es con integrales, esto es

xV   xdV   xdV V1

176

V2

(3.79)

Física General II


Entonces dV  x tan  dA es el volumen 1 y Entonces la ecuación (3.79) se escribe


dV  x tan  dA es

el volumen 2, donde

dA  ldx .

xV  tan   x 2 dA  tan   x 2 dA A1

A2

 tan   x dA 2

A

xV  tan  I 0

(3.80)

Donde I0 es el momento de inercia del área de línea de flotación alrededor de un eje que pasa por el origen O. El área de línea de flotación sería la longitud AE multiplicada por la longitud l del cuerpo si l es constante. De la figura puede observarse además que

x  CM tan  , se puede escribir

CM V  I 0

(3.81)

Finalmente se obtiene

GM 

I0  CG V

(7.82)

De la ecuación anterior si GM es positiva es cuerpo es estable. Debe indicarse además que aunque la deducción fue realizada para un cuerpo de sección uniforme los resultados son válidos para cualquier cuerpo en general.

Figura 3.25Sección transversal uniforme de un cuerpo flotante

3.4

TRASLACION Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 3.4.1 Liquido bajo aceleración horizontal uniforme. Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal como se muestra en la Fig. 23, sometido a una aceleración uniforme horizontal. En la figura se observa que después de ser sometido a dicha aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora. Para determinar la variación de presión en dirección vertical se considera el DCL de una porción de fluido en forma vertical y se aplica la segunda ley de Newton.

177

Física General II



Figura 3.26.Variación de la presión con la profundidad en un fluido con movimiento acelerad horizontalmente. Debidoa que el movimiento es como un sólido, los esfuerzos cortantes se desprecian, entonces la segunda ley de Newton en dirección vertical nos da ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝑑𝐹2 − 𝑑𝐹1 − 𝑑𝑊 = 𝑚(0) 𝑝2 𝑑𝐴 − 𝑝1 𝑑𝐴 = 𝜌𝑔𝑑𝑉 (𝑝0 + 𝑝)𝑑𝐴 − 𝑝0 𝑑𝐴 = 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴 𝑝 = 𝜌𝑔ℎ

(3.83)

La ecuación anterior establece que la variación de la presión en dirección vertical es la misma que la de un fluido en reposo relativo. Para determinar la variación de presión en la dirección horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal como se muestra en la figura3.26, y se aplica la segunda ley de Newton, esto es ∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝐹1 − 𝑑𝐹2 = (𝑑𝑚)𝑎𝑥 (𝑝0 + 𝛾ℎ1 )𝑑𝐴 − (𝑝0 + 𝛾ℎ2 )𝑑𝐴 = 𝜌𝑑𝑉(𝑎𝑥 ) 𝜌𝑔(ℎ1 − ℎ2 )𝑑𝐴 = 𝜌𝑔𝐿𝑑𝐴(𝑎𝑥 ) ℎ1 −ℎ2 𝐿 ℎ1 −ℎ2

De la figura se observa además que(

𝐿

=

𝑎𝑥

(3.84)

𝑔

) es la pendiente de la superficie libre, esto es

𝑡𝑔𝜃 =

ℎ1 −ℎ2 𝐿

=

𝑎𝑥 𝑔

(3.85)

La ecuación (3.85) indica que cuando el fluido es sometido a una aceleración constante, la superficie libre del fluido es un plano inclinado de pendiente constante y dependiente de la aceleración.

178

Física General II



Figura 3.27.Variación de la presión en dirección horizontal en un fluido sometido a aceleración constante

3.4.2 Liquido bajo aceleración uniforme vertical. Consideremos ahora el movimiento de un depósito conteniendo un fluido de densidad ρ, en dirección vertical con una aceleración 𝑎𝑦 . La figura 3.28, muestra que en este caso la superficie libre permanece horizontal durante el movimiento. Es decir la presión en planos horizontales permanece constante, pero en dirección vertical no, para verificar la variación en dicha dirección se traza el DCL de una porción de fluido como se muestra y se aplica la segunda ley de Newton, es decir ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝑑𝐹2 − 𝑑𝐹1 − 𝑑𝑊 = (𝑑𝑚)𝑎𝑦 (𝑝0 + 𝑝2 )𝑑𝐴 − (𝑝0 + 𝑝1 )𝑑𝐴 − 𝜌𝑔𝑑𝑉 = 𝜌. 𝑑𝑉. 𝑎𝑦 (𝑝2 − 𝑝1 )𝑑𝐴 − 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴 = 𝜌. ℎ. 𝑑𝐴. 𝑎𝑦 (𝑝2 − 𝑝1 ) = 𝜌ℎ(𝑔 + 𝑎𝑦 )

(3.86)

Figura 3.28 Variación de la presión en dirección vertical para un fluido con movimiento vertical y aceleración uniforme La ecuación (3.86) indica que la presión en la dirección vertical varía con la profundidad y con la aceleración aplicada al depósito. Un caso particular es aquel en el cual se deja caer libremente el depósito desde cierta altura, aquí 𝑎𝑦 = −𝑔, con cual resulta. (𝑝2 − 𝑝1 ) = 𝜌ℎ(𝑔 + (−𝑔) ) 𝑝2 = 𝑝1

(3.87)

Esto indica que cuando el depósito cae libremente la presión es la misma en todos los puntos del fluido.

179


Física General II


3.4.3 Liquido bajo rotación uniforme alrededor de un eje vertical. Consideremos ahora un recipiente cilíndrico con un líquido que se mantiene con una rotación uniforme a una velocidad angular constante ω, girando alrededor del eje z, tal como se muestra en la figura3.29. En este caso cada una de las partículas del fluido describe circunferencias con la misma velocidad angular, es decir el fluido se mueve como un sólido cuando se alcanza dicha velocidad angular, por ello no existe esfuerzos cortantes y la única aceleración que existe es la aceleración centrípeta dirigida hacia el eje de rotación.

Figura3.29Variación de la presión para un fluido sometido a una velocidad angular uniforme ω. Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presión en la dirección vertical son análogas al caso hidrostático, esto es ∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 𝑑𝐹2 − 𝑑𝐹1 − 𝑑𝑊 = 0 (𝑝z )𝑑𝐴 − (𝑝z +

∂pz ∂z

dz) 𝑑𝐴 = 𝜌𝑔𝑑𝑉

Simplificando la ecuación anterior se obtiene ∂pz ∂z

= −𝜌𝑔

Analizado el movimiento en dirección radial obtenemos ∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑛 𝑑𝐹2′ − 𝑑𝐹1′ = (𝑑𝑚)(𝜔2 𝑟) (𝑝𝑟 +

∂pr ∂r

dr) 𝑑𝐴′ − 𝑝𝑟 𝑑𝐴′ = 𝜌 𝑑𝑉(𝜔2 𝑟)

180

(3.88)

Física General II

Estática de Fluidos ∂pr ∂r


dr 𝑑𝐴′ = 𝜌 𝑑𝑟 𝑑𝐴′ (𝜔2 𝑟) ∂pr ∂r

= ρ𝜔2 𝑟

(3.89)

Por otro lado, la variación de la presión puede escribirse en la forma 𝑑𝑝 =

∂pr ∂r

dr +

∂pz ∂z

∂pφ

dz +

dφ

∂φ

(3.90)

Debido a que la variación de la presión en dirección acimutal es nula, esto es

∂pφ ∂φ

= 0, entonces la ecuación

(3.90) se escribe en la forma 𝑑𝑝 =

∂pr ∂r

dr +

∂pz ∂z

dz

(3.91)

Remplazando las ecuación (3-88) y (3.89) en (3.91), resulta 𝑑𝑝 = ρ𝜔2 𝑟 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧

(3.92)

Al integrar la ecuación (85), en forma indefinida, resulta 𝑝 = ∫ ρ𝜔2 𝑟 𝑑𝑟 − ∫ 𝜌𝑔 𝑑𝑧 𝑝=

1 2

ρ 𝜔2 𝑟 2 − 𝜌 𝑔 𝑧 + 𝐶

(3.93)

La constante de integración C, se determina teniendo en cuenta que cuando r =0, z =z 0 y p = p0, entonces se tiene que 𝑝0 = − 𝜌 𝑔 𝑧0 + 𝐶 𝐶 = 𝑝0 + 𝜌 𝑔 𝑧0

(3.94)

Al sustituir la ecuación (3.94) en la ecuación (3.94) resulta 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌 𝑔(𝑧0 − 𝑧) +

1 2

ρ 𝜔2 𝑟 2

(3.95)

La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene haciendo 𝑝 = 𝑝0 debido a que en la superficie libre la presión es 𝑝0 , entonces tenemos 𝑝0 = 𝑝0 + 𝜌 𝑔(𝑧0 − 𝑧) + 𝒛 = 𝒛𝟎 +

1 2

ρ 𝜔2 𝑟 2

𝝎𝟐 𝒓𝟐 𝟐𝒈

(3.96)

La ecuación (3.96) indica que las superficies de igual presión son paraboloides de revolución. Cuando existe una superficie libre en el recipiente que está girando el volumen que ocupa el fluido que está debajo de la superficie libre del paraboloide de revolución tiene que ser igual al volumen de fluido que tenía cuando estaba en reposo. En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro es según la ecuación (3.96) ℎ0 =

𝜔2 𝑟02 2𝑔

181

(3.97)

Física General II



Por otro lado, debido a que el volumen del paraboloide de revolución es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito, el volumen del líquido por encima del plano horizontal es, 1

1

𝜔2 𝑟02

2

2

2𝑔

𝑉 = (𝜋𝑟02 )ℎ0 = (𝜋𝑟02 ) ( 𝑉=

𝜋 𝑟04 𝜔2

) (3.98)

4𝑔

Cuando el líquido está en reposo, este líquido está también por encima del plano a través del vértice a una profundidad, h dada por 1

𝜔2 𝑟02

2

2𝑔

ℎ= (

)

(3.99)

Por tanto, e líquido se eleva a lo largo de las paredes la misma altura que el centro desciende en el eje de rotación.

182


Física General II


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 03

Problema 01

La presión barométrica a nivel del mar es 762 mmHg, cuando en la cima de una montaña es de 737 mmHg. Si se supone que el peso específico del aire es constante e igual a 11,8 N/m3. Determinar la elevación de la cima

Calcular la presión en un tanque abierto que contiene petróleo crudo, en un punto a 2,4 m debajo de la superficie libre del líquido cuya densidad relativa es 0,86

Solución Datos e incógnitas

Solución

p 0  762 mmHg ;... p  737 mmHg ;.. a  11,8N / m 3 h  ??

Datos e incógnitas La ley fundamental de la hidrostática viene expresada por la ecuación dp   dz dp   .dz.......... .......... .......... ...(1)

h  2,4 m;  r  0,86; p  ?? La presión manométrica en el fondo viene expresado por

p man  .g.h   r  w g.h

Integrando la ecuación (1), resulta

 0,86 (1000 )(9,8)( 2,4)



p man  20227 N / m 2 .......... .......... ...... Rta.

p

p0

dp   a



z

dz

z0

p  p0   a  z  z0 

Problema 02

p  p0   a h......................................(2)

Un recipiente abierto contiene tetracloruro de carbono hasta una profundidad de 2 m, y agua sobre el tetracloruro de carbono hasta una profundidad de 1,5 m. ¿Cuál será la presión en el fondo de este tanque?. La densidad relativa del tetracloruro de carbono es 1,59

Remplazando valores se tiene

737  762 mmHg

 (11,8 N / m 3 )h

25(133 ,3N / m 2 )  (11,8 N / m 3 )h h  282 ,42 m.......... ..Rta.

Solución Datos e incógnitas h T  2 m; h w  1,5m; p  ?? En la figura se muestra la ubicación de los fluidos en el depósito

Problema 04 Si en la superficie libre de un líquido su peso específico es γ0 , siendo z y p cero ambas, demostrar que , si E= módulo de compresibilidad = constante, el peso específico y la presión se dan por

 

E  E z   0 

   

y

  z p   E. ln 1  0  E  

Calcular el peso específico y la presión a una profundidad de 2 km, suponga que γ0 =10 kN/m3 y E = 2070 MN/m2. Solución La presión manométrica debido a los fluidos en el fondo del depósito, será p B  p w  p ccl4

El módulo de compresibilidad E está definido por la ecuación

  w ghw   r  w ghT

E

 1000 (9;8)(1,5)  1,59 (1000 )(9,8)( 2) p B  45864 N / m 2 .......... .......... .......... Rta.

dp Vdp  dV    dp   E   .......(1) dV dV V  V

De la ley fundamental de la hidrostática, se tiene

183


Física General II


Problema 05

dp   dz dp   .dz...............................(2)

El peso específico del agua en el mar se puede calcular a partir de la relación empírica    0  k h (en el cual h es la profundidad bajo la superficie del océano).Derivar una expresión para la presión en cualquier punto h , y calcular el peso específico así como la presión a una profundidad de 3,22 km. suponer que  0  10 4 N / m 3 , h en metros y k= 7,08

Comparando las ec.(1) y (2), se tiene

 dV   .dz   E   ...............(3) V 

Solución

De la definición de peso específico, se tiene

Datos e incógnitas    0  k h;

mg  V  mg 1 V dV  mg 2 d  .....................(4)



De la ley fundamental de la hidrostática se tiene

dp   .dh

Remplazando la ec. (4) en la ec(3), resulta

dp  ( 0  k h )dh.......... .......... .......... ..(1)

  mg  2 d    .dz  E  1   mg   dz   E  2 d .......... .......... .......... ......( 5)

Integrando la ecuación (1) se tiene



p

p0

Integrando la ec. (5), se obtiene



z

0

 0  10 4 N / m 3 ; k  7.08N / m 7 / 2   10 4  7,08 3220   10402 N / m 3 .......... .......... .......... .....( 3) Cálculo de la presión

E    

.dz

p man



Problema 06 Encuentre la diferencia de presión entre los tanques A y B. Si d1= 300 mm; d2=150 mm; d3=460 mm; d4=200 mm.

Remplazando los valores dados en el enunciado del problema en las ec, (6 ) y (7), se obtiene



2 (7,08 ) 3220 3 3  33 MPa.......... .......... .......... ....... Rta

p man  10 4 (3220 ) 

Integrando la ecuación anterior resulta p z Edz dp   0 0  E z   0     z p  E.ln 1  0  .............Rta. E  



h

0

Cálculo de γ cuando h = 3,22km

Remplazando la ec. (6) en (2), se tiene

 E z    0 

dp     0  kh1/ 2  dh

2 pman   0 h  kh3 / 2 ............................(2) 3

  1 1 dz  E   2 d   z  E    0  0   E   ................(6)  E  z    0  

dp  

p  ??

2070 .10 6

   9900 N / m 3 ....... Rta.  2070 .10 6   2000    10 .10 3    10 4 (2000 )    p  19,9MPa. p  2070 .10 6 ln 1  6   2070 .10 

184


Física General II


pC  p D

Solución

p A   w g (0,2)  p B

Del diagrama puede observarse que los puntos M y N se encuentran a la misma presión p M  p N .......... .......... .......... .......... ......( 1)

p A  p B   w g (0,2)

 4900  9800 (0,2)

p Aman  2940 N / m 2 .......... ... Rta

Evaluando la presión en la rama izquierda, se tiene p M  p A   w gd1 .......... .......... .......... .( 2)

Problema 08

Evaluando la presión en la rama derecha se tiene

Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanques serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?

p N  p B   Hg g (d 2  d 4 Sen45 º ).....( 3)

Reemplazando las ec.(2)y (3) en (1), resulta p AA   w gd1  p B   Hg g (d 2  d 4 Sen45 º ) p A  p B   Hg g (d 2  d 4 Sen45 º )   w gd1 2 )  9800 (0,3) 2 p A  p B  77217 N / m 2 .......... .......... .......... ..... Rta  13600 (9,8)( 0,46  0,2

Problema 07 Un tubo abierto se conecta a un tanque y el agua sube hasta una altura de 900 mm dentro del tubo. Un tubo utilizado en esta forma se conoce como un piezómetro. ¿Cuáles son las presiones pA y pB del aire por encima del agua? Ignore los efectos capilares en el tubo.

Solución a) En la posición mostrada De la figura puede observarse que los puntos D y E están a la misma presión, esto es p D  p E .......... .......... .......... ...(1) La presión en el punto A, se obtiene de la rama izquierda en la forma

p A  p D  800 (9,8)( DC )  9800 (CA) p A  p D  7840 (0,14 )  9800 (0,46 ) p A  p D  5605 ,6 N / m 2 La presión en D, será p D  p A  5605,6N / m 2 .....................(2)

Solución En primer lugar se determina la presión del aire en B. De la figura puede observarse que la presión en M es la misma que en N, esto es pM  pN

La presión en el punto B, será

p B  p E  1,05 (1000 )(9,8)( 0,3)

p B   w g (0,4)  p 0   w g (0,9)

p B  p E  3087 N / m 2 .

p B  p 0   w g (0,5)  1000 (9,8)( 0,5)

La presión en E , esta dado por

p Bman  4900 N / m 2 .......... ... Rta

p E  p B  3087N / m 2 .......................(3)

Ahora se determina la presión del aire en A. De la gráfica se observa que los puntos C y D están a la misma presión

Reemplazando las ec. (2) y (3) en (1) resulta

185


Física General II

p D  p E  p A   w d1 .......... .......... .....( 5)

p A  5605 ,6 N / m 2  p B  3087 N / m 2 p A  p B  (5605 ,6  3087 ) N / m

2

En la rama derecha que contiene mercurio se cumple p E  p F   w d 2 .......... .......... .......... ....( 6)

p A  p B  2518 ,6 N / m .......... ........ Rta 2

b)


Comparando las ecuaciones (5) y (6), resulta

Cuando se rota el sistema 180º alrededor de MM

En la figura se muestra la nueva ubicación

p F   w d 2  p A   w d1 p F  p A   w d 1   w d 2 .......... .......... (7)

Puesto que los puntos F y G están en un nivel horizontal y pertenecen al mismo fluido, entonces

p F  pG .......... .......... .......... .......... .......( 8) Además en la rama derecha se cumple que p B  p G   w (d 1  d 2  d 3 ) p G  p B   w (d 1  d 2  d 3 )......... .......( 9)

Reemplazando las ec. (7) y (9) en (8), resulta En la disposición se cumple p A   w d 1   w d 2  p B   w (d 1  d 2  d 3 )

pC  p D

p A  p B   w d 2   w (d 2  d 3 )......... ........ Rta

p A  9800 (0,46)  800 (9,8)(0,14)  p B  1050 (9,8)(0,3) p A  p B  2518 ,6 N / m 2 ) Rta

Problema 10

Problema 09

La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3. Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la bisagra A cuando el depósito se llena hasta una profundidad d = 2,9 m.

¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B de los tanques?

Solución De la figura puede observarse que en la rama izquierda, se cumple que p A  p C   w d 1 .......... .......... .......... ....(1)

Solución Datos e incógnitas AB  3m;..a  4m;..  1263 kg / m 3 ;..d  2,9m

p C  p A   w d 1 .......... .......... .......... ....( 2)

T  ??;..Ax  ??;...A y  ??

Los puntos C y D, se encuentran a la misma presión, esto

La fuerza ejercida por el fluido sobre la compuerta, está dada por

p C  p D .......... .......... .......... .......... .......( 3)

2,9 )(4 x2,9) N 2 FR  208188 N ......................................(1)

FR   hCG A  (1263)(9,8)(

entonces p D  p A   w d 1 .......... .......... .......... ....( 4) De la figura puede verse además que los puntos D y E están a la misma presión, entonces

El punto de aplicación de FR será

186


Física General II

y  y CG 


SenI GX p CG A (1263 )(9,8)( Sen90 º )(



1 x 4 x 2,9 3 ) 12

2,9 )( 4 x 2,9) 2  0,483 m.......... .......... .......... .......... ...( 2) 1263 (9,8)(

y  y CG

En la figura se muestra el DCL de la compuerta La fuerza hidrostática sobre la ventanilla será

FR  pC A  w ghCG A  (1030)(9,8)(10900)( 0,52 ) FR  86, 4MN .....................................Rta Problema 12 Una compuerta rectangular de 1,8 m de longitud y de 1,2 m de altura, está colocada verticalmente con el centro a 2,1 m debajo de la superficie del agua. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre dicha superficie, debido al agua.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene MA  0 T (3)  FR (0, 067)  0

Solución

3T  208188(0, 067) T  67106 N ......................Rta....(3)

Datos e incógnitas

h  1,2m; b  1,8m; FR  ??

 Fx  0

En la figura se muestra la compuerta sumergida

FR  Ax  T Ax  FR x  T  208188  67106 Ax  141082 N ......................Rta...(4)  Fy  0 Ay  W

Problema 11 Calcular la magnitud de la fuerza sobre la ventanilla de observación de vidrio, de 1m de diámetro, de un batíscafo en el fondo de la fosa submarina de las Marianas en el Océano Pacífico cuya profundidad es 10,9 km.

La fuerza resultante debido al fluido liquido es FR  p C A   w ghCG A  (1000 )(9,8)( 2.1)(1.2)(1,8) FR  44452 ,8 N .......... .......... .......... ..... Rta

Solución

Su localización se determina utilizando la ecuación

Datos e incógnitas

 w  1030kg / m3 ; d  1m; h  10900m; FR  ??

y  yCG

En la figura se muestra el diagrama de la ventanilla de observación

y  yCG

187

1 3  .Sen .I GX (1000)(9,8)( Sen90º )(12 x1,8 x1, 2 )   pCG A 1000(9,8)(2,1)(1,8 x1, 2)  0, 057m..........................................Rta


Física General II


b  3,6 m; a  4,5 m;   1000kg/m3 ;..FR  ??

Problema 13 Una compuerta circular de3 m de diámetro, tiene su centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la compuerta debido al agua.

En el gráfico se muestra la ubicación de la superficie triangular


d  3 m;   60º ;   1000kg/m3 ; hCG  2,5m; FR  ? En la figura se muestra la ubicación de la compuerta.

La fuerza resultante ejercida por el agua será

b.a ) 2  3,6(4,5   (1000)(9,8)(2.4)    2  FR  190512 N .......................................(1)

FR  pC A   w ghCG (

La fuerza resultante debido al agua será

El punto de aplicación tiene dos coordenadas Coordenada Y


 .d 2 4

)

y  yCG 

  .(3) 2   (1000)(9,8)(2.5)    4  FR  173175 N .........................Rta Su punto de aplicación se determina mediante la ecuación   .r 4  (9800)( Sen60º )    .Sen .I GX  4  y  yCG   2 pCG A 9800(2,5)( .r )

y  yCG

 .Sen .I GX pCG A

 1 3   36 (4,5)(3, 6)   2   2, 4(4,5)(3, 6) / 2     0,3m...............................Rta

Coordenada X

3   (1,5)    2  4   2,5  0,31m..................................Rta 2

y  yCG

 a.b3  (9800)( Sen90º )    36   2x 9800(2, 4)(a.b / 2)

x  x CG 

I xy y CG A

.......... .......... .......... .(3)

de la figura se observa que a 4,5 y CG    y CG  1,5m.......... ....( 4) 3 3 El producto de inercia es cero por la simetria x  x CG  1,5m.......... .......... .......... ..Rta.

Problema 14 Un triángulo isósceles de 3,6 m de base y de 4,5 mde altura, está localizado en un plano vertical. Su base está vertical y su ápice está a 2,4 m debajo de la superficie del agua. Determine la magnitud y la localización de la fuerza del agua sobre el triángulo

Problema 15

Solución

Un área triangular de 2 mde base y de 1,5 m de altura tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado

Datos e incógnitas

188


Física General II

45º, con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el área triangular.


y  yCG 

Solución Datos e incógnitas b  2m;..a  1,5m;..  45º ;..FR  ?? En la figura se muestra la ubicación de la compuerta

y  yCG

 .Sen .I GX pCG A

 a.b3  (9800)( Sen 45º )    36   9800(2, 4)(a.b / 2)

 1 3   36 (2)(1,5)     2,04(2)(1,5) / 2     0,043m...........................Rta

Problema 16 Si el peso específico de un líquido varía linealmente según la profundidad h de acuerdo con la ecuación    0  kh , Derivar expresiones para la fuerza resultante por anchura unitaria sobre la compuerta y su punto de aplicación.

En primer lugar se determina la altura del centro de gravedad de la placa triangular. De la figura se observa que

2, 75 2, 75 y  1,5 y  1,5 sen45º y  2,34m......................................(1) hCG sen45º   hCG  ( y  0,5) sen45º y  0,5 hCG  2, 04m........................................(2) sen45º 

Solución En la figura se muestra la vista en planta de la compuerta

Para determinar la fuerza resultante se divide el área en elementos diferenciales a una profundidad h y de espesor dh, como se muestra en la figura. Entonces la fuerza sobre el elemento diferencial será

La fuerza resultante sobre la superficie triangular será

b.a  3(1,5  )  (1000)(9,8)(2.04)   2  2  FR  29988 N .......................................(3)


dF  p.dA   .h.dA   .h( L.dh)  ( 0  k.h)(h)( L.dh)

La localización del punto de aplicación de la fuerza resultante se determina por la ecuación

dF   0 L.h.dh  k .L.h 2 dh.....................(1)

189


Física General II


La fuerza resultante por anchura unitaria (L =1 m), se obtiene integrando la ecuación(1), esto es H

 h2 kh3  FR    0 h  K .h  dh   0    2 3 0 0 H

2

FR 

H2  3 0  2kH  ..........................(2) 6

El punto de aplicación se determina aplicando el principio de momentos

yR 

1 1 h.dF   FR FR

H

 

0

h 2  k .h3  dh

Según el enunciado del problema, la fuerza de rozamiento entre las guías y la compuerta es el 10% de la fuerza debido al fluido, por tanto

0

 0H kH  3 4 H   1  0 h kh 3 4      FR  3 4  0 H 2 (3 0  2kH ) / 6 H (4 0  3kH ) yR  .........................Rta. 2(3 0  2kH ) 3

4

10 FR  0,1(114307 ) 100 Fk  11430 ,7 N .......... .......... .......... ......( 2)

Fk 

En la figura se muestra el DCL de la compuerta en una posición Y a partir de la posición de equilibrio Problema 17 La fuerza de rozamiento entre una compuerta de esclusa AB cuadrada de 1,8 m de lado y sus guías es el 10% de la resultante de las fuerzas de presión que el agua ejerce contra la cara de la compuerta. Hallar la fuerza inicial necesaria para elevar la compuerta si ésta pesa 4,5 kN.

Aplicando la segunda ley de Newton según la dirección mostrada, se tiene

 Fy  ma y W (0) g T  W  Fk  4500 N  11430,7 N T  W  Fk 


T  15930,7 N ......................Rta.

AB  1,8m; a  1,8m; W  4,5KN ; FK  0,1FR ; T  ? La fuerza que ejerce el fluido sobre la compuerta está mostrada en la figura y su valor es

Problema 18

FR  pC A   w ghCG ( AB)(a)

El agua dulce canalizada es retenida por la placa de 2,5 m engoznada en A. Si la compuerta está diseñada para abrirse cuando la altura del agua es 0,8 m, tal como se muestra. ¿Cuál debe ser el peso de W de la placa (en newton por metro de longitud normal al papel)?.

 (1000)(9,8)(4,5  0,9)(1,8)(1,8) FR  114307 N ......................................(1)

190


Física General II


Problema 19 En el fondo de un depósito lleno de agua hay una compuerta AB sin peso de 0,5m x 0,8m. La compuerta está articulada con bisagras a lo largo de su borde superior A y se apoya en un tope liso B. Determinar: (a) Las reacciones en A y B cuando la tensión del cable es nula. (b) La mínima tensión del cable BCD para que se abra la compuerta. Solución Datos e incógnitas

L AB  2,5m; hw  0.8m; a  1m;..W  ?? La fuerza ejercida por el agua sobre la placa será

FR  pC A   w ghCG A  0,8  0,8(1)   (1000)(9,8)     2  sen60º   9800(0, 4)(0,924) N

Solución

FR  3622 N ...............................(1)

Parte a. Cuando T = 0 Datos e incógnitas AB  0,8m;..a  0,5m;..R A  ??;..N B  ?' ;..T  ?

El punto de aplicación de la fuerza hidrostática se determina con la ecuación

En primer lugar se determina la fuerza debido al agua

 1(0.9243 )  9800Sen120º   12    9800(0, 4)(0,924)(1)

0, 48   FH  pC A   w ghCG A  9800  0, 45    (0,8)(0,5)  2   FR  2704,8 N ......................................(1)

 .Sen .I GX pCG A y  yCG  0,154m.............................(2)

y  yCG 

El punto de aplicación de la fuerza hidrostática se determina por la ecuación

La distancia desde el punto A al centro de presiones será

d  (2  0,312 )m d  1,688 m desde A.......... ...( 3)

y  yCG

En la figura se muestra el DCL de la placa

y  yCG

 0,5(0.83 )  9800Sen37º   12  .Sen .I GX     0, 48 pCG A 9800(0, 45  )(0,5)(0,8) 2  0, 046m.............................(2)

En la figura se muestra el DCL de la compuerta, en donde se observa las fuerzas que actúan sobre ella y sus puntos de aplicación (T = 0)

Tomando momentos con respecto al punto A, se tiene MA 0 W (1,25Cos60 º )  FR (1,688 ) W (1,25 )( 0,5)  3622 (1,688 ) W  9783 N .......... .......... .Rta.

191


Física General II

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos MA 0


Tomando momentos respecto al punto A se tiene MA 0

FH 0,4  ( y  y CG )  T (0,8Sen )

FH (d )  N B (0,8) 0,8 N B  22704 ,8(o,4  0,046 )

2704 ,8(0,4  0,046 )  T (0,8Sen25 º ) T  3568 N ......... Rta.

N B  1507 ,9 N .......... .......... .......... ...( 3)

Problema 20  Fx  0

Encuentre la fuerza total sobre la compuerta AB causada por los fluidos. Suponga que la densidad relativa del aceite es 0,6. Encuentre además la posición de esta fuerza medida desde el fondo de la compuerta.

Ax  FH Sen37 º  N B Sen37 º Ax  ( N B  FH )(3 / 5)  (1507 ,9  2704 ,8)(3 / 5) Ax  1197 N .......... .......... ..( 4)

 Fy  0 A y  FH Cos37 º   N B Cos37 º A y  ( FH  N B )(3 / 5)  (2704 ,8  1507 ,9)(3 / 5) A y  957 N .......... .......... ...( 5) La fuerza de reacción en A será

RA 

Ax2  A y2

 1197 2  975 2 R A  1543 ,8 N .......... .......... .......... ....... Rta.

Solución

Parte b. La tensión mínima será aquella que hará que la reacción en B sea nula.

En primer lugar se determina la fuerza ejercida por aire y el agua del tanque (lado izquierdo

En la figura se muestra el DCL de la compuerta cuando la reacción en el punto B es NB = 0

F1  p CG A  ( p aire   w hCG ) A

 1440  62,4(10  16Cos30 º )(12 )( 4) F1  140575 lbf....... .... .......... .......... ....(1) El punto de aplicación de F1 será

y  y CG 

y  y CG

p CG A

 4(12 3 )   62 ,4 Sen120 º    12   2928 ,6(4)(12 )  0,22 pie.......... .......... ........( 2)

Por lo tanto la distancia desde el punto B al punto de aplicación de F1 será

En primer lugar se determina el ángulo φ que forma la dirección de la tensión y la línea que define la compuerta Tg (   ) 

 w .Sen .I GX

d 1  6 pie  0,22 pie

0, 48  0, 45  0, 27 0, 64

d 1  5,78 pie.......... .......... .......... .......... .(3)

Tg (37º  )  1,875  37º   Tg 1 (1,875)

Se determina ahora la fuerza ejercida por el aceite del depósito del lado derecho sobre la compuerta

  25º

192


Física General II


F2  p CG A   ac hCG A  0,6(62 ,4)( 40  16 Sen60 º )(12 )( 4)  (2016 ,4)( 48 ) F2  96786 ,4 lbf....... .......... .......... .......(4)

El punto de aplicación de F2 será

y  y CG 

 ac .Sen .I GX p CG A

Solución

 4(12 )   0,6(62 ,4) Sen60 º    12   2016 ,4(4)(12 )  0,19 pie.......... .......... .........( 5) 3

y  y CG

En primer lugar se determina la fuerza ejercida por el agua sobre la superficie inclinada

La distancia desde el punto B al punto de aplicación de F2 será d 2  (6  0,19 ) pie

d 2  5,81 pie.......... .......... .......... .......... .( 6) La fuerza resultante sobre la compuerta debido a todos los fluidos, es FR  F1  F2

 (140575  96786 ,4)lbf FR  43789 lbf .......... .......... .......... .......( 7)

F1   w hCG A  9800 (1,8)(1,5 x0,6) F1  15876 N .......... .......... .......... .......... .(1)

En la figura se muestra la compuerta AB conjuntamente con las fuerzas ejercidas por los fluidos.

Su punto de aplicación será y  y CG 

y  y CG

 w SenI GX PCG A

 1,2   1  9800    (0,6)(1,5) 3    1,5  12  9800 (1,8)( 0,6)(1,5)  0,083 m.......... .......... ........( 2)

Se determina ahora la fuerza ejercida por el agua sobre la parte inferior de la compuerta

La ubicación de FR respecto a B, se determínale principio de momentos M BFR   M BFi

F2   w h' CG A'  9800 (2,4)( 0,9 x0,6)

43789 (d )  140575 (5,78)  96786 (5,81) d  5,71 pies.......... .......... ....... Rta

F2  12701 N  .......... .......... .......... ......( 3)

Su punto de aplicación en la mitad del lado BC

Problema 21 Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.

xV  0, 45m desde B Para determinar la fuerza P se traza el DCL de la compuerta

193


Física General II


FBC   P. hCG A

Aplicando la segunda condición de equilibrio MA 0

 850 (0,6 

P(0,9)  F1 (0,83)  W (0,3)  F2 (0,45) 0,9 P  15876 (0,83)  600 (9,8)(80,3)  12700 (0,45) P  10304 N .......... .......... .......... .......... ....... Rta

FBC

0,6 )( 0,6)(1,1) 2  504 ,9kgf .......... .......... .......... .......( 1)

El punto de aplicación de la fuerza debido al petróleo se determina mediante la ecuación y  y CG 

Problema 22 La compuerta AB es una placa rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 m de altura y 1,1 m de anchura y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo, la densidad relativa del petróleo es 0,85.

y  y CG

 P Sen .I GX PC A

 1  3 850 ( Sen90 º ) (1,1)( 0,6)  12   850 (0,9)( 0,6)(1,1)  0,033 m

La distancia desde B hasta el centro de presiones será

d1  0,3  0, 033 d1  0,333m.........................(2) Se determina ahora la fuerza debido a los fluidos sobre la porción CA de la compuesta

Solución Datos e incógnitas FCA  PCG A  ( pS  pp  pw ) A

M AB  280 Kgf ; L  1,5m; a  1,1 m;

 ( p hp   w hCG ) A

 P  850 kgf / m 3 ;  w  1000 kgf / m 3 ;..M B  ??

0,9    850(1, 2)  1000( ) (0,9)(1,1) 2   FCA  1455,3kgf .................................(3)

En primer lugar se determina la fuerza ejercida por el petróleo sobre la compuerta en BC

El punto de aplicación de la FCA,será

194


Física General II

y  y CG 

 w Sen .IGX


determinan la presión en cualquier lugar del líquido. En la figura se muestra los principales factores, es decir p, la superficie libre y la distancia vertical del centro de la compuerta con respecto a la superficie libre.

PC A

 1  1000(Sen90º )   (0,9)3 (1,1)  12   850(1, 2)  1000(0, 45) (0,9)(1,1) y  y CG  0, 046m...................................(4)

La distancia desde B hasta el centro de presiones será

0,9 m  0, 046m. 2 d 2  1, 096m............................(5)

d 2  0, 6m 

Para determinar el momento M aplicado en B se traza el DCL de AB y se aplica la ec. de equilibrio

La fuerza debido a los fluidos será FR  ( p1   w hCG ) A





 69 .10 4  9800 (1,5m  1,5Sen60 º ) (3)( 2,5)  (662569 ,4)(3)( 2,5) FR  4969 ,27 KN .......... .......... .......... .......... Rta

El punto de aplicación de FR será

y  yCG 

 MB  0 M  FBC (d1 )  FAC (d 2 ) M  (504,9)(0,333)  (1455,3)(1,096)

y  yCG

M  1763,14kgf ................................Rta

 w Sen .I GX PC A

 1  (9800)( Sen60º )   (3)3 (2,5)  12   (662569, 4)(3)(2,5)  0, 096m..............................Rta

Problema 23 Problema 24

Determine la fuerza y su posición debido a los fluidos que actúan en la compuerta de la figura

Encuentre la fuerza resultante sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro y de afuera. Determine la distancia d por debajo de B de la posición de FR,  w  62,4lbf / pie3 ;  rhg  13,6

Solución Datos e incógnitas Paire .man  690 kPa;... w  9800 N / m 3

FR  ??;

Centro de presiones  ??

Se sabe que la presión p, y la distancia vertical desde la superficie libre hasta el centro de gravedad las que

195


Física General II


Datos e incógnitas a  3m;.. p man  35kPa;..F  ??

Solución De la figura se observa en el manómetro que p A  pB

En primer lugar se determina la presión del agua a nivel del punto A, esto es p m  p A   w h Am

p 0   hg (0,4)  p B p B, m  13,6(62,4)(0,4)

p A  35000 N / m 2  9800 (1,8) N / m 2

p B  339 ,44lbf / pie3 .........( 1)

p A  17360 N / m 2 .......... .......... .......... ..(1)

Además se puede ver que p B  pC

La fuerza hidrostática debido al agua será

p C  339 ,46lbf / p 3 .......... .......... ........( 2)

FH  pCG A  ( pA   whCG ) A  17360  9800(0, 45 (1,5)(3) FH  97965N .......................................(2)

Además se observa que

pD  pC   w (20  0,5)  339, 46  62, 4(19,5) pD  1556, 26lbf / p3

Calculo sobre la fuerza AB

FAB  pCG A  ( pC   w hG )(4, 2)

FAB  1556, 26  62, 4(5) Sen45º  (8)  1776,88(8) FAB  14215lbf

Punto de aplicación de FR y  y CG 

 w Sen .I GX PCG A



62 ,4Sen135 º I GX 1776 ,88(8)

El punto de aplicación de FH se determina por la ecuación

44 ,12 .I GX  0,0031 .I GX 1776 ,88(8) 1  0,0031 ( )( 2)( 4) 3 12  0.033 pie 

y  y CG

y  yCG 

 w Sen .I GX PC A



9800 Sen143º  121 (3)(1, 53 )  97965

y  yCG  0, 051m...........................Rta

D  2  0,033 D  2,033 pie.......... .......... ...... Rta

En la figura se muestra el DCL de la compuerta en la que se observa las fuerzas que actúan y sus puntos de aplicación

Problema 25 Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para mantener cerrada la cubierta de esta caja. La cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular a plano del dibujo.

Tomando momentos respecto al punto O, se tiene MA 0

F (1,5sen )  FH (0,75  0,051) F (1,5Sen53º )  97965 (0,8) F  65310 N .......... .......... .Rta. Solución

196


Física General II


  .R 2    2 FV   wVAOC  9800   L  9800   (1,8 )(2, 4) 4  4  FV  59851N ............................(3)

Problemas de fuerzas sobre superficies curvas Problema 26 El cilindro mostrado en la figura tiene 2,4 m de longitud normal al plano del papel y está pivotado en O. Calcular el momento (respecto a O) que se requiere para mantenerlo en posición.

Punto de aplicación: La fuerza vertical pasa por el centroide del volumen real o imaginario de fluido sobre la superficie, en este caso se tiene

4 R 4(1,8)  3 3 xC  0,76m...................(4) xC 

En la figura se muestran las fuerzas y su punto de aplicación sobre el cilindro


R  1,8m;..L  2,4m;.. w  1000kg / m3 ;..M O  ?? Fuerza horizontal: en la figura se muestra el área proyectada de la superficie curva en un plano perpendicular a la fuerza horizontal

Tomando momentos respecto al punto O, se tiene

M O   M i  FV ( x)  FH (0,6)  59851 (0,76 )  38102 (0,6) M O  68348 m.N .......... .......... .......... ..Rta.

Problema 27 ¿Cuál es la fuerza resultante producida por los fluidos que actúan sobre la compuerta AB cuya sección es un cuarto de círculo?. El ancho de la compuerta es 1,3 m.

El módulo de la fuerza horizontal está dado por FH  p CG A

FH   w hCG ( L)( R)

FH  9800 (0,9)2,4(1,8) FH  38102 ,4 N .......... .......... .......... .....( 2)

El punto de aplicación de la fuerza horizontal será

y  yCG   y  yCG

 w Sen .I GX PC A 9800( Sen90º )  121 (2, 4)(1,83 ) 

38102, 4  0,3m..................................(2)

Solución Datos e incógnitas R  1m;..L  1,3m;.. w  1000kg / m 3 ;..FR  ??

Fuerza vertical. Está dada por el peso del fluido real o imaginario sobre la superficie curva, extendido desde la superficie curva hasta la superficie libre del fluido, es decir

Fuerza horizontal: en la figura se muestra el área proyectada de la superficie curva en un plano perpendicular a la fuerza horizontal

197


Física General II



El módulo de la fuerza horizontal está dado por

FH  pCG A   whCG ( L)( R)  9800(0,7  0,5) 1,3(1) FH  15288 N ........................................(1) Fuerza vertical. Está dada por el peso del fluido real o imaginario sobre la superficie curva, extendido desde la superficie curva hasta la superficie libre del fluido, es decir


FH  pCG A   w hCG  .R 2   62, 4(10)  (32 

FV   wVABDE   w VACBEDA  VACB 

FH  17643 lbf ....................................(1)

  (12 )    w  AACBEDA  AACB  ( L)  9800 1(1, 7)  (1,3) 4   FV  11652 N .......................................(2)

Fuerza vertical. En la figura se muestran las fuerzas verticales que actúan sobre las superficie curva Fuerza sobre AB

FV 1   w V1/ 4 esfera  V1/ 2 cilindro  .............(2)

La fuerza resultante ejercida por el agua sobre la compuerta es

Fuerza sobre BC

FR  FH2  FV2  15288 2  11652 2

FV 2   w V1/ 2 cilindro  V1/ esfera  ..(3)

FR  19222 N .......... .......... .......... ........ Rta.

La fuerza vertical neta será Problema 28

FV  FV 1  FV 2

En la figura se muestra una compuerta semiesférica que cierra un canal de agua. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva indicada.

  w V1/ 4 esf  V1/ 2 cil   V1/ 4 es  V1/ 2 cil  

 1  4 .R 3    2 (33 )    wV1/ 2 esf   w    62, 4     3   2  3  FV  3528, 6lbf .....................................(4) La fuerza resultante ejercida por el agua sobre la compuerta es

FR  FH2  FV2  17643 2  3528 ,6 2 FR  17992 lbf .......... .......... .......... ..Rta. Solución

Problema 29

Datos e incógnitas

¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido por todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativa del aceite es 0,8.

R  3 pie;.. w  62,4lbf ; FR 

198


Física General II


y  yCG 

 w Sen .I GX PC Aproy

  .R 4  62, 4( Sen90º )    4   6254, 4( .R 2 )

y  yCG  0.089 pie................Rta

Problema 30 El apoyo semicónico se usa para soportar una torre semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique. Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el apoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en la base del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua se encuentra a 1,2 m sobre este punto. Solución Datos e incógnitas

R  3 pie;.. w  62 ,4lbf ; FR  ??;  r  o,8 p aire  30 lbf / pu lg 2  4320 lbf / pie 2


Solución Parte (a). Calculo de las componentes de la fuerza ejercida por el agua cuando la superficie libre del agua está en la base del cilindro Fuerza horizontal. En la figura se muestra el área proyectada de la superficie curva en un plano perpendicular a la fuerza horizontal


FH  p CG A



  p a   aceite (10 )   w (23)  .R 2





La magnitud de la fuerza horizontal está dada por



 4320  0,8(62,4)  62,4(23)  (3 2 FH  176839 lbf .......... .......... .......... ..Rta

 b.h   1,5   (3)(1,5)  FH  pCG Aproy   w hCG    9800    2   3   2  FH  11025 N .  .................................(1)

El punto de aplicación de la fuerza horizontal se determina a partir de la ecuación

Fuerza vertical

199


Física General II


 1   .R 2 h   FV   wVsobrela sup   w  12 Vcono    w     2  3    (1,52 )(1,5)   9800   6   FV  17318 N  ...................................(2) Parte(b).Calculo de las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua cuando la superficie libre está 1,2 m sobre la base del cilindro. Fuerza horizontal: En la figura se muestra la superficie proyectada del apoyo semicónico en un plano perpendicular a la fuerza horizontal. Solución Parte (a). En primer lugar se determina la fuerza vertical sobre la mitad superior del casco, para ello se dibuja la superficie junto al fluido como se muestra en la figura

La magnitud de la fuerza horizontal será La fuerza vertical está dada por 1,5   (3)(1,5)   b.h   FH  pCG Aproy   w hCG    9800 1, 2   3   2   2   FH  37485 N .  ................................(3)



F1V   wV sobrela sup   w Vcilindro  12 V esfera

 1  4 .R 3     w  .R 2 H   2  3     2 .( 0,75 3 )    9800  .( 0,75 2 )(1,35 )    3   

Fuerza Vertical. La magnitud de la fuerza vertical será

FV   wV sobrela sup   w 12 Vcono  12 Vcilindro   1   .R 2 h  1     .R 2 H    w     2  3  2  2 2   (1,5 )(1,5)  (1,5 )(1,2    9800    6 2   FV  58881 N  .......... .......... .......... .....( 4)







F1V  14719 ,6 N  .......... .......... .......... .......... ...(1)

Parte (b).Se calcula ahora la fuerza vertical ejercida por los fluidos sobre la mitad inferiordelcasco.

F2V   wVcilindro   ccl4 ( 12 Vesfera )  2 .R 3  9800  .R 2 H  1590 (9,8)  3



Problema 31 El casco esférico sin peso provisto del pequeño tubo piezómetrico, se suspende de un cable. Determine: (a) la fuerza ejercida por los líquidos sobre la mitad inferior de la esfera y (b) la fuerza ejercida por los líquidos sobre la mitad superior de la esfera (c) La fuerza total de tensión en el cable



F2V

200





   

 2 (0,75 3 )    9800  .( 0,75 2 )(1,35  15582   3    37147 ,2 N  .......... .......... .......... .......... ..( 2)


Física General II


La magnitud de la fuerza está dado por

F1V   wVsobrela sup.   w Vcilindro  12 Vesfera 

Parte (c). Calculo de T. En la figura se muestra el DCL del sistema; depreciando el peso del casco, las fuerzas que aparecen son la tensión en el cable (T), y las fuerzas debido a losfluidos

 1  4 .R3   F1V   w  .R 2 H    2  3     2 .(33 )   F1V  62, 40  .(32 )(15)     3   F1V  22936,14 lbf  ...........................(1) Para determinar la fuerza ejercida por el aceite, en primer lugar se determina la presión a nivel del tabique AB, esto es

pman.  p1   aceite (2 pie)  P1  5(144)  0,8(62, 4)(2) p1  620,16 lb / p 2 .........................(2) La presión anterior se convierte en altura equivalente de aceite p1   aceite he  620,16  0,8(62, 4)he

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

he  12, 42 pie.........................(3)

 Fy  0  T  F1V  F2V T  37147, 2  14719, 6

En la figura se muestra la superficie semiesférica con los fluidos respectivos

T  22427, 6 N ...........................Rta.

Problema 32 ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de la otra por el tabique AB?.

La magnitud de la fuerza resultante será

F2V   aceVsobrela sup.   acei. Vcilindro  12 Vesfera   1  4 .R3   F2V   acei.  .R 2 H    2  3     2 .(33 )   F2V  0,8(62, 40)  .(32 )(12, 42)     3   F2V  20357, 4 lbf  .......................................(4)

Solución En la figura se muestra la fuerza vertical ejercida por el agua sobre la semiesfera superior

201


Física General II


FH  p CG A pro   p A   ac hCG b.h) 

La fuerza resultante sobre la esfera será

 120  800 (0,3)1,2(0,6)

F  F1V  F2V

FH  259 ,2 kg.......... .......... .......... ......( 2)

 22936 ,2  20357 ,4 F  2578 ,8.  .......... .......... .......... .... Rta.

El punto de aplicación de la fuerza horizontal será y  y CG 

Problema 33

 acei Sen .IGX PCG Aproy

 1, 2(0, 63 )  800(Sen90º )   12    259, 2

Calcular la fuerza F necesaria para mantener la compuerta mostrada en la figura en la posición cerrada. Considere que R = 60 cm y que la compuerta tiene un ancho de 1,2 m

y  y CG  0.067 m.................(3)

La fuerza vertical será

FV  pA A   acie.  AAOBC  AAOB  (a)   .0,62   120  0,6(1, 2)  800 0,62  (1, 2) 4   FV  160,57 kg.........................................(4)

Solución En primer lugar se determina la presión en el punto A del aceite. Del manómetro en U se puede observar que los puntos M y N tienen la misma presión, esto es

pM  pN p 0   1 R  p A   ac. hac.   w hw

Punto de aplicación de la fuerza vertical. Pasa por el centroide del volumen imaginario sobre la superficie curva AB.

3000 (0,6)  ( p A  p 0 )  800 (0,6)  1000 (1,2) p A, man  120 kg / m 2 .......... .......... .......... ..(1)

xC 

Fuerza horizontal. En la figura se muestra el área proyectada de superficie curva AB en un plano perpendicular a la fuerza horizontal

 x i Ai x1 A1  x 2 A2   Ai A1  A2 0,3(0,6)( 0,6) 

 0,6 2 

4(0,6)   (0,6 2 )    3  4 

 (0,6 2 )

4 x C  0,467 m.......... .......... .......... .......... .(5) En la figura se muestra el DCL de la compuerta

La magnitud de la fuerza horizontal será

202


Física General II



MA 0 F (0,6)  FH (0,367 )  FV (0,467 ) 0,6 F  259 ,2(0,367 )  160 ,57 (0,467 ) F  283 ,52 kg.......... .......... ........ Rta.

Problema 34.


El agujero que hay en el fondo del depósito de la figura, está cerrado con un tapón cónico cuya densidad es 400kg/m3. Determine la fuerza F necesaria para mantener cerrado el depósito.

 Fy  0 F  W  FV  pa A   .r 2 hC    FV  pa R 2   C g   3    1,2(0,9 2 )    17456 ,6  5.10 4  (0,45 2 )  3920   3  

 

F  53254 N 

Rta.

Problema 35 El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua. Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.

Solución Datos e incógnitas  C  400kg / m3 ;..paire  50kPa;..F  ?? La fuerza vertical debido al agua más la presión del aire es   R2h  FV   wVsobrela sup er .   w Vcilindro  Vcono   9800  R 2 H   

3 

  (0, 45 )(0, 6)   9800  (0, 452 )(3)   3   FV  17456, 6 N (1) 2

Solución Fuerza vertical sobre AB. En la figura se observa la superficie curva con los fluidos

En la figura se muestra el DCL del tapón cónico, en el se observan aplicadas las fuerzas: peso del tapón(W), la fuerza vertical neta debido alos fluidos sobre superficie cónica(FV = paA + Fagua ), y la fuerza “F”.

La magnitud de la fuerza vertical sobre AB

203


Física General II

F1V   aceVsobrela sup.

La magnitud de la fuerza horizontal será

  acei.  12 Vcilindro  14 Vesfera 

  R2  F1H  pCG Apro   acei hCG     2 

1 1  4 .R   F1V   acei.   .R 2 H    4  3  2 3

4(3)    (32 )   F1H  900  5    3   2  

  (3 )(5)   .(3 )   F1V  900    2  3   F1V  38170, 4 kgf  ............................(1) 2


3

F1H  47417,3 kg  ....................(3)

Fuerza vertical sobre BC. En la figura se muestra la superficie con los fluidos

Fuerza horizontal sobre BC. En la figura se muestra el área proyectada de la superficie curva BC en un plano perpendicular a la fuerza horizontal

La magnitud de la fuerza sobre BC es

F2V   aceite ( 12 Vcilindro )   w ( 14 Vesfera )  R H   aceite   2 2

  1 4R    w ( )  4 3   

FH  p CG A pro. 4 R  R 2     acei. hacei.   w ( )  3  2 

  (3 )(5)    (3 )    1000    900    3  2      91891 ,6 kgf  (2) 2

F2V

La magnitud de la fuerza horizontal sobre BC es

3

3

   

4 x3   (3 2 )      900 (5)  1000 ( )  3  2   FH  81617 ,3 kg  .......... .......... .......... ...( 4)

La fuerza vertical neta actuando sobre la superficie curva ABC, es

La fuerza horizontal resultante será

FV  F2V  F1V  91891 ,6  38170 ,4 FV  53721 ,2 kgf 

FH  F1H  F2 H  47417 ,3  81617 ,3

Rta.

FH  129034 ,6 kgf 

Fuerza horizontal sobre AB. En la figura se muestra la superficie proyectada en un plano perpendicular a la fuerza horizontal.

Rta.

Problema 36. Determine la fuerza P, necesaria para que la compuerta parabólica mostrada se encuentre en equilibrio. Considere que H = 2 m y el ancho de la compuerta es 2 m.

204


Física General II


dA   H  y  dx   2  2x 2  dx A

  2  2x  dx 2

2

0

1

2   2   A   2 x  x 3    2 1  13   4 / 3 3 0  3   2 A  1,33m  4

Remplazando la ec. (4) en (3), resulta FV  9800N / m 3 1,333m 2   2m 

Solución Fuerza horizontal sobre la compuerta. En la figura se muestra la superficie proyectada en un plano perpendicular a la fuerza horizontal.

5

Fv  26127N 

El punto de aplicación de la fuerza vertical será

 xdA   x  2  2x  dx x 2

A A 1 1 1  2 xdx  2 x 3dx   0 A  0 1

 La magnitud de la fuerza horizontal será

1  2x 2 2x 4   A  2 4  0

 6

x  0,375m

F1H  pCG Aproy   w hCG  H .a 

Para determinar el valor de P se traza el DCL de la compuerta tal como se muestra en la figura.

 9800N / m 3 1m  2mx 2m  FH  39200N  ....................(1) El punto de aplicación de la fuerza horizontal será

y  y CG 

 w Sen .IGX PCG Aproy

 2(23 )  9800(Sen90º )    12   39200

y  y CG  o , 333 m.................(2)

Tomando momentos respecto a la bisagra  Mo  0

La magnitud de la fuerza resultante será FV   wVsobrela sup . Fv   w  Area  ancho 



P  H   FV x  FH  d H 

 3

P  2m   26127N  0,375m   39200N  0, 667m  P  17972N 

Se procede a determinar el área utilizando el elemento diferencial mostrado en la figura.

Rta.

PROBLEMAS SOBRE LA LEY DE ARQUÍMEDES

Problema 36 ¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga?. La barcaza tiene 6 m de ancho.

205


Física General II


Datos e incógnitas

 C  37 ,44lbf / p 3 ;..F  150 lbf ;..e  2 pie;..  w  62,4lbf / p 3 ;..d  ?? . En la figura se muestra el DCL de la cuña, en él se observa que las fuerzas que actúan son: El peso de la cuña(W), la fuerza externa (F) y el empuje hidrostático

Solución Datos e incógnitas WT  ??;.. w  1000kgf / m3 En la figura se muestra el DCL de la barcaza más su carga, las fuerzas que actúan sobre ella son: su peso total (W) y la fuerza de flotación (E).


 Fy  0  W  F  E

 CVC  F   wVS  3(6)  37, 44  (2)  150  62, 4VS  2  VS  7, 08 pie3 ......................(1)


 Fy  0  WT  E   wVs

De la figura puede observarse que el volumen de la porción sumergida es

 (12  16,8)(2, 4)  WT  1000    6  2  WT  207360 kgf Rta.

Vs 

x(d )( e)  7,08 pie3 .......... .......... .( 2) 2

Por semejanza de triángulos se obtiene x 3   x  1,15 d........... .......... ....( 3) d 6

Problema 37

Remplazando la ec. (3) en (2)

Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es forzada dentro del agua mediante una fuerza de 150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál es la profundidad d?.

1,15 .d (d )( 2)  7,08 pie 3 2 d  2,48 pie.......... .......... Rta.

Problema 38 Una piedra pesa 267 N en el aire y 178 N en el agua. Calcular su volumen y su densidad relativa Solución Datos e incógnitas

W P , aire  267 N ;..W P , agua  178 N ;..V  ??;.. r  ??

Solución

206

Física General II


En al figura se muestra el DCL de la piedra cuando es pesado en el aire,


Problema 39 La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene en posición horizontal por el ancla de concreto (24 kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puede tener el ancla de concreto.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta  Fy  0

Solución

Ta  W P, aire  267 N .......... .......... ......( 1)

Datos e incógnitas

En la figura se muestra el DCL de la piedra cuando está totalmente sumergida en el agua

 m  6,3kN / m 3 ;.. C  24 kN / m 3 ; W  ?? En la figura se muestra el DCL de la viga horizontal

Aplicando la ecuación de momentos respecto del punto A se tiene Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

 M A  0  E1 (3m)  Wm (3m)  T (6m)

 Fy  0

3 wVS  3 mVm  6T

T  Eagua  WP

3(9800)(0,135)  3(6300)(0,135)  6T T  236, 25 N ...................(1)

178   wVS  267 9800VS  89 N

En la figura se muestra el DCL del ancla: en este diagrama puede observarse que para que el peso sea mínimo la fuerza de o entre el fondo y el concreto debe ser cero, por tanto

VS  9,08.103 m3 ........(2) Enseguida se procede a determinar la densidad relativa, para esto en primer lugar se determina la densidad de la piedra

 267 N    9,8m / s 2  m  P   V 9,08 .10 3 m 3

 P  3000 kg / m 3 .......... .......... .......... ..( 3) La densidad relativa de la piedra será

 P 3000   w 1000  r  3.......... .......... .......... .......... .......... .( 4)

Aplicando la ecuación de momentos, resulta

r 

 Fy  0  T  NC  E2  Wmin 236, 25  0   wVC  Wmin 207


Física General II


W  236, 25  0   w  C   Wmin  C     WC 1  w   236, 25 N  C  WC  399,3N ..................Rta. Problema 40 Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta

El tapón circular de 0,25 m de diámetro y 0,025 m de espesor tiene un peso específico de 76kN/m3. Calcular el diámetro D de la esfera de peso despreciable para que la válvula se abra cuando el agua tenga 1,5 m de profundidad. Considere que el peso del cable es despreciable.

 Fy  0  T  WT  FV d2  d2  9800 D3   T  T  eT   w  T  H 12  4   4  9800 D3  3(7,6.104 )(0, 252 )(0,025)  3(9800)(0, 25 )(1,5) D  0,68m................Rta. Problema 41 El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3 m cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se mantiene en la posición mostrada por la acción de la cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θ cuando h= 0,9 m, (b) El valor mínimo de h para que θ sea 90º.

Solución Datos e incógnitas Solución

d T  0,25m;..eT  0,025m;.. T  76kN / m 3 ;..D  ? Datos e incógnitas

En la figura se muestra el DCL de la esfera de peso despreciable

a  0,05m;..b  0,05m;..L  3m;...  ??;...h  0,9

En la figura se muestra el DCL de la barra en el se observa que las fuerzas que actúan son el peso de la barra (W); la tensión en el cable(T) y el empuje hidrostático (E), actuando en la mitad de la porción sumergida Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta

 2 D 3   Fy  0  T  E   w gVS   w g    24    ( D3 )  T  9800   ...........................(1)  12  En la figura se muestra el DCL del tapón, en el se observa que actúan las fuerzas: Tensión en el cable (T), el peso del tapón (W), y la fuerza debido al agua (F V)

Aplicando la segunda condición de equilibrio se tiene

208


Física General II


Solución

MA  0

Datos e incógnitas

( ADCos )  WB ( AGCos )

 A  640 kg / m 3 ;.. B  2400 kg / m 3 ;.

E ( AD)  WB ( AG )

.V B  ??;..FV  ?? En la figura se muestra el DCL de A+B

 w gVs ( AD)   B gVB ( AG ) x L 2 2 x L 1000(0, 05)(0, 05)( x )( )  400(0, 05) 2 ( L)( ) 2 2 2 2 1000 x  400(3 )

 wVs ( )   BVB ( )

x 2  3, 6m 2 x  1,8974m......................(1) El ángulo θ, se determina a partir de la geometría h 0,9m  x 1,8974 m   28,32 º......... .......... .......... .......... ... Rta El valor mínimo se h para que θ sea 90º, se obtiene de la ecuación (2), esto es sen 

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

hmin x  xSen90 º  1,8974 Sen90 º

sen90 º  hmin

 Fy  0 E A  E B  W A  W B .......... .......... .......... (1)

hmin  1,8974 m.......... .......... .......... .Rta

 w gVs   w gVB   A gV A   B gVB .......... ......( 2) De la geometría de la figura, se tiene

Problema 42

r 0,3  0,81 0,9 r  0,27 m.......... .......... .......... .......... ......( 3)

El cuerpo homogéneo A de la figura es un cono circular recto (ρ = 640kg/m3). El cuerpo B (ρ = 2400kg/m3) se fija a A mediante un alambre. Si los cuerpos están en equilibrio en la posición mostrada. Determinar: (a) El volumen del bloque B, (b) La resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie lateral del cono

Reemplazando la ecuación (3) en (2), resulta 1 1  w ( r 2 h)   wV B   A ( R 2 H )   BV B 3 3  0,27 2 (0,8)  640  (0,3 2 )( 0,9)   1000 V B  1000    2400 V B  3 3   61,84  1000 V B  54,29  2400 V B V B  5,39 .10 3 m 3 ........ Rta...( 4)

La fuerza resultante ejercida por el fluido es el empuje hidrostático sobre el cono 1 E A   w g ( r 2 h) 3 1  9800 ( )( )( 0,27 2 )( 0,81) 3 E A  607 N .......... .......... .......... .......... ..Rta

209


Física General II


T  10094 (0,152 )(1,8)  90(9,8) T  402,31N ......................................Rta

Problema 43 Una baliza de canal consta de un cilindro de acero hueco de 300 mm de diámetro y 90 kg de masa, que se ancla en el fondo con un cable como se indica. Con la marea alta, h=0,6 m. Determine la tensión T en el cable. Hallar así mismo el valor de h cuando el cable se afloja al bajar la marea. La densidad del agua marina es de 1030 kg/m3. Supóngase que la baliza está lastrada para que se mantenga en una posición vertical.

En la figura se muestra el DCL de la baliza al bajar la marea, entonces la tensión en el cable es nula


 Fy  0  E  W

 w g ( .r 2 )(2, 4  h ')  mg 1030(9,8)( )(0,152 )(2.4  h ')  90(9,8) h '  1,16m..............Rta


Problema 44. Los cuerpos A y B de la figura son dos cilindros sólidos y homogéneos, la sección transversal de cada cilindro es 0,09 m2. Las densidades de los cilindros A y B son de 1800 y 2600 kg/m3, respectivamente. Un resorte de tensión (uno que sólo actúa a tensión) interconecta a A con el fondo del tanque. En la figura se representa al resorte sin deformar. Calcule la posición de la superficie del cilindro A con respecto a la superficie correspondiente del cilindro B cuando el módulo de elasticidad del resorte es 900 N/m.

d  300mm;...m  90kg ;....h  0, 6m;.T  ??;.... w  1030kg / m3

En la figura se muestra el DCL de la baliza cuando la marea es alta


 Fy  0 E  T W  0 T  E W   w gVs  mg T  1030(9,8)( r 2 H )  mg

210


Física General II

Solución


k.x  1058 ,4  1270 900 .x  211,68 x  0,235 m.......... .......... .......... .......... ..Rta.

Datos e incógnitas AA = 0,09 m2; ρA = 1800 N/m3; ρB = 2600 N/m3; K = 900N/m; x =??.

Problema 45. En la figura se muestra el DCL del cilindro A, sobre el se observa que actúan las fuerzas: Tensión en el Cable (T), peso del cilindro (WA), la fuerza elástica (Fe) y el empuje (EA).

Los dos bloques prismáticos A y B de la figura son de madera (ρm= 600 kg/m3). Las áreas de las secciones transversales son 0,045 m2 para A y 0,108 m2 para B. La barra CD se construyó con la misma madera y el área de su sección transversal es 0,018 m2. Calcular la distancia que el bloque B debe subir o hundirse para que el sistema recobre su configuración de equilibrio.


 Fy  0 T  E A  W A  Fe T  k .x   A gV A   w gV A

T  k .x   A g A(1,5)   w g A(1,5)

T  k .x  17640 0.09 (1,5)  9800 (0,135 ) Solución

T  k .x  1058 ,4.......... .......... .......... .......... ..(1) En la figura se muestra el DCL del cilindro B, en el se observa que actúan las fuerzas: La tensión en el cable (T), el peso del cilindro (W B) y el empuje hidrostático (EB).

Datos e incógnitas. AA = 0,045 m2; AB= 0,108 m2; ρA= ρB= 600kg/m3 ACD= 0,018 m2, h = ?? En la figura se muestra el DCL del bloque A cuando ha sido hundido, sobre el actúan las fuerzas: La tensión en el cable (T), el peso del bloque (WA) y la fuerza de flotación (EA).

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene  Fy  0 T  WB  E B T   B gV B   w gV B T  gV B (  B   w )

T  9,8(0,09 )( 0,9)2600  1000  T  1270 N .......... .......... .......... .........( 2)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta

De la ecuación (1) y (2), se obtiene

211


Física General II

 Fy  0


441(1,5  h)  555 ,66  1058 ,4(0,9  h)  762 ,05 1499 ,4h  84,67 h  56 mm.......... .......... ........ Rta.

E A  T  WA T  E A  WA   w gVA   A gVs T  9800  AA  2,1  0, 6  h    5880  AA hA 

PROBLEMAS SOBRE TRASLACIÓN ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS

T  9800 0, 045 1,5  h    5880(0, 045)(2,1) T  441(1,5  h)  555, 66...............................(1)

Y

Problema 46. Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua. Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en dirección horizontal tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre del agua alcanza una orientación fija con respecto al tanque?.

En la figura se muestra el DCL del bloque B cuando se ha desplazado una altura h, sobre el actúan las fuerzas: La tensión en el cable (T1), el peso del bloque (WB) y la fuerza de flotación (EB).

Solución Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

Datos e incógnitas.

 Fy  0

Wtan que  80 N ,.. F  100 N ;..Vw  0,25m 3 ;..  ??

T1  E B  W B   w gVs   B gVB

En primer lugar se determina la masa de agua en el tanque.

 9800 1,2  (0,3  h)  58808 (1,2)( 0,108 ) T1  1058 ,4(0,9  h)  762 ,05 .......... .......... .....( 2)

m w   wV w

 1000 (0,25)

m w  250 kg.......... .......... .......... .......... ...(1) Se determina ahora la masa del tanque vacío

En la figura se muestra el DCL de la varilla, sobre ella actúan las fuerzas: reacción en la articulación (Ro); el peso de ella (Wv); la fuerza de flotación (EV), las tensiones en los cables T y T1.

WT  mT g  80 N mT  8,16 kg.......... .......... .......... .......... ..( 2) La mas total del sistema tanque + agua es

ms  mw  mT  250  8,16 ms  258,16kg......................................(3) La aceleración que le produce la fuerza externa F se determina utilizando la segunda ley de Newton en dirección horizontal

Aplicando la segunda condición de equilibrio resulta

 Fx  ma x

Mo  0

100 N  258 ,16 kg(a x )

T (0,9 cos )  T1 (0,9 cos )

a x  0,387 m / s 2 .......... .......... .........( 4)

T  T1 .......... .......... .......... ....( 3)

El ángulo θ se determina a partir de la ecuación

Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta

212


Física General II


Al moverse el depósito con una aceleración constante el agua forma una pendiente igual a

ax 0,387   0, 039 g 9,8   2, 26º.....................................Rta.

tg 

ax 3, 24   0,33 g 9,8   18, 28º........................................(4)

tg 

Problema 47. Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es mayor?.

Se determina ahora la altura d

d 2d   0,33 l / 2 1,8 d  0, 297m...........................................(5)

tg 

La altura del depósito será Solución

H  0,9  d  0,9  0,297 H  1,197 m.......... .......... .......... .......... ..Rta.

Datos e incógnitas L  a  1,8m;.W  3500 N ;.hw  0,9m;.F  10,6kN;

La fuerza hidrostática sobre la pared del depósito donde la profundidad es mayor será

H  ??;..Fw  ?? . En la figura se muestra el DCL del tanque más el fluido en movimiento, las fuerzas que actúan son: la fuerza externa (F); la reacción normal (N1 y N2) y el peso del tanque + el agua (W).

 1,197  Fw   ghCG A  9800   (1,197)(1,8)  2  Fw  12637, 4 N ..................................Rta. Problema 48. Un depósito abierto de 9 m de longitud, 1,2 m de ancho y 1,2 m de profundidad está lleno con 1 m de aceite de ρr = 0,82. Se acelera en la dirección de su longitud uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 14 m/s. ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo para acelerar el depósito hasta dicha velocidad sin que se derrame el líquido?. Solución

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

 Fx  ms ax  F 

W ax g

Datos e incógnitas

W 10600  ax .......................................(1) g

L  9m;.a  1,2m;.h  1,2m;.. ac  822 kg / m 3 ; v 0  0;..v f  ?? .

El peso total del sistema depósito +agua es

En la figura se muestra el depósito de masa despreciable conteniendo aceite cuya superficie libre forma una pendiente cuando el depósito se desplaza hacia la derecha.

W  W D  W w  W D  gVw  3500  9800 (1,8 2 )( 0,9) W  32076 ,8 N .......... .......... .......... .......( 2) Remplazando la ecuación (2) en (1), resulta

32076,8 ax 9,8 a x  3,24m / s 2  ...................(3)

10600 

Del gráfico se determina la pendiente dando un valor de

213


Física General II

tg 


 Fy  ma y

0,2 a x  4,5 g

N C cos   mg cos 30º  m(0)

 0,2  a x  9,8   4,5  a x  0,436 m / s 2

mg cos 30º .......(1) cos   Fx  max NC 

mg .sen30º  N C sen  max ................(2)

El tiempo requerido se determina a partir de la relación cinemática

Remplazando la ec. (1) en (2), resulta v f  v0  a x t mg .sen30 º .

14  0  0,436 (t ) t  32 ,14 s......... .......... .......... .......Rta .

Problema 49

mg cos 30 º sen  ma x cos

32 ,2 12   32 ,2

Aquí se trata de despejar la normal en la partícula, mediante las ecuaciones del equilibrio, con la finalidad de obtener el ángulo de inclinación del sa superficie de agua, m = 1

 tg  10 3 2

tg  0,219

  12,34 º......... .......... .......... ....... Rta.

Un recipiente rectangular que contiene agua experimenta una aceleración constante hacia abajo sobre el plano inclinado, como se muestra en la figura. Determine la pendiente de la superficie libre del agua.

Problema 50. Un pequeño recipiente rectangular que contiene agua y se encuentra abierto se localiza sobre una faja transportadora como se muestra en la figura la cual se acelera constantemente a 5 m/s2. Un vez que se alcanza la configuración de estado permanente (equilibrio relativo). ¿Se derramará el agua del recipiente?

Solución Datos e incógnitas  w  62,4lb / p 3 ;.a x  10 p / s 2 ;..  ?? Para resolver el problema se traza el DCL de una partícula en la superficie libre del fluido, tal como se muestra en la figura.

Solución Datos e incógnitas. a  5m / s 2 ;.. w  1000kg / m3 ;.. En la figura se muestra el DCL de una partícula de fluido en la superficie libre del líquido, las fuerzas que actúan son: su peso (W), la fuerza NC debido a todas las partículas que la rodean y es perpendicular a la superficie libre.

Aplicando las ecuaciones de movimiento según las direcciones mostradas se tiene

214


Física General II

Aplicando las ecuaciones de movimiento según las direcciones mostradas se tiene


sobre la pared izquierda AB cuando se alcanza una configuración estable del agua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5 pies.

Dirección y

 F y  ma y N C cos   mg cos15 º  m(0) N C cos   mg cos15 º NC 

mg cos15 º .......... ......( 1) cos 

Dirección x

 Fx  ma x

Solución

N C sen  mg .sen15 º  ma x .......... .....( 2) Datos e incógnitas Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta

a  0,4g; b  1,5 p;.. w  62,4lb / p 3 ;..FAB  ?? .

mg cos15º sen  mgsen 15º  max cos  g cos15º tg  g.sen 15º  ax

En la figura se muestra el DCL de una partícula sobre la superficie libre del fluido, las fuerzas que actúan son: su peso (W) y las fuerzas que las demás partículas ejercen sobre la partícula en estudio (NC).

5  9,8sen15º  0,7956 9,8cos15º   38,5º...............(3)

tg 

De la gráfica se tiene

d1  d 2 250 d1  d 2  250tg

tg 

 d 2  250(0, 7956 d1  d 2  198,9.............................(4) Según el principio de conservación de masa

Aplicando las ecuaciones de movimiento según las direcciones mostradas resulta Dirección x

d1  d 2 ) 2 d 1  d 2  200 .......... .......... .......... ......( 5)

 (250 )(100 )(100 )   (250 )(100 )(

 Fx  max NC sen  m(a cos 30º )...........(1)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (4) y (5), se tiene

Dirección y

d1  199,5mm

 F y  ma y N C cos  mg  m(asen30 º )

Analizando la ecuación anterior y la gráfica se infiere que no se derrama agua.

N C cos  m( g  asen30 º )......... .......... ...( 2) Dividiendo las ecuación (1) y (2), resulta

Problema 51. Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a de 0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos

215


Física General II


1 V par .  12 Vcilcirc.  12  r 2  Z1    (0, 62   0, 725   2 3 V par .  Vderr .  0, 41m ........................Rta.

Se procede ahora a determinar la altura AB en la pared del depósito. De la geometría del problema se observa que AB  1  1.tg  1  0,433 AB  1,43 pie.......... .......... .......... ......($)

La profundidad en el eje será Finalmente utilizando la hidrostática se determina la fuerza sobre la pared AB.

 ay  FAB  pCG A   w hCG 1   A g   1, 43   0, 4 g ( 12 )  FAB  62, 4  A  1  g   2 

 62, 4(0, 715)(0,8) 1, 43(1,5) 

h  H  Z 1  1,8  0,725 h  1,08m.......... .......... .......... .......... ..Rta.

Aquí no olvidarse de que la aceleraci ón en el eje y, es al diferenci a de de Ay y g

Problema 53. ¿A qué profundidad debe girar el cilindro del problema anterior para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?. Solución Datos e incógnitas

FAB  76,56 lbf ...................................Rta.

  ??;..r  0,6m;..H  1,8m. En la figura se muestra la ubicación del fluido según la condición del problema

Problema 52 Un depósito cilíndrico abierto de 1,2 m de diámetro y 1,8 m de profundidad se llena con agua y se le hace girar a 60 RPM. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje?. Solución Datos e incógnitas

d  1, 2m;..H  1,8m;..  60 RPM  2 rad / s; Vderr .  ?? : En la figura se muestra el cilindro girando alrededor de su eje geométrico.

De la ecuación del paraboloide de revolución se tiene Z1 

 2r 2 2g

H  1,8 



 2 0,6 2  29,8

 0,6 2  2

29,8   9,9rad / s.......... .......... .......... .... Rta.

Problema 54. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular de ω = 30 RPM. ¿Cuál será la altura h del agua en los tubos capilares después de alcanzar el estado permanente?.

La altura que ha descendido el fluido en el eje se determina mediante la ecuación

Z1 

 2r 2



2 2 0,6 2  29,8

2g Z 1  0,725 m.......... .......... .......... .......... .(1) El volumen de fluido derramado será igual al volumen del paraboloide de revolución, es decir.

216


Física General II


H  60 mm  10 mm  63mm H  7mm.......... .......... .......... .......... .( 2)

La presión manométrica en el fondo del depósito será

p   w hCG  9800 (7.10 3 ) p  68,6 N / m 2 .......... .......... .......... Rta.

Problema 56.

Solución

Se llena con agua un tubo de 50 mm de diámetro y 1,2 m de largo, y se cierra. Se hace girar entonces a 150 RPM en un plano horizontal alrededor de un extremo como eje. Calcular la presión sobre el extremo exterior del tubo.

Datos e incógnitas

  30 RPM ;..Z 1  ?? En la figura se muestra la configuración de estado permanente cuando el depósito gira alrededor de su eje geométrico.

Solución En la figura se muestra el diagrama del tubo y la parábola que aparecería debido a la rotación del mismo.

Para determinar la altura hipotética Z2se aplica la ecuación

Para determinar la altura del fluido en los tubos capilares se usa la ecuación del paraboloide de revolución, esto es  2 r 2  2 0,5 2 Z1   2g 29,8 Z 1  0,126 m  126 mm.......... .......... ......( 1) Problema 55.





Z1 

 2r 2



5 2 1,2 2  29,8

2g Z 1  18,13m.......... .......... .......... .......... ..(1) La presión en el extremo exterior del tubo será p Z   w Z 2  9800 (18,13)

En el problema anterior. ¿Cuál será la presión en un punto del eje de rotación situado en el fondo del depósito?.

p 2  177674 N / m 2 .......... .......... ... Rta.

Solución

Problema 57.

Como el depósito está abierto el centro del mismo desciende una altura

Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m de diámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m. Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en el espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en la intersección de la pared y el fondo del tanque cuando este se hace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.

Z 1 126 mm  2 2 h  63 mm.......... .......... .......... .......... ....(1)

h

Del gráfico se observa que la altura del punto O medido desde el fondo es

217


Física General II


r2  0,3134 m.......... .......... .......... .....( 3) Z 2  1,24 m.......... .......... .......... ........( 4) Por otro lado se puede calcular la altura Z1 medida a partir de S en la pared lateral del cilindro, esto es

 2 r12 5 2 0,45 2   2g 29,8 Z 1  2,55 m.......... .......... .......... .......... ...( 5)

Z1 

Finalmente la presión en el punto B esta dado por Solución

pB  paire   w (0, 26  2,55  69000  9800(2,81) pB  96538N / m2 .............................Rta.

Datos e incógnitas h  1,5m;..r  0,45 m;..hw  1,2m;.. p aire  69 kPa;

  150 RPM  5rad / s;.. p B  ?? .

Problema 58 Se llena con agua un tanque cilíndrico abierto de 1 m de diámetro y de 1,5 m de altura, y se le hace girar alrededor de su eje geométrico a 100 RPM. ¿Cuánto líquido se derrama?: ¿Cuáles son las presiones en el centro del fondo del tanque y en un punto en el fondo a 0,3 m del centro?. ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida por el agua sobre el fondo del tanque?.

En la figura se muestra el cilindro en rotación y el posible paraboloide de revolución.

Solución Datos e incógnitas.

d  1m;..h  1,5m;..Vderr.  ??;..p  ??;..F  ?? . En la figura se muestra la ubicación del fluido dentro del depósito cuando este está girando alrededor de su eje. Como no existe variación en el volumen de aire en el interior del tanque, se tiene

V sobreAA  V paraboloid e

 .r02 (h  hw )  12  .r22 Z 2

0,45 2 1,5  1,2  12  .r22 Z 2 .......... ......( 1)

Por otro lado de la ecuación del paraboloide de revolución se tiene. Z1 

 2 r22 2g



5 2 r22  29,8

Z 1  12 ,59 .r22 .......... .......... .......... .......... (2)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), resulta

El volumen de fluido derramado será igual al volumen del paraboloide de revolución, es decir

218


Física General II

V par .  12 Vcil .circuns.  V par . 

1 2

1 2


 R   Z  2

 0,5  Z .............................(1) 2

La altura Z se determina a partir de la ecuación del paraboloide de revolución ω  10  2   0,5  2R2  3  Z1   2g 29,8 Z 1  1,3987 m.......... .......... .......... .........( 2) 2





Remplazando la ec. (2) en (1)

V derr.





1  0,5 2 1,3987  2  0,55 m 3 .......... .......... .......... ... Rta.

V derr. 

La fuerza dF será

dF  pdA   w Z 2 .r.dr 

dF   w g ( 2 r 2 / 2 g )2 .r.dr .......... .....( 3)

La presión manométrica en el punto C será

p C   w 1,5  Z 

La fuerza resultante sobre la base se obtiene integrando la ecuación (3), esto es

 9800 (1,5  1,3987 ) p C  992 ,74 N / m.......... .......... .......... Rta.

F   2 La presión manométrica en el punto D 0,3 m sobre el fondo será



R

r 3 dr

0

4  10   R    1000      3   4  F  5383 N .......... .......... .......... ........ Rta. 2

pB   w 1, 5  Z1  z    2 rB2    w 1, 5  1, 3987   2g    10, 47 2 x0, 32   9800  0,1013   19, 6   pB  5928 N / m 2 Para determinar la fuerza sobre el fondo del depósito debido al fluido, se divide al área en elementos diferenciales de radio r y espesor dr tal como se muestra en la figura y se determina la fuerza sobre dicho elemento

219

Física General II



PROBLEMAS PROPUESTOS A) MANOMETRIA 1.

2.

3.

4.

5.

Para el tanque que se muestra en la figura, determine la lectura H del manómetro.

6.

Predecir la lectura del manómetro después de que se haya colocado sobre el platillo un peso de 1 N. Suponer que no hay fuerza de fricción ni fuga entre el émbolo y el cilindro.

7.

Calcular la lectura del manómetro

8.

Calcular la magnitud y la dirección de la lectura del manómetro cuando la válvula está abierta, los tanques son muy grandes en comparación con los tubos del manómetro.

9.

La indicación del manómetro es de 150 mm cuando el tanque está vacío (superficie del agua en A). Determine la lectura del manómetro cuando el tanque se llene con agua.

Determine la diferencia de presión entre la tubería de agua y la tubería aceite que se muestra en la figura.

La presión barométrica es de 758 mm de mercurio. Determine le valor de h.

Si el manómetro indica lo mostrado, determine p x.

Calcular px –py para el manómetro de tubo en U invertido mostrado en la figura.

220

Física General II



sobre el pistón. Si la presión atmosférica es de 95 kPa. Determine la presión del gas dentro del cilindro bajo estas condiciones. Rta: 123,4 kPa.

10. El manómetro de la figura se usa para medir la diferencia de los niveles de agua en los dos tanques. Calcule esta diferencia. 14. ¿Cuál es la presión manométrica dentro del tanque?.

11. ¿Cuál es la presión manométrica dentro del tanque A en la posición a?. 15. Con referencia a la figura, el punto A está 53 cm por debajo de la superficie libre del líquido, de densidad relativa 1,25, en el recipiente. ¿Cuál es la presión manométrica en A si el mercurio asciende 34,30 cm en el tubo?.

12. Encuentre la distancia d para el tubo en U.

16. El depósito mostrado en la figura contiene aceite de densidad relativa 0,75. Determine la lectura del manómetro.

13. Un gas es almacenado en un dispositivo cilíndrico provisto de un pistón carente de rozamiento como se muestra en la figura. El pistón tiene una masa de 4 kg y una sección transversal de 35 cm2 de área. Un resorte comprimido ejerce una fuerza de 60 N

17. Determine la presión del aire en el recipiente de la izquierda, si la cota del líquido manométrico en el tubo en A es 32,5 m

221

Física General II



21. La presión del agua que está fluyendo a través de la tubería es medida mediante la disposición mostrada. Para los valores dados. Determine la presión en el tubo

18. Los dos tanques de agua son conectados a través de un manómetro de mercurio mediante tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presiones entre los dos tanques es 20 kPa. Determine las cantidades a y 

22. El tubo mostrado en la figura se llena con petróleo (DR = 0,85). Determine la presión: (a) en A y (b) en B.

19. Los compartimientos B y C de la figura están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica es de 1020 kg/cm2. Cuando los manómetros A y D marcan las lecturas indicadas. ¿Qué valor tendrá x en el manómetro E de mercurio). Rta: 1,80 m

23. Para el tanque que se muestra en la figura, si H = 20 cm. Determine la lectura del medidor de presión. 20. Para el dispositivo mostrado en la figura determine las presiones en los puntos A, B, C, y D de la figura en el sistema internacional de unidades.

24. El aire en la parte superior del tanque de agua se ha presurizado y la presión es medida con un manómetro multifluido como se muestra en la figura. Determine la presión manométrica del aire en el tanque si h1 = 0,2 m, h2 = 0,3 my h3 = 0,46 m. las densidades del agua, aceite y mercurio son 1000 kg/m3, 850 kg/m3, y 13600 kg/m3, respectivamente

222

Física General II



28. El tubo manométrico contiene aceite (DR = 0,9) y agua, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presiones entre A y B es -5 kPa. Determine la diferencia de alturas h. 25. Determine la diferencia de presión entre los puntos A y B de la figura, si h = 20,3 pulg y el agua y el mercurio están a 500F.

29. Un tanque cilíndrico cerrado llenado con agua tiene un domo hemisférico y está conectado a un sistema de tuberías invertido como se muestra en la figura. Si el manómetro en A lee 60 kPa. Determine la presión en el tanque B y (b) la presión en el punto C del domo hemisférico

26. Una Tanque de gasolina está conectado a un manómetro de presión a través de un manómetro doble-U, como se muestra en la figura. Sila lectura del manómetro es de 370 kPa, determine la presión en el manómetro de la línea de la gasolina.

30. La diferencia en los niveles del manómetro de mercurio que se muestra en la figura, es de 15 mm. Determine la diferencia de presión entre los puntos A y B, a los cuales se le conecta el manómetro en la columna de agua. Los fluidos se encuentran a 100C.

27. Determine la presión manométrica en kPa del punto A, si el líquido A tiene una densidad relativa de 1,20 y el líquido B tiene una densidad relativa de 0,75. Considere que el líquido del entorno de a es agua y el tanque de la izquierda está abierto a la atmósfera.

223

Física General II


= 700 kg/m3 a una profundidad de 4 m, como se muestra en la Figura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y 2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentra en la partición. El agua se va añadiendo lentamente hacia el lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será el inicio para abrir la puerta?

B) SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS. 1.

2.

3.

4.


Una piscina contiene un líquido que tiene una densidad que varía linealmente desde 1000 kg/m3 en la superficie hasta 1600 kg/m3 a una profundidad de 4 m. Una compuerta cuadrada de 2 m por 2 m está articulada en su parte inferior y se mantiene en posición vertical gracias a la fuerza horizontal F aplicada en su borde superior. Determine: (a) la fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta (b) la fuerza F necesaria para mantener cerrada la compuerta y (c) la fuerza en la articulación.

5.

Una puerta rectangular que es de 2 m de ancho se encuentra en la pared vertical de un tanque que contiene agua como se muestra en la Figura. Se desea que la puerta se abra automáticamente cuando la profundidad del agua en la parte superior de la puerta llegue a los 10m. (a) ¿A qué distancia, d, si el eje horizontal sin rozamiento se encuentra? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en la puerta cuando se abra?

6.

La compuerta vertical accionada por resortes engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua salada (ρ = 1030 kg/m3) de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel) Determine la fuerza F que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a 1,8 m.

7.

Una compuerta rectangular de 3m de altura y 6 m de ancho (normal al plano del papel), se encuentra abisagrada en la parte superior A y es restringida por un borde fijo B. Determine la magnitud y

Un bloque cubico de madera largo esta articulado en su borde A como se muestra en la figura. Si el bloque esta en equilibrio cuando está sumergido en agua a la profundidad de 0,6 m. Determine la densidad de la madera.

El flujo de agua de un reservorio es controlado por una compuerta en forma de L de 5 pies de anchura, articulada en el punto A como se muestra en la figura. Si la compuerta se abre cuando el agua alcanza una altura de 12 pies. Determine el peso del bloque W requerido. Rta: W = 30900lb

Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado contiene la gasolina con una densidad deρ

224

Física General II


localización de la fuerza hidrostática sobre la compuerta.

8.


lo largo de su borde superior y se mantiene en posición por la fuerza P. Despreciando la fricción de la bisagra y el peso de la puerta. Determinar el valor requerido de la fuerza P.

Una compuerta semicircular de 10 pies de radio se encuentra articulada lo largo de su base B y mantenida en un plano vertical gracias a la acción de la fuerza FA en su extremo A. Si el líquido a la izquierda es agua. Determine la fuerza FA. 12. La presa mostrada en la figura tiene un contrafuerte AB cada 6 m. Determine la fuerza de compresión en el contrafuerte, despreciando el peso de la presa.

9.

Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Sid = 0.75 m, determine las reacciones en A y D.

13. La compuerta rígida OAB de 3 m de ancho normal al plano del papel mostrada en la figura, está abisagrada en O y reposa sobre un muro rígido en B. ¿Cuál será la mínima fuerza horizontal P que debe aplicarse para mantener cerrada la compuerta?. Desprecie el peso de la compuerta y el rozamiento en la bisagra. Rta. P = 436 kN

10. Conforme el agua asciende la compuerta rectangular se cierra automáticamente. Despreciando la masa de la compuerta. ¿A qué profundidad se cerrará la compuerta? Rta: D = 8,66 pies

14. El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal plano del papel fallará con un momento de 160 kN.m. Determine el máximo valor de la profundidad del líquido h. El peso específico del líquido es 10 kN/m3.

11. Una puerta rectangular con una anchura de 5 m se encuentra en el lado en declive de un tanque como se muestra en la Figura. La puerta está articulada a

225

Física General II



18. La compuerta de masa despreciable mostrada en la figura se encuentra en equilibrio gracias al contrapeso W. Determine el valor de W si el ancho de la compuerta es de 1m.

15. Una puerta rectangular de 4 pies de anchura, 8 pies de largo con un peso de 300 lb se mantiene en su lugar mediante un cable flexible horizontal como se muestra en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determine la tensión en el cable. Rta. T = 1350 lb

19. Calcule la fuerza P necesaria para mantener la compuerta rectangular de 3 m de anchura en la posición que se muestra en la figura si: (a) l = 2 m,(b)l = 5 m.

20. En la figura se muestra un tanque de agua dulce con fondo inclinado. La compuerta rectangular del fondo (normal al plano del dibujo), de 1,6 m por 0,8 m, se encuentra engoznada en A y se abre venciendo la presión del agua por acción de la tracción P del cable. Determine la magnitud de P. Rta: P = 12,57 kN

16. La compuerta de 6 pies de ancho se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante el par M. ¿Cuál es el valor de dicho par en O para mantener cerrada la compuerta?.

17. ¿Hasta qué altura h tendrá que subir el agua, en el lado derecho, para abrir la compuerta mostrada en la figura?. La compuerta tiene una sección triangular de 3 pies por 4 pies y un ancho de 5 pies y está hecha de un material de DR = 2,50.

21. Determine la fuerza P necesaria para mantener la puerta de 4 m de anchura en la posición que se muestra en la figura.

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Física General II


22. Para la compuerta que se muestra en a figura. Despreciando el peso de la compuerta. Calcule la altura H que hará que la compuerta se abra si: (a) l = 2 m; (b) l = 1 m.


cma lo largo del canjilón. Determine la tensión T que soporta cada torniquete.

27. Un túnel horizontal de 3m de diámetro se cierra por medio de una compuerta vertical. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total del agua sobre la compuerta, cuando el túnel está: (a) lleno hasta la mitad; (b) lleno hasta una cuarta parte y (c) lleno tres cuartas partes.

23. A qué altura H se abrirá la compuerta rígida, con una bisagra en su punto central, como se muestra en la figura, si h = 0,6 m

28. La tapa de la abertura de 20 cm por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B. 24. La compuerta rectangular mostrada en la figura tiene 1,2 m de ancho y un resorte se encarga de mantenerla cerrada. Cuando la compuerta está cerrada la fuerza de compresión sobre el resorte vale 15 kN. Determine el valor de H para el que la compuerta empieza a abrirse. Rta: H = 1,03 m

29. Una placa rectangular, mostrada de perfil en la figura, tiene una altura de 274 cm y una anchura de 244 cm (normal al papel) y separa depósitos de agua dulce y petróleo. El petróleo tiene una densidad relativa de0,85. determine la altura h que ha de alcanzar el agua para que sea nula le reacción en B. 25. Resuelva el problema (24) si el tanque contiene agua y aceite sin mezclar. El agua ocupa el volumen comprendido, entre el fondo del tanque y el punto medio de la compuerta, y el aceite (DR = 0,8) se extiende desde el agua hasta la superficie libre. 26. Las caras de un canjilón en forma de V para agua dulce, representado en sección, están articuladas por su intersección común que pasa por O y unidas por un cable y un torniquete colocados cada 183

30. Una placa rectangular uniforme AB, representada en sección, tiene una masa de 1600 kg y separa los

227

Física General II


dos cuerpos de agua dulce en un depósito que tiene una anchura de 3 m(normal al plano de la figura). Determine la tensión T del cable soportante.


La placa de al tanque es cerrado por una placa rectangular de 400 mm de anchura(normal al plano del papel). Determine la fuerza resultante R ejercida por el aceite sobre la placa y la localización x de la resultante. Rta: R = 1377 N, x = 323 mm.

34. Un disco circular A oprime una empaquetadura situada alrededor de la pestaña B y separa herméticamente el espacio de aire del espacio de agua en el paso circular de la conexión Determine para los niveles de superficie del agua que se indican, la presión media p que ejerce sobre la empaquetadura cuyos diámetros exterior e interior son 61 cm y 51 cm, respectivamente. La parte alta del depósito se encuentra abierto a la atmósfera.

31. Determine la fuerza resultante R que ejerce el agua dulce sobre la ventana triangular del depósito. El nivel de la superficie libre del agua coincide con el vértice superior de la ventana. Determine además la distancia H desde R al nivel de la superficie libre.

32. En la figura puede verse la sección de una compuerta ABD que cierra una abertura de 1,5 m de anchura en un canal de agua salada. Para el nivel del agua indicado. Determine la fuerza de compresión F del vástago del cilindro hidráulico que mantenga una fuerza de o de 3 kN por metro de anchura de compuerta a lo largo de la línea de o que pasa por A. La compuerta pesa 17 kN y su centro de gravedad está en G.

35. La compuerta rectangular de 200 kg y 5 m de ancho (normal al plano del dibujo, está articulada en B y apoyada en el piso en A formando un ángulo de 45° con la horizontal. Si para abrirla se requiere la aplicación de una fuerza F perpendicular y en el centro de la compuerta. Determine la magnitud de la fuerza F. Rta: 520 kN

36. En la figura se representa la sección transversal de una compuerta hidráulica. La masa de la compuerta es de 300 kg, y su centro de gravedad está ubicado

33. En la figura se muestra la sección vertical de un tanque con aceite cuya densidad es de 900 kg/m3.

228

Física General II



en el punto G. La compuerta cierra una abertura de 0,9 m de ancho y de 1,2 m de altura, y la densidad relativa del líquido de 0,88. Determine las reacciones en los puntos A y B de la compuerta. Rta: RA = 7,87 kN; RB = 9,01 kN

40. La compuerta de prevención de inundaciones de una represa se instala de tal forma que abre automáticamente cuando el nivel del agua llega a 18 m a partir del fondo como se ve en la figura. El fondo del canal de desagüe se encuentra a 1,5 m sobre el fondo de la represa. Calcule la distancia d que localiza el eje de rotación de la articulación de la compuerta de seguridad. Rta: d = 1,45 m 37. Un canal de agua dulce de 3 m de anchura (normal al plano del papel) está cerrado en un extremo por una barrera rectangular, cuya sección ABD se muestra. Cada 0,6 m a lo largo de los 3 m de anchura se colocan puntales. Determine C en los puntales. Desprecie el peso de los . Rta: 2,354 kN

41. Una compuerta de forma prismática instalada al final de un canal de agua dulce está sujeta a una articulación A y descansa sobre un soporte liso B. El pasador de la articulación está situado a una distancia h = 0,10 mpor debajo del centro de gravedad de C de la compuerta. Determine para que altura del agua se abrirá la compuerta. Rta: d = 0,683 m

38. Una presa lacustre está diseñada para soportar la fuerza adicional debida al cieno sedimentado en el fondo. Suponiendo que el cieno sea equivalente a u líquido de DR = 1,76 y considerando un tramo de la presa de un mero de anchura. Determine el incremento porcentual en la fuerza actuante sobre el frente de la presa para una acumulación de cieno de 2 m de profundidad.

42. Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza a una distancia de h = 4 pulg. por abajo del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la cual se abrirá la compuerta.

39. Determinar el momento M que hay que aplicar a O para mantener la compuerta de 1,8 m de anchura normal al papel. Considere que el líquido en el manómetro tiene una densidad relativa (S= 5).

229

Física General II



mperpendicular al plano del papel. Para una altura de agua h = 3 m, calcule la presión p del aceite actuante sobre el pistón de 150 mm del cilindro hidráulico. Resp: p =7,49 MPa.

43. La compuerta de 1000 lb de peso y de 4 x 2 pies está articulada en A y se mantiene en posición mediante la barra CD. El extremo D se apoya contra un resorte de constante k = 828 lb/pie y que se encuentra sin deformar cuando la compuerta está en posición vertical. Asumiendo que la fuerza ejercida por la barra CD sobre la compuerta se mantiene siempre horizontal. Determine la mínima profundidad d del agua para el cual el extremo B de la compuerta hasta el extremo de la porción cilíndrica del piso.

47. La compuerta rectangular de a figura tiene 3 m de ancho normal al plano del papel y está engoznada en su borde superior B. compuerta divide en dos un canal que conduce a un lago de agua dulce por la izquierda y a un dique de marea de agua de mar por la derecha. Determine el momento M que es necesario aplicar en el punto B de la compuerta para que esta nos e abra cuando el nivel del agua salada descienda a H = 1m. La densidad relativa del agua de mar es 1,25. Rta: M = 195,2 kN.m

44. La compuerta cuadrada AB se mantiene en la posición indicada mediante bisagras a lo largo de su borde superior A y un pasador de seguridad en B. Para una altura de aguad = 1,05 m. Determine la fuerza que el pasador ejerce sobre la compuerta.

48. Una placa plana triangular de dase b = 2 m y altura a = 3,5 m cierra una abertura existente en la pared vertical del depósito que contiene agua a 20°C. Si b = 3,5 m y la placa está articulada en el borde superior O del triángulo. Determine la fuerza P requerida para cerrar la compuerta venciendo la presión del líquido.

45. Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta.

46. Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que cierra la compuerta vertical venciendo la presión del agua dulce represada al otro lado. La compuerta es rectangular con una anchura de 2

49. En la figura se representa la sección normal de una compuerta rectangular de dimensiones 4mx6m que cierra el paso de un canal de agua dulce. La masa

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Física General II


de la compuerta es de 8,5 Mg y está engoznada en un eje horizontal que pasa por C. Determine la fuerza vertical P ejercida por la cimentación sobre el borde inferior A de la compuerta. Resp. P = 348 kN


53. Encuentre la fuerza resultante causada por todos los fluidos que actúan sobre la compuerta. La densidad relativa del aceite es 0,80.

54. ¿Qué altura h del agua hará que gire la compuerta en sentido horario?. La compuerta tiene 3 m de ancho. Desprecie la fricción y el peso de la compuerta.

50. Una placa se sumerge verticalmente en agua. ¿Cuál es el radio r de un orificio que debe cortarse del centro de ABCD para que la fuerza hidrostática sobre la superficie ABCD sea igual a la fuerza hidrostática sobre la superficie CDE?. ¿Cuál es el momento de la fuerza total respecto de AB?. Desprecie la presión atmosférica.

55. La compuerta AB de 1,75 pies de anchura se mantiene se mantiene en la posición cerrada mediante un cable vertical y una bisagra localizada a lo largo del extremo superior B. Para una profundidad de agua d = 6 pies. Determine la tensión mínima requerida en el cable AC para prevenir la apertura de la compuerta.

51. Una placa rectangular ABC puede rotar alrededor del pasador B. ¿Qué longitud l debe tener BC, para que el momento respecto de B causado por el agua y por el peso de la placa sea nula?. Suponga que el peso es de 1000 N/m por unidad de longitud. El ancho de la compuerta es de 1 m.

56. Calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el extremo del tanque cilíndrico de la figura. 52. La placa ABCD tiene 2 m de anchura y está sujeta por goznes en A: Determine las reacciones en A y D para el nivel del agua mostrado en la figura.

57. En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única resultante que actúa sobre la compuerta Ģ

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Física General II


provocada por la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho de la compuerta es 5 my la densidad del agua es 1 g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.


61. En un canal de agua dulce, de 1,5 mde ancho, se construye un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.

58. Usando el método de las componentes. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la cara de corriente arriba de una sección de este dique de 1 m de ancho. ¿Cuál es el momento de esta fuerza con respecto al punto O?.

62. La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 6 piesde ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B.

59. EL depósito de la figura mide 50 cm en dirección perpendicular al plano del papel. Determine: (a) la fuerza y el centro de presiones en la pared del fondo BC y (b) la fuerza y el centro de presiones en la pared lateral AB. Desprecie la presión atmosférica.

63. La válvula de hierro fundido obtura el tubo de desagüe de un tanque de agua dulce abierto lleno hasta una profundidad de 7,2 m. Determine la tensión T necesaria para separar la válvula de su asiento cónico. Cuando la válvula se mueve en el tubo de desagüe y en la superficie del asiento reina la presión atmosférica. Desprecie la fricción entre la válvula y la superficie donde se asienta.

60. Una compuerta plana de espesor delgada permite mantener el cuerpo de agua como se muestra en la figura. Determine el peso mínimo de la compuerta para que ésta se mantenga cerrada. Rta: W = 68 kN

64. Una compuerta rectangular uniforme de peso W, altura r y longitud b es sostenida por goznes en A. Si e peso específico del fluido es γ , determine el ángulo θ requerido si la compuerta debe permitir flujo cuando d = r. Rta: tgθ = 2γR2b/3W

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Física General II



la izquierda para que la compuerta comience a abrirse. Rta h = 4,41 pies

65. La compuerta mostrada en la figura tiene 3 m de anchura (normal al plano del dibujo). Si es mantenida en la posición gracias al bloque de 2500 kg y al cuerpo de agua de una profundidad d. Determine la profundidad de agua d para el equilibrio. Rta: d = 2,66 m 69. Una placa de acero es utilizada como compuerta para almacenar agua de un tanque. Determine la magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza hidrostática sobre la compuerta cuándo: (a) la compuerta es circular y (b) la compuerta es de forma elíptica. Rta: (a) 883,4 kN; (b) 41,7 kN 66. El tanque mostrado en la figura es llenado completamente con un fluido cuyo peso específico es de 80 lb/pie3. Determine la fuerza hidrostática sobre: (a) la cara ABDC y (b) la cara BDFE.

70. Si L = 2 m. Determine la fuerza que la compuerta ABC ejerce sobre tope en C. La compuerta está articulada en B, libre en A y tiene 1 m de ancho normal al plano del dibujo. La densidad del agua es 1000 kg/m3. Rta. NC = 13,1 kN

67. Un tanque es llenado completamente con un líquido cuyo peso específico es 60 lb/pie3. Determine la fuerza hidrostática sobre: (a) la cara CDEF y (b) la cara ABDC.

71. La compuerta cuya sección transversal es mostrada en la figura tiene un ancho normal al plano del dibujo de 4 pies y se encuentra articulada en C. Si la compuerta tiene un peso de 18 kips y su centro de masa se encuentra a 1,67 pies hacia la derecha del plano BC. Determine la reacción vertical en A sobre la compuerta cuando el nivel del agua se

68. La compuerta AB mide 7 pies en dirección perpendicular al papel y pesa 3000 lb cuando está sumergida. Está abisagrada en B y apoyada en A sobre una pared lisa. Determine el nivel hde agua a

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Física General II


encuentra a 3 piesde su base. Considere que todas las superficies de o son lisas.


74. La compuerta ABC de 500 lb de peso, cierra un orificio rectangular de 4m de alto por 5 m de anchura normal al plano del dibujo de un canal de agua dulce. Si el peso de la compuerta se ubica a 1 pie a la izquierda de AC y a 2 pies sobre BC. Determine la reacción en la bisagra en A. Rta: RA = 6330 lb

72. Determine la masa del contrapeso A si la compuerta de 1 m de ancho se encuentra a punto de abrirse cuando el agua alcanza el nivel mostrado en la figura. La compuerta esta articulada en B y apoyada en la pared lisa C. Rta: m = 5,89 Mg

75. La compuerta mostrada en la figura se encuentra articulada en H. Si la compuerta tiene una anchura de 3 m (normal al plano del dibujo). Determine la fuerza F aplicada en el extremo A, para mantenerla cerrada. Rta: 111 kN

73. Cuando el nivel del agua de mar alcanza los 0,6 m indicados en la figura, dentro de la cámara hemisférica la válvula se alza y deja pasar una descarga de agua de mar al tubo vertical. Para ese nivel de fluido. Determine: (a) la presión media σ que soporta la superficie de cierre de la válvula antes de que actúe la fuerza que alza la válvula y (b) la fuerza P (adicional a la necesaria para igualar al peso) requerida para elevar la válvula. Asuma que reina la presión atmosférica en todos los espacios de aire y en la superficie del plato cuando cesa el o bajo la acción de P. Rta: σ = 10,74 kPa; P = 1,687 kN.

C) SUPERFICIES CURVAS.

234

1.

La compuerta AB mostrada en la figura es un cuarto de círculo de 10 m de radio y de ancho 20 m. Determine: (a) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la componente horizontal hidrostática ejercida sobre la compuerta y (b) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza hidrostática sobre la compuerta.

2.

La compuerta AB mostrada en la figura es un cuarto de círculo de 0,5 m de radio y de ancho 3 m. Determine: (a) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la componente horizontal hidrostática ejercida por el petróleo (sg = 0,850) sobre la compuerta y (b) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza hidrostática sobre la

Física General II


compuerta, (c) La magnitud y dirección de la fuerza resultante

3.

4.

5.

Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática que se ejerce sobre la pared semicilíndrica del fondo del depósito de agua mostrado en la figura. Rta: FH = 705 kN; FV = 638 kN

La compuerta cuarto circular de 2 m de longitud mostrada en la figura se encuentra articulada en la parte inferior. Determine: (a) la fuerza horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la reacción en la articulación y (c) la fuerza P necesaria para mantener la compuerta en dicha posición


6.

La botella de champaña (DR = 0,96) mostrado en la figura está bajo presión como muestra el manómetro de mercurio. Determine la fuerza total que se ejerce sobre el fondo semiesférico de la botella. Rta: F = 25,8 lb

7.

La compuerta cilíndrica con un radio de curvatura 2m y 8 m de longitud retiene un cuerpo de agua con una capa de aceite flotando en su superficie. Determine la fuerza ejercida por el perno de la conexión A sobre la compuerta.

8.

El agujero de 0,3 m de diámetro que hay en el fondo del depósito que contiene petróleo (sg = 0,85) de la figura está cerrado con un tapón cónico de 45ö, de peso despreciable. Determine la fuerza F necesaria para mantener cerrado el depósito.

9.

La cúpula semiesférica mostrada en la figura pesa 30 kN, está llena de agua y sujeta al suelo por medio de seis tornillos igualmente espaciados. Determine la fuerza que soporta cada tornillo. Rta: Fperno = 90,7 kN

La compuerta AB tiene la forma de cuarto de circunferencia, mide 10 pies de anchura y está abisagrada en B. Determine la fuerza F necesaria para impedir su apertura. Desprecie el peso de la compuerta. Rta: F = 7480 lb

235

Física General II



14. Hallar las componentes vertical y horizontal, valor y punto de aplicación, sobre la compuerta de la figura cuyo perfil responde a la ecuación de una parábola y una longitud perpendicular al papel de dos metros. El líquido que retiene la compuerta tiene un peso especifico de 9000 N/m3.

10. El cilindro de 0,5 m de radio mostrado en la figura tiene una longitud de 3 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el agua sobre el cilindro.

15. La compuerta mostrada en la figura tiene 1,5 m de anchura (normal al plano del dibujo), está articulada en O. Sabiendo que a = 1,0 m-2, D =1,2 m y h = 1,40 m. Determine, (a) la magnitud y el momento de la fuerza vertical con respecto a O y (b) la fuerza que aplicada en A ayudaría a mantener a la compuerta en dicha posición. Rta: FV = 7,62 kN; FA = 5,71 kN

11. El tronco de madera (DR = 0,8), tiene 10 pies de largo, represa el agua en la forma en que indica la figura. Determine las reacciones vertical y horizontal en el punto C. Rta: Cx = 2996 lb; Cy = 313lb 16. El túnel bajo el agua en un centro acuático es fabricado de un material transparente hecho a base de policarbonato y tiene la forma de una parábola. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática por unidad de longitud que actúa sobre sobre la superficie AB del túnel. La densidad del agua es 1000 kg/m3. Rta: F = 170 kN

12. El cilindro de 1 m de radio mostrado en la figura tiene una longitud de 5 m y descansa en equilibrio estático contra una pared lisa en el punto B. Determine: (a) el peso del cilindro, (b) la densidad del cilindro. Desprecie el rozamiento en la pared.

13. El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa 2450 daN y tiene una longitud de 1.5 m., normal al dibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgf despreciando rozamientos.

17. La compuerta Tainter tiene forma de arco de círculo de 2 m radio de curvatura y 6 m de largo y es utilizada para retener el agua dulce que tiene 2 m de profundidad. Si la masa de la compuerta es de 1000 kg y su centro de gravedad se encuentra ubicado en la posición indicada en la figura y despreciando la fricción en los puntos de o de la compuerta con el fondo del depósito.

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Determine: (a) la magnitud y dirección de la componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre la compuerta, (b) la magnitud y dirección de la componente vertical de la fuerza hidrostática, (c) la magnitud y dirección de la fuerza hidrostática resultante y (c) La fuerza de reacción en la bisagra


21. La compuerta BC en forma de arco circular que subtiene un ángulo de 60° tiene 4 m de anchura (normal al plano del papel, es utilizada para almacenar el cuerpo de agua mostrado en la figura. Determine: (a) la magnitud, dirección y punto de aplicación de la componente horizontal de la fuerza hidrostática que el agua ejerce sobre la compuerta y (b) la magnitud y dirección de la fuerza hidrostática vertical. Rta: FH = 335,6 kN; FV = 161,86 kN

18. Calcular la fuerza P necesaria para mantener el cuerpo cilíndrico de 10 m de largo en la posición que se muestra en la figura.

22. Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la compuerta cuarto circular de 4 m de anchura normal al plano del papel, si H = 6 m y R = 2 m. Rta: P = 583,6 kN

19. Calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la pared semiesférica de radio R = 600 mmdel fondo del depósito mostrado en la figura. 23. ¿Qué fuerza P se requiere para mantener cerrada la compuerta de 4 m de anchura normal al papel que se muestra en la figura?.

20. Una tubería de conducción de agua de 3 pies de radio se llena hasta el nivel que se indica en la figura. Determine el módulo de la fuerza resultante R que ejerce el petróleo sobre una longitud de 10 pies de la sección curva BC de la tubería y localizar la recta soporte de la resultante

24. La compuerta cilíndrica de cuarto de círculo (DR = 0,2) de la figura está en equilibrio como se muestra. Calcule el valor del peso específico del fluido que se encuentra en el lado derecho γx. Rta: 4930 N/m3.

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25. Un cilindro circular de radio R = 50 mm, longitud b = 100mm y densidad ρ = 800 kg/m3, cierra una compuerta en el fondo de un tanque de agua como se muestra en la figura. La línea que une el centro del cilindro y los puntos de o del cilindro con la compuerta subtiene un ángulo de 30° con la vertical. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el tanque sobre el cilindro?.


29. Una tubería de conducción de agua de 4 m de diámetro se llena hasta el nivel que se indica en la figura. Determine el módulo de la fuerza resultante R que ejerce el agua sobre una longitud de 2 m de la sección curva AB de la tubería y localizar la recta soporte de la resultante. Rta: F = 100234 N; θ = 54°

30. Calcular la fuerza vertical ejercida por el líquido sobre la cúpula semicilíndrica mostrada en la figura, si su radio esR = 0,3 my su longitud normal al plano del dibujo es L = 2 m

26. Calcular la fuerza necesaria P para mantener la compuerta parabólica de 4 m de anchura (normal al plano del dibujo), mostrada en la figura en equilibrio, sabiendo que H = 4 m

31. Un tronco está en equilibrio como se muestra en la figura. Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite sobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre el tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre el tronco y (d) El peso específico relativo del tronco si su longitud es de 4m m y R = 0,6 m.

27. Una esfera de radio R = 300 mm y masa m =50 kg cierra un orificio de 300 mm de diámetro en el fondo de un tanque como se muestra en la figura. Determine la fuerza F necesaria para sacar la esfera del orificio

28. La compuerta de 3 m de anchura que se muestra en la figura pesa 400 N y su centro de gravedad está a 0,9 m a la izquierda de la bisagra. Estime la fuerza P necesaria para abrir la compuerta. Rta: 112,3 N

32. Calcular la fuerza vertical ejercida por el líquido sobre esta cúpula semiesférica de radio R = 0,6 m.

33. Un cilindro sólido largo de 2 m de radio articulado en el punto A es utilizado como compuerta automática, como se muestra en la figura. Cuando

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el nivel del agua alcanza 15 pies, la compuerta cilíndrica se abre rotando alrededor de la bisagra en A. Determine: (a) la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando la compuerta se abre y (c) el peso del cilindro por unidad de longitud del mismo. Rta: FR = 2521 lb; W/l = 1817 lb

la esfera decrece al disminuir la presión. Determine la altura h para la cual son iguales T y el peso de la esfera. Resp. h = 0,233 m

34. Calcular la fuerza sobre la soldadura que se muestra en la figura si: (a) El hemisferio está lleno de aire, (b) El aire del hemisferio se remplaza por aceite.

37. Una presa arqueada tiene la cara que recibe el agua de forma cilíndrica de 240 m de radio y subtiene un ángulo de 60o. Si el agua tiene una profundidad de 90 m. determine la fuerza total ejercida por el agua sobre la presa.

38. Esta compuerta segmental está pivotada en O y tiene 10 m de longitud. Determine la magnitud de las componentes de la fuerza horizontal y vertical sobre la compuerta. El pivote se encuentra al mismo nivel que el de la superficie del agua.

35. El costado correspondiente al agua de una presa de hormigón tiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posición b del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante del agua contra el frente C de la presa. Rta: b = 28,1 m

39. Si se añade el voladizo ABCD de concreto sólido (24 kN/m3) al dique. ¿Qué fuerza adicional en magnitud y dirección se ejercerá sobre éste dique?.

36. La esfera se emplea como válvula para cerrar el orificio del tanque de agua dulce. A medida que h disminuye, decrece la tracción T requerida para abrir la válvula puesto que la fuerza descendente de

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40. Calcular la magnitud y la dirección de la fuerza resultante del agua sobre el tapón cónico sólido mostrado en la figura. Rta F = 18,9 kN; θ = 27,5°

44. El cilindro mostrado en la figura tiene 3 m de longitud. Si se supone que en A el ajuste no deja pasar el agua y que el cilindro no puede girar. ¿Qué peso debe de tener el cilindro para impedir su movimiento hacia arriba? Rta: 5490 kg-f

41. La compuerta cuartocircular AB mostrada en sección, tiene una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel) y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. La compuerta tiene un peso total de 30840 N y está articulada por su borde superior A. Determine la fuerza mínima P necesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie el grosor frente a su radio de 275 cm. Rta: P = 48164 N.

45. La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto de aplicación y el momento que crean en el punto O.

42. Una compuerta cuarto circular de 3 m de radio y 4 m de anchura (normal al plano del dibujo) de peso despreciable se encuentra abisagrada en el punto A, como se muestra en la figura. La compuerta controla el flujo de agua sobre el borde B, donde la compuerta es comprimida por un resorte. Determine la mínima fuerza requerida en resorte para mantener la compuerta cerrada cuando el nivel del agua alcanza el punto A sobre la compuerta. Rta: F = 177.7 kN

46. Calcular el valor de H para cual la válvula de cono empezará a permitir la fugade agua.

43. El depósito cuya sección recta se muestra en la figura, tiene 2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en su posición, despreciando el peso del mismo.

47. Un taque se encuentra dividido en dos cámaras independientes. La presión del aire actúa en ambas secciones. Un manómetro mide la diferencia entre éstas presiones. Una esfera de madera (DR = 0,60) se coloca en la pared tal como se muestra.

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Determine: (a) La fuerza vertical sobre la esfera, (b) la magnitud (solamente) de la fuerza horizontal resultante causada por los fluidos. Rta: (a) 332,5 N; (b) 11749,6N


se extiende por igual en el agua por encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos sobre la esfera?.

51. Calcular la magnitud y la localización de las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el agua sobre la superficie curva ABC 48. Existen cuatro compartimentos completamente separados unos de otros. Un cuarto de esfera reside en cada uno de éstos compartimientos tal como se muestra. Encuentre: (a) La fuerza vertical total causada por los fluidos, (b) La fuerza horizontal total causada por los fluidos.

52. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática por metro de longitud sobre la compuesta de forma parabólica mostrada en la figura. Rta. 2024lb

53. Un tanque se encuentra herméticamente dividido por la placa AB en dos compartimientos. Un cilindro de 0,3 m de diámetro sobresale por encima y por debajo del sello AB y se encuentra soldado a éste. ¿Cuál es la fuerza vertical sobre el cilindro?.

49. Qué diferencia de presión p1 – p2 se requiere para abrir la válvula de bola si el resorte ejerce una fuerza de 400 N? La bola tiene 50 mmde diámetro, en tanto que el agujero en el cual descansa tiene 30 mm. Desprecie el peso de la bola de acero. Rta: p1 - p2 = 566 kPa

50. En la figura se muestra un tanque que se encuentra herméticamente dividido en dos partes que contienen agua y aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa como partición EC y

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54. Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene 8 mde profundidad. Determine la fuerza hidrostática resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho


sobre la compuerta y (c) La fuerza F requerida para abrir la compuerta.

58. La compuerta AB mostrada en la figura es utilizada para retener agua de mar (γ = 10050 N/m3) tiene la forma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, está articulada en B y se apoya en A. Determine las fuerza de reacción en A y B. Rta: FA = 142 kN; RB = 170,65 kN 55. Calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por el agua sobre las tres cuartas partes del cilindro de 0,6 m de radio y de 3 m de longitud normal al plano del papel.

59. En la figura se muestra un depósito abierto de gasolina cuya densidad relativa es 0,72 que tiene una anchura de 4 m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que la gasolina ejerce sobre la superficie curva; (b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre la superficie curva

56. La compuerta de 2 m de ancho normal al plano del papel retiene un líquido cuyo peso específico es = 9000 N/m3 tal como se muestra en la figura. Determine: (a) la fuerza horizontal así como su punto de aplicación; (b) la fuerza vertical ejercida por el fluido si como su punto de aplicación y (c) el momento M requerido para mantenerla compuerta en dicha posición. Desprecie el peso de la compuerta. Rta: M = 33600 m.N

60. En la compuerta de la figura que posee una anchura perpendicular al papel de 1m. Calcular la resultante y línea de aplicación de las fuerzas horizontales y verticales y el momento que crean en el punto 0.

57. La compuerta cuarto circular de 2 m de radio y 500 N de peso se encuentra articulada en O. Determine: (a) la fuerza horizontal ejercida por el agua; (b) la fuerza vertical ejercida por el agua

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concreto. Considere que la densidad del agua de mar es 1028 kg/m3

64. La compuerta OBC controla un vertedero de una presa, tiene un radio de 8 m y una anchura de 10 m, su masa es de 10 toneladas y su eje de giro pasa por O. Su centro de masa coincida con el punto A y la distancia OA = 5 m. Para abrir la compuerta se utiliza un cilindro hidráulico articulado en X. Determine: (a) las fuerzas horizontal y vertical que el agua ejerce sobre la compuerta, (b) la fuerza que el cilíndrico hidráulico ejerce para producir la apertura de la compuerta y (c)

61. El agua fresca de un canal es retenida por una compuerta cilíndrica de radio r = 1,5 m y una anchura a = 2 m normal al plano del papel. La compuerta es soportada por un pasador en B y un cable AC. Despreciando el peso de la compuerta. Determine: (a) la fuerza soportada por el cable y (b) la reacción en B.

62. La compuerta de concreto (SG = 2,4) AB mostrada en la figura está articulada en A y sellada en B. Si la compuerta es en la forma de cuarto de cilindro de radio R = 3 m, con una anchura de 3 m (normal al plano del dibujo) y la base de la compuerta se encuentra a 4,5 m debajo de la superficie libre del agua. Determine: (a) la magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza resultante debido al agua, (b) la magnitud, dirección y puto de aplicación de la fuerza vertical debido al agua sobre la compuerta y (c) la fuerza de reacción en el soporte B. Rta: FB = 278 KN

65. La compuerta homogénea mostrada en la figura consiste en un cuarto de cilindro circular de 1 m de radio y es utilizada para mantener el agua a una profundidad de 4 m. Es decir, cuando la profundidad del agua excede los 4 m la compuerta se abre lentamente y por su base comienza a fluir el agua. Determine el peso de la compuerta por unidad de longitud. Rta: 64,4 kN

63. Determine la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza (por unidad de longitud) ejercida por el agua sobre el muro de

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66. La compuerta Tainter es utilizad para controlar el flujo de agua de un rio. Si la compuerta tien una anchura de 35 m (normal al plano del dibujo, determine la magnitud, dirección y la línea de acción de la fuerza que el agua ejerce sobre la compuerta. Rta: FR = 18,24 MN; α = 19,9°.

70. El cilindro está lleno de un líquido, tal como se muestra en la figura. Determine: (a) la componente horizontal de la fuerza sobre AB por metro de longitud así como su línea de acción, y (b) la componente vertical de la fuerza sobre AB por metro de longitud, y su línea de acción.

67. El tapón cónico cierra un orificio circular en la base del tanque presurizado como se muestra en la figura. La presión del aire en el tanque es de 50 kPa y el líquido en el depósito tiene un peso específico de 27 kN/m3. Determine la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza sobre el cono ejercida por los fluidos dentro del tanque. Rta: FR = 117 kN

D) FLOTACIÓN 1.

Una pieza de forma irregular hecha de un material sólido pesa8,5 lb en el aire y pesa 5,26 lb cuando se encuentra completamente sumergido en agua. Determine la densidad del material. Rta: 5,60 slug/pie3.

2.

Un cilindro de masa M y 1 m de diámetro es conectado a una compuerta de 2 m de anchura (normal al plano del dibujo) como se muestra en la figura. La compuerta se abre cuando el nivel del agua h es inferior a los 2,5 m. Despreciando el peso de la polea y el rozamiento. Determine la masa que se requiere para el cilindro. Rta: M = 2480 kg

3.

Una baliza de canal consta de un cilindro de un cilindro y de un cono que tiene las dimensiones mostradas en la figura y tiene una masa total de 285 kg. Determine la altura h sobre la superficie del agua de la boya cuando ésta flota en agua salada cuya densidad es de 1030 kg/m3. Suponga que la boya está lastrada de tal manera que se mantenga en posición vertical. Rta. 1,121 m

68. Un tapón cónico es colocado en uno de los lados de un tanque como se muestra en la figura. (a) muestre que la componente horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el tapón es independiente de h. (b) para la profundidad indicada ¿Cuál es la magnitud de esta componente? Rta: 735 lb

69. Un túnel de 30 m de diámetro es construido bajo el agua a una profundidad de 150 pies en un lago de 180 m de longitud como se muestra en la figura. Determine la fuerza hidrostática neta sobre la superficie cilíndrica del túnel.

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4.

La cáscara de acero semicilíndrica con los extremos cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa mdel lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara para que ésta sobresalga del agua la mitad de su radio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700 kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg /m3.

5.

Un bloque rectangular flota de densidad ρ1 flota en un líquido de densidad ρ2 como se muestra en la figura. Determine la razón r =h/c, donde h es la profundidad sumergida del bloque. Evalué el valor de r cuando el bloque es de madera flotando en agua fresca y para el caso de un bloque de acero flotando en mercurio.

6.

Una compuerta rígida en forma de L articulada en uno de sus extremos, es colocada entre dos particiones en un tanque abierto que contiene agua como se muestra en la figura. Un bloque de concreto (γ = 150 lb/pie3) es colocado en el centro de la porción horizontal de la compuerta. Determine el volumen del bloque que se requiere para que la reacción en la articulación en A sea cero. Cuando la profundidad del agua es de 2 pies sobre la articulación. Considere despreciable el peso de la compuerta y que la anchura de la compuerta es de 2 pies.

245


7.

En la figura mostrada, la esfera boyante de radio R abre la compuerta cuadrada AB cuando el agua alcanza el punto medio de la esfera. Determine: (a) la fuerza hidrostática sobre la compuerta, (b) el radio R de la esfera boyante necesaria para abrir la compuerta y (c) La reacción en la articulación A. Desprecie el peso de la esfera y de la compuerta.

8.

El cilindro de hormigón macizo de 2,4 m de longitud y 1,6 m de diámetro cuelga del cable que pasa por la polea fija A en posición semisumergida en agua dulce. Determine la tensión T del cable. El cilindroestá impermeabilizado por un recubrimiento plástico. Considere que 𝜌𝐻𝑜𝑟 = 2400 𝑘𝑔/𝑚3 . Rta: T = 89,9 kN

9.

El tablón de 3 m, cuya sección se representa en la figura, tiene una densidad relativa de 0,8 y está engoznada al torno por el eje horizontal a lo largo de su borde superior O. Determine el ángulo que forma con la horizontal para el nivel del agua indicado. Rta: θ =48,2°

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13. Las dimensiones del bloque homogéneo A de a figura son 1,5 m por 1,8 m por 3 m de longitud y tiene una densidad relativa de 0,4. El bloque B es de concreto con una densidad relativa de 2,4 y se fija al cuerpo A en una posición tal que el sistema está en equilibrio en la configuración mostrada. Determine: (a) El volumen del bloque B y (b) la distancia x. Rta: (a) V = 0,2893 m3. 10. El cuerpo A de la figura es un prisma triangular homogéneo de densidad relativa 0,64. El cuerpo B de 0,108 m3 y densidad relativa 2,4 se suspende de A como se muestra en la figura. Determine la profundidad de inmersión h del cuerpo A después que se alcanza la posición de equilibrio.

14. Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones de 0,075 m fijos a un madero de 3 mde longitud y 0,3 mpor 0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y 0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flota en agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150 kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flote nivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa y la superficie del agua. Rta (a) 0,98m a la derecha del centro, (b) 99,4 mm

11. El cilindro flotante de la figura tiene una longitud de 1,2 m y su masa es de 530 kg. El centro de masa del cilindro está ubicado en el puno G y el cable fijo en O mantiene al cilindro sumergido completamente. El cuerpo W tiene una masa de 225 kg y su volumen es 0,027 m3, y lo sostiene un cable enrollado en el cilindro. Determine el valor de ángulo  cuando el sistema se encuentra en equilibrio.

15. ¿Cuál es el peso mínimo requerido para que este cono sólido permanezca en la posición mostrad en la figura. 12. El objeto macizo flotante se compone de un hemisferio y un cono de igual radio r hecho del mismo material homogéneo. Si el objeto flota con el centro del hemisferio por encima de la superficie libre del agua, determine la máxima altura que puede tener el cono antes de que e objeto deje de flotar en la posición erecta ilustrada.

16. Una esfera maciza homogénea de densidad e se apoya sobre el fondo de un depósito que contiene un líquido de densidad l que es mayor que e. Al llenar el depósito, se alcanza una altura de líquido

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ha la cual la esfera empieza a flotar. Determine la razón entre las densidades de la esfera y el líquido.

22. El tronco cilíndrico de madera mostrado tiene una longitud de 5 m y un diámetro D de 8 cm y se encuentra unido al fondo de un tanque mediante una cuerda, como se muestra en la figura. (a) Determine la tensión en la cuerda, (b) ¿Cuál es la densidad relativa del material del cual está hecho el tronco?. (c) ¿Es posible determinar el ángulo de inclinación del tronco, θ?. Explique por qué.

17. Calcular el peso requerido en este objeto para que el mismo flote en la interfaz agua y tetracloruro de carbono como se muestra en la figura.

18. La esfera mostrada en la figura tiene un diámetro d y peso despreciable y se encuentra en equilibrio en la posición observada. Determine el valor de d en función de las cantidades que se indican 23. El objeto de madera mostrado en la figura tiene la forma de un semicilindro homogéneo y tiene 3, 6 m de largo y flota en una superficie de agua. ¿Qué momento M se requiere para mover el punto A de manera que coincida con la superficie del agua. 19. Se construye un objeto de un material más ligero que el agua; pesa 50 N en el aire y se requiere una fuerza de 10 N para mantenerlo debajo del agua. Determine la densidad y el peso específico del objeto. 20. El cilindro homogéneo descansa en la posición (a) indicada, siendo las áreas ABC y ADC exactamente iguales. Determine la fuerza requerida para mantenerlo en la posición (b).

24. El cuerpo flotante macizo está compuesto de una semiesfera y un cilindro de revolución de radios iguales a r. Si el objeto flota con el centro del hemisferio por encima de la superficie del agua. Determine la altura máxima h que puede tener el cilindro para flotar en la posición representada en la figura.

21. La viga pesa 670 N, determine el ángulo de inclinación cuando la superficie del agua se encuentra a 2,1 m sobre el pivote. ¿Arriba de que profundidad permanecerá la viga verticalmente?.

25. La baliza consiste en un cilindro cerrado de acero que pesa 8160 N. está sujeta a una boya estabilizadora sumergida constituida por dos

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cáscaras cónicas soldadas que forman una unidad cerrada que pesa 9980 N. determine la tensión T del cable inferior que mantiene las dos boyas en agua dulce en las posiciones indicadas.


28. El tapón y el cilindro vacío que se muestra en la figura pesan 6 kN. Determine la altura hnecesaria para levantar el tapón, si el radio del cilindro es 30 cm y su longitud es 4 m.

29. La boya tipo mástil de 2 pul por 2 pul por 12 pies de la figura tiene un lastre de 5 lb de acero y ha encallado en una roca, como se muestra. Determine el ángulo θ al que la boya está inclinada. Rta: θ = 30,6°

26. Un bloque de material con volumen de 0,028 m3y con un peso de 290 N se sumerge en agua. Una barra de madera de 3,3 m de longitud y sección transversal de 1935 mm2 se une al bloque y a la pared. Si la barra pesa 13 N. ¿Cuál será el ángulo  para el equilibrio?. Rta: θ = 9,65°

30. La boya cilíndrica de 0,2 m de diámetro y 8 m de longitud tiene una masa de 200 kg y es asegurada en su extremo inferior al fondo de un lago con un cable de 5 m de longitud. Si la profundidad del agua es de 10 m. Determine el ángulo θ que la boya forma con la horizontal.

27. Un cono hueco es forzado dentro del agua mediante la fuerza F. Deduzca las ecuaciones mediante las cuales puede determinarse e. No tenga en cuenta el peso del cono y el espesor de la pared. Asegúrese de enunciar cualquier suposición que haga.

31. Un bloque de madera en forma de un cubo de 400 mm de arista está flotando en un tanque de agua salada con 150 mm de una capa de aceite flotando sobre el agua. Asuma que el cubo flota con la altitud mostrada, y calcule la altura h del bloque sobre la superficie del aceite. Las densidades del aceite, agua salada y de la madera son 900; 1030 y 800kg/m3, respectivamente. Rta: h = 70,4 mm

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32. Uno de los extremos de la barra de longitud L y densidad ρ’ está asegurada al fondo del tanque de líquido de densidad ρ y profundidad h. Suponiendo que ρ’ < ρ y h < L. Encuentre el ángulo θ que forma la barra con la superficie libre.


35. Una esfera de latón (SG = 13,5) de 30 cmde diámetro, es utilizada para mantener en equilibrio en posición vertical, la boya cilíndrica de 2 m de altura y cuya gravedad específica es SG = 0,45 en un depósito el cual contiene agua de mar (SG = 1,30). Si la esfera se encuentra unida al cilindro mediante un cordón ideal. Determine la altura h de tal manera que la esfera esté a punto de deslizarse.

33. El cono circular recto uniforme C de 40 mm de radio en su base y 0,1 N de peso se encuentra unido a la viga AB de peso despreciable. Si el cono está parcialmente sumergida en el agua como se muestra en la figura. Un bloque D de 0,2 N de peso es colocado sobre la viga a una distancia d del soporte A. Determine la distancia d de tal manera que el sistema permanezca en equilibrio en la posición mostrada.

36. La placa de peso despreciable cierra un hueco de 1 pie de diámetro de un tanque que contiene aire y agua como se muestra en la figura, un bloque de concreto (γ = 150 l/pie3) y que tiene un volumen de 1,5 pie3 es suspendido de la placa y se encuentra sumergido completamente en agua. Conforme la presión del aire es incrementada, la lectura diferencial Δh en el tubo manométrico de mercurio inclinado, se incrementa. Determine la lectura Δh dinamómetro antes de que la placa se abra. El peso del aire tiene un efecto despreciable sobre la lectura del manómetro.

34. Un tanque cilíndrico de paredes delgadas cerrado por un extremo tiene 1 m de diámetro y 90 kg de masa. El extremo abierto del tanque se sumerge en agua y se mantiene en la posición mostrada mediante un bloque de acero de densidad 7840 kg/m3. Suponiendo que el aire atrapado en el depósito es comprimido a temperatura constante. Determine: (a) la lectura del manómetro de presión colocado en la parte superior del tanque y (b) el volumen del bloque de acero Rta: p = 18,9 kPa, V = 0,208 m 3

37. El hidrómetro mostrado en la figura tiene una masa de 0,01 kg sin mercurio y está diseñado para flotar en agua pura con el nivel del agua en el punto medio del vástago de 12 cm de largo. Determine la masa del mercurio requerida.

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E) TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS. 1.

2.

5.

Para el tanque mostrado en la figura determine la presión en los puntos A, B y C si ax = 0, az =10 m/s y L = 60 cm.

6.

Una caja cúbica de 1 m de lado, abierta en la parte superior y llena de agua hasta la mitad, se coloca en un plano inclinado que hace 300 con respecto a la horizontal. La caja vacía pesa 500 N y tiene un coeficiente de fricción de 0,30 con el plano. Determine la aceleración de la caja y el ángulo que la superficie libre del agua hace con respecto a la horizontal.

7.

Calcular las fuerzas totales sobre los extremos y el fondo de este tanque de 2 m de anchura cuando se encuentra en reposo y cuando se acelera hacia arriba a 3 m/s2.

1.

Un tanque rectangular cerrado de 1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y la presión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de 140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éste tanque cuando se le acelera horizontalmente según la dirección de su longitud, a 4,5 m/s2..Considere que la densidad de la gasolina es 680 kg/m3.

8.

Un tanque abierto, con líquido, se acelera hacia abajo por un plano inclinado a 300, a5 m/s2. ¿Cuál es la pendiente de la superficie libre del líquido?. ¿Cuál es la pendiente para la misma aceleración si asciende por el plano?

9.

Un depósito rectangular que contiene agua se encuentra moviéndose hacia debajo de un plano inclinado con una aceleración constante de 3 m/s2.

Al tanque de agua que se muestra en la figura se le aplica una aceleración ay . Si se desea que el agua no se derrame cuando se alcanza una configuración fija con respecto al tanque. ¿Cuál es la mayor aceleración permisible?.

Para construir un aparato sencillo que mida aceleraciones, utilice un tubo capilar en forma de U y coloque aceite dentro de éste hasta el nivel de 300 mm, como se muestra. Si el vehículo e el cual se encuentra este tubo en U se acelera de manera que el aceite alcanza la orientación mostrada, ¿Cuál es la aceleración que debe marcarse en la escala en la posición A?.

3.

El tanque de 4 m de ancho mostrado en la figura se acelera a la derecha a 10 m/s2. Determine: (a) las presiones en los puntos A, B y C; (b) La fuerza sobre el extremo AB; (c) la fuerza sobre el fondo y (d) la fuerza sobre la tapa.

4.

El tanque que se muestra en la figura tiene 4 m de anchura contiene agua y se acelera con una aceleración de 20 m/s. Determine: (a) la presión en A si L = 1 m; (b) la fuerza sobre el extremo izquierdo y (c) la fuerza sobre el fondo.

250


Física General II



Usando el sistema de coordenadas mostrado determine la pendiente de la superficie libre. Rta: 0,224

13. Un recipiente tiene un ancho constante de 500 mm y contiene agua, como se muestra en la figura. El tanque se acelera uniformemente hacia la derecha a una rapidez de 2 m/s2. Determine la fuerza total sobre el lado AB cuando el agua alcance la condición de equilibrio relativo con respecto al recipiente.

10. Un depósito cilíndrico abierto de radio R = 0,25 m contiene agua a una profundidad de 0,3 m. Si al cilindro se le hace rotar alrededor de su eje con una frecuencia de 2 Hz. Determine la altura de la superficie libre del líquido en el centro del depósito. Rta: h1 = 5 cm

14. Se llena con agua un cilindro abierto de 1 m de diámetro y de 1,5 m de altura, y se le hace girar alrededor de sueje a 100 RPM. ¿Cuánto líquido se derrama?: ¿Cuáles son las presiones en el centro del fondo del tanque y en un punto sobre el fondo a 0,3 m del centro?. ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida por el agua sobre el fondo del tanque?.

11. El tubo en U sellado en A y abierto a la atmósfera en D es llenado con agua a 68°F. Si al tubo se le hace rotar alrededor de un eje vertical Aba razón de 1600 rpm. Determine la presión A. ¡Existirá cavitación?. Rta: pA = 2,881 psi; No existe cavitación

15. Al tubo en U que contiene mercurio se le hace rotar alrededor del eje a-a. En el estado de reposo la altura del mercurio en cada uno de los tubos verticales es de 150 mm como se muestra. Determine la velocidad angular a la cual debe girar el sistema de tal manera que la diferencia de altura del mercurio en los tubos verticales sea de 75 mm.

12. Este tubo en U que contiene agua hasta una altura de 1,5 m se acelera horizontalmente hacia la derecha a 3 m/s2. ¿Cuáles son las presiones en A, B y C?. Suponga que los tubos son bastante largos para que no se derrame agua.

16. El tanque del problema anterior contiene agua hasta una profundidad de 0,9 m. ¿Cuál será la profundidad del agua en la pared del tanque cuando éste se hace girar a 60 RPM?. 17. Para el tanque de la figura mostrada, determine la presión en el punto A si la velocidad de rotación es: (a) 5 rad/s y (b) 10 rad/s.

251

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18. El tubo en U del problema5 gira alrededor de la rama izquierda a 50 rpm calcular la presión en A, B y C cuando (a) L = 60 cm; (b) L = 25 pulgadas. 23. Un tanque de agua debe rotar con una velocidad angular ω. ¿A qué velocidad a derramarse el agua cuando se alcance el estado permanente con respecto al tanque?.

19. El tubo en U del problema 5 gira alrededor del centro de la rama horizontal de modo que la presión en el centro es cero. Determine la rapidez angular ω a la que debe girar el depósito si (a) L = 40 cm; (b) L = 15 pulgadas. 20. El agujero del tanque del depósito cilíndrico del problema 13 se cierra y el aire se presuriza a 25 kPa. Calcular la presión en el punto A, si la velocidad de rotación es: (a) 5 rad/s y (b) 7 rad/s 21. El sistema en reposo mostrado en la figura se rota con una velocidad de 24 rpm. Una vez que se alcance el estado permanente, ¿Cuál será la altura h del fluido en cada uno de los tubos capilares exteriores?. Desprecie los efectos de capilaridad.

22. Un cilindro vertical de 1 m de diámetro y 2 m de altura está completamente lleno con gasolina cuya densidad es 740 kg/m3. Si el tanque se le hace rotar alrededor de su eje a razón de 90 rpm, mientras se le acelera verticalmente hacia arriba a razón de 5 m/s2. Determine: (a) la diferencia de presiones entre los centros de la parte inferior y superior y (b) la diferencia de presiones entre el centro y el borde de la parte inferior del cilindro.

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